Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, potenciação, radiciação, logaritmo e equação exponencial. Se quiseres questões contextualizadas sobre equação exponencial, futuramente haverá artigo aqui no blog. As questões serão resolvidas por dois métodos diferentes, para que quem prefira um ou outro seja contemplado.
Questão 1
Resolva a equação exponencial abaixo
$$5^x=25$$
Resolução da questão 1:
1) Igualando as bases
$$5^x=25$$
$$5^x=5^2$$
$$x=2$$
2) Resolvendo com log
$$5^x=25$$
$$log_{5}5^x=log_{5}25$$
$$x.log_{5}5=log_{5}25$$
$$x=2$$
Prova real da questão 1:
$$5^x=25$$
$$5^2=25$$
$$25=25$$
Questão 2
Resolva a equação exponencial abaixo
$$4^x=\frac{1}{4^3}$$
Resolução da questão 2:
1) Igualando as bases
$$4^x=\frac{1}{4^3}$$
$$4^x=4^{-3}$$
$$x=-3$$
2) Resolvendo com log
$$4^x=\frac{1}{4^3}$$
$$log_{4}4^x=log_{4}\frac{1}{4^3}$$
$$log_{4}4^x=log_{4}4^{-3}$$
$$x.log_{4}4=-3.log_{4}4$$
$$x=-3$$
Prova real da questão 2:
$$4^x=\frac{1}{4^3}$$
$$4^{-3}=\frac{1}{4^3}$$
$$\frac{1}{4^3}=\frac{1}{4^3}$$
Questão 3
Resolva a equação exponencial abaixo
$$(\sqrt[3]{32})^x=16$$
Resolução da questão 3:
1) Igualando as bases
$$(\sqrt[3]{32})^x=16$$
$$(\sqrt[3]{2^5})^x=2^4$$
$$\sqrt[3]{2^5x}=2^4$$
$$2^{\frac{5x}{3}}=2^4$$
$$\frac{5x}{3}=4$$
$$5x=4.3$$
$$5x=12$$
$$x=\frac{12}{5}$$
2) Resolvendo com log
$$(\sqrt[3]{32})^x=16$$
$$log_{2}(\sqrt[3]{32})^x=log_{2}16$$
$$log_{2}32^{\frac{x}{3}}=4$$
$$\frac{x}{3}\cdot log_{2}32=4$$
$$\frac{x}{3}\cdot 5=4$$
$$\frac{5x}{3}=4$$
$$5x=12$$
$$x=\frac{12}{5}$$
Prova real da questão 3:
$$(\sqrt[3]{32})^x=16$$
$$(\sqrt[3]{32})^{\frac{12}{5}}=2^4$$
$$(\sqrt[3]{2^5})^{\frac{12}{5}}=2^4$$
$$2^{\frac{5}{3}\cdot\frac{12}{5}}=2^4$$
$$2^{\frac{12}{3}}=2^4$$
$$2^4=2^4$$
Questão 4
Resolva a equação exponencial abaixo
$$(\sqrt{6})^x=\sqrt[3]{36}$$
Resolução da questão 4:
1) Igualando as bases
$$(\sqrt{6})^x=\sqrt[3]{36}$$
$$\sqrt{6^x}=\sqrt[3]{6^2}$$
$$6^{\frac{x}{2}}=6^{\frac{2}{3}}$$
$$\frac{x}{2}=\frac{2}{3}$$
$$3x=2.2$$
$$3x=4$$
$$x=\frac{4}{3}$$
2) Resolvendo com log
$$(\sqrt{6})^x=\sqrt[3]{36}$$
$$log_{6}(\sqrt{6})^x=log_{6}\sqrt[3]{36}$$
$$log_{6}6^{\frac{x}{2}}=log_{6}36^{\frac{1}{3}}$$
$$\frac{x}{2}\cdot log_{6}6=\frac{1}{3}\cdot log_{6}36$$
