Exercícios de equação logarítmica – Questões diretas

Equações
Exercícios
26/09/2024
Daniel Duarte

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, equação e equação logarítmica. Se quiseres questões contextualizadas sobre equação logarítmica, futuramente haverá artigo aqui no blog.

Questão 1:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$\log_{2} x = 4$

Resolução da questão 1:

Condição de existência:

$x > 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{2} x = 4$

$x = 2^{4}$

$x = 16$

Prova real da questão 1:

$\log_{2} x = 4$

$\log_{2} 16 = 4$

$4 = 4$

Questão 2:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$\log_{3} (x - 1) = 2$

Resolução da questão 2:

Condição de existência:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Resolvendo a questão:

$\log_{3} (x - 1) = 2$

$x - 1 = 3^{2}$

$x - 1 = 9$

$x = 9 + 1$

$x = 10$

Prova real da questão 2:

$\log_{3} (x - 1) = 2$

$\log_{3} (10 - 1) = 2$

$\log_{3} 9 = 2$

$2 = 2$

Questão 3:

Resolva a equação logarítmica abaixo

$\log_{x} 32 = 5$

Resolução da questão 3:

Condições de existência:

$x > 0$

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{x} 32 = 5$

$x^{5} = 32$

$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{32}$

$x = 2$

Prova real da questão 3:

$\log_{x} 32 = 5$

$\log_{2} 32 = 5$

$5 = 5$

Questão 4:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

Resolução da questão 4:

Condições de existência:

$x \neq 1$

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$(x^{4})^{\frac{1}{2}} = 64$

$x^{\frac{4}{2}} = 64$

$x^{2} = 64$

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{64}$

$x = \pm 8$

Prova real da questão 4:

Substituindo $x = 8$

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{8^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{8^{4}} 8^{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{\log_{8} 8^{2}}{\log_{8} 8^{4}} = \frac{1}{2}$

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Substituindo $x = - 8$

$\log_{x^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{(- 8)^{4}} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{4096} 64 = \frac{1}{2}$

$\log_{8^{4}} 8^{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{\log_{8} 8^{2}}{\log_{8} 8^{4}} = \frac{1}{2}$

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Questão 5:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$\log (x + 1) = \log (- x + 3)$

Resolução da questão 5:

Condições de existência:

$x + 1 > 0$

$x > - 1$

$- x + 3 > 0$

$- x > - 3$

$x < 3$

Resolvendo a questão:

$\log (x + 1) = \log (- x + 3)$

$x + 1 = - x + 3$

$x + x = 3 - 1$

$2 x = 2$

$x = \frac{2}{2}$

$x = 1$

Prova real da questão 5:

$\log (x + 1) = \log (- x + 3)$

$\log (1 + 1) = \log (- 1 + 3)$

$\log 2 = \log 2$

Questão 6:

Determine, se existir, a solução da equação logarítmica abaixo

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

Resolução da questão 6:

Condição de existência:

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} \frac{50}{2}$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 25$

$x^{2} = 25$

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{25}$

$x = \pm 5$

Prova real da questão 6:

Substituindo $x = 5$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

$\log_{3} 5^{2} = \log_{3} \frac{50}{2}$

$\log_{3} 25 = \log_{3} 25$

Substituindo $x = - 5$

$\log_{3} x^{2} = \log_{3} 50 - l o g_{3} 2$

$\log_{3} (- 5)^{2} = \log_{3} \frac{50}{2}$

$\log_{3} 25 = \log_{3} 25$

Questão 7:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$\log_{2 x} (3 x - 4) = 1$

Resolução da questão 7:

Condições de existência:

$3 x - 4 > 0$

$3 x > 4$

$x > \frac{4}{3}$

$x > 1, 33$

$2 x > 0$

$x > \frac{0}{2}$

$x > 0$

$2 x \neq 1$

$x \neq \frac{1}{2}$

Resolvendo a questão:

$\log_{2 x} (3 x - 4) = 1$

$\frac{\log (3 x - 4)}{\log 2 x} = 1$

$\log (3 x - 4) = 1. \log 2 x$

$\log (3 x - 4) = \log 2 x$

$3 x - 4 = 2 x$

$3 x - 2 x = 4$

$x = 4$

Prova real da questão 7:

$\log_{2 x} (3 x - 4) = 1$

$\log_{2.4} (3.4 - 4) = 1$

$\log_{8} (12 - 4) = 1$

$\log_{8} 8 = 1$

$1 = 1$

Questão 8:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 8^{0}$

Resolução da questão 8:

Condições de existência:

$- x + 1 > 0$

$- x > - 1$

$x < 1$

$- 3 x > 0$

$3 x < 0$

$x < \frac{0}{3}$

$x < 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 8^{0}$

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 1$

$\frac{\log (- 3 x)}{\log (- x + 1)} = 1$

$\log (- 3 x) = 1. \log (- x + 1)$

$- 3 x = - x + 1$

$- 3 x + x = 1$

$- 2 x = 1$

$x = - \frac{1}{2}$

Prova real da questão 8:

$\log_{- x + 1} (- 3 x) = 8^{0}$

$\log_{- (- \frac{1}{2}) + 1} (- 3 \cdot (- \frac{1}{2})) = 1$

$\log_{\frac{1}{2} + 1} (\frac{3}{2}) = 1$

$\log_{\frac{1 + 2}{2}} (\frac{3}{2}) = 1$

$\log_{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2}) = 1$

$1 = 1$

Questão 9:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

Resolução da questão 9:

Condição de existência:

$x > 0$

Resolvendo a questão:

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

Vou substituir o $\log_{2} x$ por $y$ , para poder resolver a questão

$y^{2} - 3 y = - 2$

$y^{2} - 3 y + 2 = 0$

$a = 1, b = - 3, c = 2$

$y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$y = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4.1 .2}}{2.1}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$

$y = \frac{3 \pm 1}{2}$

$y_{1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ainda não achei a resposta, pois a resposta deve ser em relação à $x$

$y_{1} = 2$

$\log_{2} x = 2$

$x = 2^{2}$

$x = 4$

$y_{2} = 1$

$\log_{2} x = 1$

$x = 2^{1}$

$x = 2$

Prova real da questão 9:

Substituindo $x = 4$

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

$(\log_{2} 4)^{2} - 3 \log_{2} 4 = - 2$

$2^{2} - 3.2 = - 2$

$4 - 6 = - 2$

$- 2 = - 2$

Substituindo $x = 2$

$(\log_{2} x)^{2} - 3 \log_{2} x = - 2$

$(\log_{2} 2)^{2} - 3 \log_{2} 2 = - 2$

$1^{2} - 3.1 = - 2$

$1 - 3 = - 2$

$- 2 = - 2$

Questão 10:

Ache o valor de $x$ para que a igualdade seja verdadeira

$\log_{3} (x - 2) . (x + 1) = \log_{3} x^{2}$

Resolução da questão 10:

Condições de existência:

$(x - 2) . (x + 1) > 0$

$x^{2} - x - 2 > 0$

$x^{2} - x - 2 = 0$

$a = 1, b = - 1, c = - 2$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4.1 . (- 2)}}{2.1}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

$x_{1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Devemos analisar o gráfico para entender para quais valores de $x$ teremos valores maiores que zero, ou seja, positivos.

Para valores menores que $- 1$ e maiores que $2$ , temos o gráfico acima do eixo $x$ , portanto:

$x < - 1$

$x > 2$

$x \neq 0$

Resolvendo a questão:

$\log_{3} (x - 2) . (x + 1) = \log_{3} x^{2}$

$\log_{3} x^{2} - x - 2 = \log_{3} x^{2}$

$x^{2} - x - 2 = x^{2}$

$x^{2} - x - 2 - x^{2} = 0$

$- x - 2 = 0$

$- x = 2$

$x = - 2$

Prova real da questão 10:

$\log_{3} (x - 2) . (x + 1) = l o g_{3} x^{2}$

$\log_{3} (- 2 - 2) . (- 2 + 1) = l o g_{3} (- 2)^{2}$

$\log_{3} (- 4) . (- 1) = l o g_{3} 4$

$\log_{3} 4 = l o g_{3} 4$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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O Matematiquês é um blog dedicado ao aprendizado de matemática, e nosso objetivo é tornar o ensino mais acessível e envolvente através de conteúdos de alta qualidade e gratuitos para alunos e professores em todo o Brasil. Buscamos simplificar conceitos complexos com uma abordagem clara e direta, priorizando transparência, diversidade, clareza, qualidade, inovação e compromisso social. Nosso blog oferece conteúdos fundamentados por especialistas, revisados com rigor e atualizados.

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