O que é equação logarítmica?
Assim como seu nome sugere, se trata de uma equação que possui a variável em um dos elementos de um logaritmo, podendo ser na base, no logaritmando ou em ambos.
Exemplos:
1) $$log_{5}x=25$$
2) $$log_{2}(x-1)=log_{2}8$$
3) $$log_{(x+1)}x=log_{3}81-log_{3}27$$
Como resolver uma equação logarítmica?
Os pré-requisitos para se aprender equação logarítmica é saber o que é uma equação, dominar logaritmo e suas propriedades e um pouco de inequações (há artigos aqui no blog sobre os três assuntos). Como em toda equação, precisamos achar o valor da variável que torne a igualdade verdadeira, mas como a incógnita está em um log, para isolá-la, precisamos manipular o log por meio das suas propriedades.
Mas diferentemente de alguns tipos de equações, além de achar a resposta, precisamos conferir se ela cumpre as condições de existência, pois o logaritmando de um log deve ser maior que $0$, já a base, deve ser maior que $0$ e diferente de $1$, se a resposta cumprir essas exigências, então ela será válida.
Exemplo:
Resolva a equação $log_{2}x=4$
Para acharmos a resposta, podemos utilizar a definição de log, pois o logaritmando será o resultado de $2^4$
$$log_{2}x=4$$
$$x=2^4=16$$
Não vamos esquecer de analisar a condição de existência, nesse caso, precisamos verificar se $x$ é maior que zero
$$x>0$$
$$16>0$$
$16$ é maior que zero, então a inequação é verdadeira, portanto, a resposta é válida.
Tipos de equação logarítmica
Dependendo de como os termos estiverem organizados, podemos identificar três tipos de equação logarítmica, havendo um método de resolução mais adequado para cada um deles.
Logaritmos de mesma base
Se tivermos logs de mesma base sendo igualados, para que um log seja igual ao outro, obrigatoriamente o logaritmando de ambos deve ser igual. Caso haja outros logs se somando ou subtraindo, basta juntá-los para restar apenas um log em cada lado.
Exemplo 1:
Resolva a equação $log_{16}(2x-2)=log_{16}2$
Temos dois logs de bases iguais sendo igualados, então, basta igualarmos os logaritmandos e resolvemos a equação resultante
$$log_{16}(2x-2)=log_{16}2$$
$$2x-2=2$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
Vamos verificar a condição de existência, já que a variável está no logarimando, verificamos se ele é maior que zero
$$2x-2>0$$
$$2.2-2>0$$
$$2>0$$
Para conferir se acertou, podes substituir o valor de $x$ na equação e comparar ambos os lados, se forem iguais, está correta a resposta
$$log_{16}(2x-2)=log_{16}2$$
$$log_{16}(2.2-2)=log_{16}2$$
$$log_{16}2=log_{16}2$$
Exemplo 2:
Resolva a equação $log_{(x-1)}2x^2-log_{(x-1)}x=log_{(x-1)}(x+5)$
Há vários logs com bases iguais, no entanto, no lado esquerdo da equação, tem mais de um log, e para podermos igualar os logaritmandos, precisamos juntá-los, para que fique um log igualado a outro. Já que eles estão se subtraindo, podemos juntar no log de uma divisão
$$log_{(x-1)}2x^2-log_{(x-1)}x=log_{(x-1)}(x+5)$$
$$log_{(x-1)}\frac{2x^2}{x}=log_{(x-1)}(x+5)$$
Simplificamos a fração e igualamos os logaritmandos
$$log_{(x-1)}\frac{2x^2}{x}=log_{(x-1)}(x+5)$$
$$log_{(x-1)}2x=log_{(x-1)}(x+5)$$
$$2x=x+5$$
$$x=5$$
Dessa vez, a incógnita está presente em dois logaritmandos, e na base, então temos duas condições de existência a serem verificadas, por meio de quatro inequações
1) $$2x^2>0$$
$$2.5^2>0$$
$$2.25>0$$
$$50>0 $$ (verdadeiro)
2) $$x+5>0$$
$$5+5>0$$
$$10>0$$ (verdadeiro)
3) $$x-1>0$$
$$5-1>0$$
$$4>0$$ (verdadeiro)
4) $$x-1\neq1$$
$$5-1\neq1$$
$$4\neq1$$ (verdadeiro)
Todas as inequações são verdadeiras para $x=5$, então a resposta é solução da equação.