$$\frac{x}{2}=\frac{1}{3}\cdot 2$$
$$\frac{x}{2}=\frac{2}{3}$$
$$3x=4$$
$$x=\frac{4}{3}$$
Prova real da questão 4:
$$(\sqrt{6})^x=\sqrt[3]{36}$$
$$(\sqrt{6})^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{6^2}$$
$$6^{\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}}=6^{\frac{2}{3}}$$
$$6^{\frac{4}{6}}=6^{\frac{2}{3}}$$
$$6^{\frac{4\div2}{6\div2}}=6^{\frac{2}{3}}$$
$$6^{\frac{2}{3}}=6^{\frac{2}{3}}$$
Questão 5
Ache a solução da equação exponencial:
$$2^x=0,5$$
Resolução da questão 5:
1) Igualando as bases
$$2^x=0,5$$
$$2^x=\frac{10}{10}\cdot0,5$$
$$2^x=\frac{5}{10}$$
$$2^x=\frac{5\div5}{10\div5}$$
$$2^x=\frac{1}{2}$$
$$2^x=2^{-1}$$
$$x=-1$$
2) Resolvendo com log
$$2^x=0,5$$
$$2^x=\frac{5}{10}$$
$$2^x=\frac{1}{2}$$
$$log_{2}2^x=log_{2}\frac{1}{2}$$
$$x.log_{2}2=log_{2}2^{-1}$$
$$x=-1$$
Prova real da questão 5:
$$2^x=0,5$$
$$2^{-1}=0,5$$
$$\frac{1}{2}=0,5$$
$$0,5=0,5$$
Questão 6
Ache a solução da equação exponencial:
$$25^x=0,04$$
Resolução da questão 6:
1) Igualando as bases
$$25^x=0,04$$
$$25^x=\frac{100}{100}\cdot0,04$$
$$25^x=\frac{4}{100}$$
$$25^x=\frac{4\div4}{100\div4}$$
$$25^x=\frac{1}{25}$$
$$25^x=25^{-1}$$
$$x=-1$$
2) Resolvendo com log
$$25^x=0,04$$
$$25^x=\frac{4}{100}$$
$$25^x=\frac{1}{25}$$
$$log_{25}25^x=log_{25}\frac{1}{25}$$
$$x.log_{25}25=log_{25}25^{-1}$$
$$x=-1$$
Prova real da questão 6:
$$25^x=0,04$$
$$25^{-1}=0,04$$
$$\frac{1}{25}=0,04$$
$$0,04=0,04$$
Questão 7
Resolva a equação exponencial abaixo
$$9^{2x-8}=27^{4x}$$
Resolução da questão 7:
1) Igualando as bases
$$9^{2x-8}=27^{4x}$$
$$(3^2)^{2x-8}=(3^3)^{4x}$$
$$3^{2.(2x-8)}=3^{3.4x}$$
$$3^{4x-16}=3^{12x}$$
$$4x-16=12x$$
$$4x-12x=16$$
$$-8x=16$$
$$x=\frac{16}{-8}$$
$$x=-2$$
2) Resolvendo com log
$$9^{2x-8}=27^{4x}$$
$$log_{3}9^{2x-8}=log_{3}27^{4x}$$
$$(2x-8).log_{3}9=4x.log_{3}27$$
$$(2x-8).2=4x.3$$
$$4x-16=12x$$
$$-8x=16$$
$$x=-2$$
Prova real da questão 7:
$$9^{2x-8}=27^{4x}$$
$$9^{2.(-2)-8}=27^{4.(-2)}$$
$$9^{-4-8}=27^{-8}$$
$$(3^2)^{-12}=(3^3)^{-8}$$
$$3^{2.(-12)}=3^{3.(-8)}$$
$$3^{-24}=3^{-24}$$
Questão 8
Ache a solução da equação exponencial:
$$(\frac{1}{125})^{2x}=\sqrt[3]{25^x}$$
Resolução da questão 8:
1) Igualando as bases
$$(\frac{1}{125})^{2x}=\sqrt[3]{25^x}$$
$$(\frac{1}{5^3})^{2x}=\sqrt[3]{(5^2)^{x}}$$
