Exercícios de equação logarítmica – Questões diretas

Equações
Exercícios
26/09/2024
Daniel Duarte

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, equação e equação logarítmica. Se quiseres questões contextualizadas sobre equação logarítmica, futuramente haverá artigo aqui no blog.

Questão 1:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$\log_{2} x = 4$

Resolução da questão 1:

Condição de existência:

$x > 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{2} x = 4$

$x = 2^{4}$

$x = 16$

Prova real da questão 1:

$\log_{2} x = 4$

$\log_{2} 16 = 4$

$4 = 4$

Questão 2:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$\log_{3} (x - 1) = 2$

Resolução da questão 2:

Condição de existência:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Resolvendo a questão:

$\log_{3} (x - 1) = 2$

$x - 1 = 3^{2}$

$x - 1 = 9$

$x = 9 + 1$

$x = 10$

Prova real da questão 2:

$\log_{3} (x - 1) = 2$

$\log_{3} (10 - 1) = 2$

$\log_{3} 9 = 2$

$2 = 2$

Questão 3:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$\log_{x} 32 = 5$

Resolução da questão 3:

Condições de existência:

$x > 0$

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{x} 32 = 5$

$x^{5} = 32$

$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{32}$

$x = 2$

Prova real da questão 3:

$\log_{x} 32 = 5$

$\log_{2} 32 = 5$

$5 = 5$

Questão 4:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

Resolução da questão 4:

Condições de existência:

$x \neq 1$

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$(x^{4})^{\frac{1}{2}} = 64$

$x^{\frac{4}{2}} = 64$

$x^{2} = 64$

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{64}$

$x = \pm 8$

Prova real da questão 4:

Substituindo $x = 8$

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{8^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{8^{4}} 8^{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{\log_{8} 8^{2}}{\log_{8} 8^{4}} = \frac{1}{2}$

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Substituindo $x = - 8$

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{(- 8)^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{4096} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{8^{4}} 8^{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{\log_{8} 8^{2}}{\log_{8} 8^{4}} = \frac{1}{2}$

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Questão 5:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$\log (x + 1) = \log (- x + 3)$

Resolução da questão 5:

Condições de existência:

$x + 1 > 0$

$x > - 1$

$- x + 3 > 0$

$- x > - 3$

$x < 3$

Resolvendo a questão:

$\log (x + 1) = \log (- x + 3)$

$x + 1 = - x + 3$

$x + x = 3 - 1$

$2 x = 2$

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Prova real da questão 5:

$\log (x + 1) = \log (- x + 3)$

$\log (1 + 1) = \log (- 1 + 3)$

$\log 2 = \log 2$

Questão 6:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

Resolução da questão 6:

Condição de existência:

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} \frac{50}{2}$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 25$

$x^{2} = 25$

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{25}$

$x = \pm 5$

Prova real da questão 6:

Substituindo $x = 5$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

$\log_{3} 5^{2} = \log_{3} \frac{50}{2}$

$\log_{3} 25 = \log_{3} 25$

Substituindo $x = - 5$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

$\log_{3} (- 5)^{2} = \log_{3} \frac{50}{2}$

$\log_{3} 25 = \log_{3} 25$

Questão 7:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$\log_{2 x} (3 x - 4) = 1$

Resolução da questão 7:

Condições de existência:

$3 x - 4 > 0$

$3 x > 4$

$x > \frac{4}{3}$

$x > 1, 33$

$2 x > 0$

$x > \frac{0}{2}$

$x > 0$

$2 x \neq 1$

$x \neq \frac{1}{2}$

Resolvendo a questão:

$\log_{2 x} (3 x - 4) = 1$

$\frac{\log (3 x - 4)}{\log 2 x} = 1$

$\log (3 x - 4) = 1. \log 2 x$

$\log (3 x - 4) = \log 2 x$

$3 x - 4 = 2 x$

$3 x - 2 x = 4$

$x = 4$

Prova real da questão 7:

$\log_{2 x} (3 x - 4) = 1$

$\log_{2.4} (3.4 - 4) = 1$

$\log_{8} (12 - 4) = 1$

$\log_{8} 8 = 1$

$1 = 1$

Questão 8:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 8^{0}$

Resolução da questão 8:

Condições de existência:

$- x + 1 > 0$

$- x > - 1$

$x < 1$

$- 3 x > 0$

$3 x < 0$

$x < \frac{0}{3}$

$x < 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 8^{0}$

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 1$

$\frac{\log (- 3 x)}{\log (- x + 1)} = 1$

$\log (- 3 x) = 1. \log (- x + 1)$

$- 3 x = - x + 1$

$- 3 x + x = 1$

$- 2 x = 1$

$x = - \frac{1}{2}$

Prova real da questão 8:

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 8^{0}$

$\log_{- (- \frac{1}{2}) + 1} (- 3 \cdot (- \frac{1}{2})) = 1$

$\log_{\frac{1}{2} + 1} (\frac{3}{2}) = 1$

$\log_{\frac{1 + 2}{2}} (\frac{3}{2}) = 1$

$\log_{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2}) = 1$

$1 = 1$

Questão 9:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

Resolução da questão 9:

Condição de existência:

$x > 0$

Resolvendo a questão:

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

Vou substituir o $\log_{2} x$ por $y$ , para poder resolver a questão

$y^{2} - 3 y = - 2$

$y^{2} - 3 y + 2 = 0$

$a = 1, b = - 3, c = 2$

$y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$y = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4.1 .2}}{2.1}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$

$y = \frac{3 \pm 1}{2}$

$y_{1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ainda não achei a resposta, pois a resposta deve ser em relação à $x$

$y_{1} = 2$

$\log_{2} x = 2$

$x = 2^{2}$

$x = 4$

$y_{2} = 1$

$\log_{2} x = 1$

$x = 2^{1}$

$x = 2$

Prova real da questão 9:

Substituindo $x = 4$

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

$(\log_{2} 4)^{2} - 3 \log_{2} 4 = - 2$

$2^{2} - 3.2 = - 2$

$4 - 6 = - 2$

$- 2 = - 2$

Substituindo $x = 2$

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

$(\log_{2} 2)^{2} - 3 \log_{2} 2 = - 2$

$1^{2} - 3.1 = - 2$

$1 - 3 = - 2$

$- 2 = - 2$

Questão 10:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$\log_{3} (x - 2) . (x + 1) = \log_{3} x^{2}$

Resolução da questão 10:

Condições de existência:

$(x - 2) . (x + 1) > 0$

$x^{2} - x - 2 > 0$

$x^{2} - x - 2 = 0$

$a = 1, b = - 1, c = - 2$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4.1 . (- 2)}}{2.1}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

$x_{1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Devemos analisar o gráfico para entender para quais valores de $x$ teremos valores maiores que zero, ou seja, positivos.

Para valores menores que $- 1$ e maiores que $2$ , temos o gráfico acima do eixo $x$ , portanto:

$x < - 1$

$x > 2$

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{3} (x - 2) . (x + 1) = \log_{3} x^{2}$

$\log_{3} x^{2} - x - 2 = \log_{3} x^{2}$

$x^{2} - x - 2 = x^{2}$

$x^{2} - x - 2 - x^{2} = 0$

$- x - 2 = 0$

$- x = 2$

$x = - 2$

Prova real da questão 10:

$\log_{3} (x - 2) . (x + 1) = l o g_{3} x^{2}$

$\log_{3} (- 2 - 2) . (- 2 + 1) = l o g_{3} (- 2)^{2}$

$\log_{3} (- 4) . (- 1) = l o g_{3} 4$

$\log_{3} 4 = l o g_{3} 4$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

Sobre nós

O Matematiquês é um blog dedicado ao aprendizado de matemática, e nosso objetivo é tornar o ensino mais acessível e envolvente através de conteúdos de alta qualidade e gratuitos para alunos e professores em todo o Brasil. Buscamos simplificar conceitos complexos com uma abordagem clara e direta, priorizando transparência, diversidade, clareza, qualidade, inovação e compromisso social. Nosso blog oferece conteúdos fundamentados por especialistas, revisados com rigor e atualizados.

Categorias

Posts mais recentes

All Post
Curiosidades
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
Notícias

Back
Cinemática
Dinâmica
Conceitos básicos da física

Back
Conceitos básicos da matemática
Frações
Potenciação
Radiciação
Geometria plana
Logaritmo

Back
Funções
Equações
Conjuntos numéricos
Geometria espacial
Inequações
Módulo
Progressões matemáticas
Física
Trigonometria
Cinemática
Dinâmica
Conceitos básicos da física

Back
Limites
Derivadas
Integrais
Equações Diferenciais
Vetores e Geometria Analítica

Exercícios de equação logarítmica – Questões diretas

Questão 1:

Questão 2:

Questão 3:

Questão 4:

Questão 5:

Questão 6:

Questão 7:

Questão 8:

Questão 9:

Questão 10:

Sobre nós

Categorias

Posts mais recentes

Aplicação de derivadas: Máximos e mínimos de uma função

Integral por Substituição: Como identificar e aplicar o método

Integrais: O que é, como calcular e suas aplicações

Tags

Matematiquês © 2024. Todos os direitos reservados.