Logaritmo igualado a uma constante:
Se o logaritmo estiver sendo igualado a uma constante, basta usarmos a definição de logaritmo e igualarmos o logaritmando à base elevada a constante
Exemplo 1:
Resolva a equação $log_{4}(8-x)=2$
O log está igualado à $2$, que é uma constante, então podemos reescrever a equação igualando o logaritmando à $4^2$
$$log_{4}(8-x)=2$$
$$8-x=4^2$$
$$8-x=16$$
Isolamos a variável
$$8-x=16$$
$$-x=16-8$$
$$-x=8$$
$$x=-8$$
E então, conferimos a condição de existência
$$8-x>0$$
$$8-(-8)>0$$
$$8+8>0$$
$$16>0$$
Exemplo 2:
Resolva a equação $log_{(-x)}(-2x-1)=2$
Apesar de termos a variável em ambos os elementos do log, o processo será o mesmo
$$log_{(-x)}(-2x-1)=2$$
$$-2x-1=(-x)^2$$
$$-2x-1=x^2$$
Chegamos em uma equação de segundo grau, antes de começarmos a resolver, vamos organizar ela em sua forma geral
$$-2x-1=x^2$$
$$-x^2-2x-1=0$$
Resolveremos a equação utilizando a fórmula de Bhaskara. Uma dica para não errar, é identificar os coeficientes antes de substituir na fórmula
$$a=-1, b=-2, c=-1$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4.a.c}}{2.a}$$
$$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt[]{(-2)^2-4.(-1).(-1)}}{2.(-1)}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt[]{4-4}}{-2}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt[]{0}}{-2}$$
$$x=\frac{2}{-2}$$
$$x=-1$$
Vamos conferir as condições de existência
1) $$-2x-1>0$$
$$-2.(-1)-1>0$$
$$2-1>0$$
$$1>0$$ (verdadeiro)
2) $$-x>0$$
$$-(-1)>0$$
$$1>0$$ (verdadeiro)
3) $$-x\neq1$$
$$-(-1)\neq1$$
$$1\neq1$$ (falso)
Uma das inequações é falsa, portanto, não há solução para essa equação. Por isso é importante verificar todas as condições de existência, pois mesmo que algumas sejam atendidas, se ao menos uma delas não for, a resposta não será válida.
Logaritmo com mudança de base:
Em algumas situações, precisaremos realizar uma mudança de base para simplificarmos a equação e podermos isolar a variável.