$$(5^{-3})^{2x}=\sqrt[3]{5^{2x}}$$
$$5^{-3.2x}=5^{\frac{2x}{3}}$$
$$5^{-6x}=5^{\frac{2x}{3}}$$
$$-6x=\frac{2x}{3}$$
$$3.(-6x)=2x$$
$$-18x=2x$$
$$-18x-2x=0$$
$$-20x=0$$
$$x=0$$
2) Resolvendo com log
$$(\frac{1}{125})^{2x}=\sqrt[3]{25^x}$$
$$(125^{-1})^{2x}=25^{\frac{x}{3}}$$
$$125^{-1.2x}=25^{\frac{x}{3}}$$
$$log_{5}125^{-2x}=log_{5}25^{\frac{x}{3}}$$
$$-2x.log_{5}125=\frac{x}{3}\cdot log_{5}25$$
$$-2x.3=\frac{x}{3}\cdot 2$$
$$-6x=\frac{2x}{3}$$
$$-18x=2x$$
$$-20x=0$$
$$x=0$$
Prova real da questão 8:
$$(\frac{1}{125})^{2x}=\sqrt[3]{25^x}$$
$$(\frac{1}{125})^{2.0}=\sqrt[3]{25^0}$$
$$(\frac{1}{125})^{0}=\sqrt[3]{1}$$
$$1=1$$
Questão 9
Ache a solução da equação exponencial:
$$2^{x^2-4x}=4^{-2}$$
Resolução da questão 9:
1) Igualando as bases
$$2^{x^2-4x}=4^{-2}$$
$$2^{x^2-4x}=(2^2)^{-2}$$
$$2^{x^2-4x}=2^{2.(-2)}$$
$$2^{x^2-4x}=2^{-4}$$
$$x^2-4x=-4$$
$$x^2-4x+4=0$$
$$a=1, b=-4, c=4$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4.1.4}}{2.1}$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{2}$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{0}}{2}$$
$$x=\frac{4\pm0}{2}$$
$$x_1=\frac{4+0}{2}=\frac{4}{2}=2$$
$$x_2=\frac{4-0}{2}=\frac{4}{2}=2$$
2) Resolvendo com log
$$2^{x^2-4x}=4^{-2}$$
$$log_{2}2^{x^2-4x}=log_{2}4^{-2}$$
$$(x^2-4x).log_{2}2=-2.log_{2}4$$
$$x^2-4x=-2.2$$
$$x^2-4x+4=0$$
$$a=1, b=-4, c=4$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4.1.4}}{2.1}$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{0}}{2}$$
$$x_1=\frac{4+0}{2}=2$$
$$x_2=\frac{4-0}{2}=2$$
Prova real da questão 9:
$$2^{x^2-4x}=4^{-2}$$
$$2^{2^2-4.2}=4^{-2}$$
$$2^{4-8}=4^{-2}$$
$$2^{-4}=4^{-2}$$
$$\frac{1}{2^4}=\frac{1}{4^2}$$
$$\frac{1}{16}=\frac{1}{16}$$
Questão 10
Ache a solução da equação exponencial:
$$6^{x^2-9}=1$$
Resolução da questão 10:
1) Igualando as bases
$$6^{x^2-9}=1$$
$$6^{x^2-9}=6^0$$
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$
$$x=\pm3$$
2) Resolvendo com log
$$6^{x^2-9}=1$$
$$log_{6}6^{x^2-9}=log_{6}1$$
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$x=\pm3$$
Prova real da questão 10:
1) Substituindo $x=3$
$$6^{x^2-9}=1$$
$$6^{3^2-9}=1$$
$$6^{9-9}=1$$
$$6^0=1$$
$$1=1$$
2) Substituindo $x=-3$
$$6^{x^2-9}=1$$
$$6^{(-3)^2-9}=1$$
$$6^{9-9}=1$$
$$6^0=1$$
$$1=1$$