Exemplo 1:
Resolva a equação $\frac{log_{2}x}{2}+log_{4}x=3$
Temos logs igualados a uma constante, no entanto, eles não possuem a mesma base, então utilizaremos a propriedade de mudança de base para juntarmos em um único log
$$\frac{log_{2}x}{2}+log_{4}x=3$$
$$\frac{log_{2}x}{2}+\frac{log_{2}x}{log_{2}4}=3$$
$$\frac{log_{2}x}{2}+\frac{log_{2}x}{2}=3$$
$$\frac{log_{2}x+log_{2}x}{2}=3$$
$$\frac{2.log_{2}x}{2}=3$$
$$log_{2}x=3$$
$$x=2^3$$
$$x=8$$
Falta só conferirmos a condição de existência
$$x>0$$
$$8>0$$
Exemplo 2:
Resolva a equação $log_{9}(2x-1)=log_{3}x$
Temos logs de bases diferentes sendo igualados, para podermos igualar os logaritmandos, precisamos deixá-los com a mesma base
$$log_{9}(2x-1)=log_{3}x$$
$$\frac{log_{3}(2x-1)}{log_{3}9}=log_{3}x$$
$$\frac{log_{3}(2x-1)}{2}=log_{3}x$$
Passando o $2$ que está dividindo, para o outro lado da equação
$$\frac{log_{3}(2x-1)}{2}=log_{3}x$$
$$log_{3}(2x-1)=2.log_{3}x$$
Ainda não deixamos os logs iguais, pois o $2$ está multiplicando o que está no lado direito da equação, mas podemos transformar ele no expoente do logaritmando
$$log_{3}(2x-1)=2.log_{3}x$$
$$log_{3}(2x-1)=log_{3}x^2$$
Agora podemos igualar os logaritmandos
$$log_{3}(2x-1)=log_{3}x^2$$
$$2x-1=x^2$$
$$x^2=2x-1$$
$$x^2-2x+1=0$$
Resolvemos a equação de $2°$ grau
$$a=1, b=-2, c=1$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt[]{b^2-4.a.c}}{2.a}$$
$$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt[]{(-2)^2-4.1.1}}{2.1}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt[]{4-4}}{2}$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt[]{0}}{2}$$
$$x=\frac{2}{2}$$
$$x=1$$
Para finalizar, conferimos a condição de existência
1) $$2x-1>0$$
$$2.1-1>0$$
$$1>0$$ (verdadeiro)
2) $$x>0$$
$$1>0$$ (verdadeiro)
Exercícios resolvidos de equação logarítmica
1. Encontre a solução da equação $log_{(5x-2)}(10x+8)=1$, ache sua solução, se existir
É dado um log igualado a uma constante, então, podemos aplicar a definição de logaritmo, e igualar o logaritmando à base elevada à $1$
$$log_{(5x-2)}(10x+8)=1$$
$$10x+8=(5x-2)^1$$
$$10x+8=5x-2$$
$$10x-5x=-2-8$$
$$5x=-10$$
$$x=-2$$
Falta verificar as condições de existência
1) $$10x+8>0$$
$$10.(-2)+8>0$$
$$-20+8>0$$
$$-12>0$$ (Falsa)
A inequação é falsa, então nem precisamos analisar a outra condição, pois não há solução para essa equação.
2. Dada a equação $log_{(\frac{1}{2})}(\frac{x+2}{3x})=-2$, ache sua solução
Outra equação do primeiro tipo, onde temos um log igual à uma constante, basta fazermos o mesmo passo à passo da questão anterior
$$log_{(\frac{1}{2})}(\frac{x+2}{3x})=-2$$
$$\frac{x+2}{3x}=(\frac{1}{2})^{-2}$$
Utilizaremos propriedades de potenciação para organizar o lado direito da equação
$$\frac{x+2}{3x}=(\frac{1}{2})^{-2}$$
$$\frac{x+2}{3x}=\frac{1^{-2}}{2^{-2}}$$
$$\frac{x+2}{3x}=\frac{2^2}{1^2}$$
$$\frac{x+2}{3x}=\frac{4}{1}$$
Agora isolarmos o $x$
$$\frac{x+2}{3x}=\frac{4}{1}$$
$$1.(x+2)=4.3x$$
$$x+2=12x$$
$$2=11x$$
$$11x=2$$
$$x=\frac{2}{11}$$
Por fim, analisamos se esse valor, substituído na expressão do logartimando, vai resultar em um valor maior que zero
$$\frac{x+2}{3x}>0$$
$$\frac{\frac{2}{11}+2}{3.\frac{2}{11}}>0$$
$$\frac{\frac{2+22}{11}}{\frac{6}{11}}>0$$
$$\frac{24}{11}.\frac{11}{6}>0$$
$$\frac{24}{6}>0$$
$$4>0$$
