Equação logarítmica: Exemplos, tipos e exercícios

O que é equação logarítmica?

Assim como seu nome sugere, se trata de uma equação que possui a variável em um dos elementos de um logaritmo, podendo ser na base, no logaritmando ou em ambos.

Exemplos:

1) 𝑙𝑜𝑔5𝑥=25

2) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥1)=𝑙𝑜𝑔28

3) 𝑙𝑜𝑔(𝑥+1)𝑥=𝑙𝑜𝑔381𝑙𝑜𝑔327

Como resolver uma equação logarítmica?

Os pré-requisitos para se aprender equação logarítmica é saber o que é uma equação, dominar logaritmo e suas propriedades e um pouco de inequações (há artigos aqui no blog sobre os três assuntos). Como em toda equação, precisamos achar o valor da variável que torne a igualdade verdadeira, mas como a incógnita está em um log, para isolá-la, precisamos manipular o log por meio das suas propriedades.

Mas diferentemente de alguns tipos de equações, além de achar a resposta, precisamos conferir se ela cumpre as condições de existência, pois o logaritmando de um log deve ser maior que 0, já a base, deve ser maior que 0 e diferente de 1, se a resposta cumprir essas exigências, então ela será válida.

Exemplo:

Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔2𝑥 =4

Para acharmos a resposta, podemos utilizar a definição de log, pois o logaritmando será o resultado de 24

𝑙𝑜𝑔2𝑥=4

𝑥=24=16

Não vamos esquecer de analisar a condição de existência, nesse caso, precisamos verificar se 𝑥 é maior que zero

𝑥>0

16>0

16 é maior que zero, então a inequação é verdadeira, portanto, a resposta é válida.

Tipos de equação logarítmica

Dependendo de como os termos estiverem organizados, podemos identificar três tipos de equação logarítmica, havendo um método de resolução mais adequado para cada um deles.

Logaritmos de mesma base

Se tivermos logs de mesma base sendo igualados, para que um log seja igual ao outro, obrigatoriamente o logaritmando de ambos deve ser igual. Caso haja outros logs se somando ou subtraindo, basta juntá-los para restar apenas um log em cada lado.

Exemplo 1:

Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔16(2𝑥 2) =𝑙𝑜𝑔162

 

Temos dois logs de bases iguais sendo igualados, então, basta igualarmos os logaritmandos e resolvemos a equação resultante

𝑙𝑜𝑔16(2𝑥2)=𝑙𝑜𝑔162

2𝑥2=2

2𝑥=4

𝑥=2

Vamos verificar a condição de existência, já que a variável está no logarimando, verificamos se ele é maior que zero

2𝑥2>0

2.22>0

2>0

Para conferir se acertou, podes substituir o valor de 𝑥 na equação e comparar ambos os lados, se forem iguais, está correta a resposta

𝑙𝑜𝑔16(2𝑥2)=𝑙𝑜𝑔162

𝑙𝑜𝑔16(2.22)=𝑙𝑜𝑔162

𝑙𝑜𝑔162=𝑙𝑜𝑔162

Exemplo 2:

Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔(𝑥1)2𝑥2 𝑙𝑜𝑔(𝑥1)𝑥 =𝑙𝑜𝑔(𝑥1)(𝑥 +5)

Há vários logs com bases iguais, no entanto, no lado esquerdo da equação, tem mais de um log, e para podermos igualar os logaritmandos, precisamos juntá-los, para que fique um log igualado a outro. Já que eles estão se subtraindo, podemos juntar no log de uma divisão

𝑙𝑜𝑔(𝑥1)2𝑥2𝑙𝑜𝑔(𝑥1)𝑥=𝑙𝑜𝑔(𝑥1)(𝑥+5)

𝑙𝑜𝑔(𝑥1)2𝑥2𝑥=𝑙𝑜𝑔(𝑥1)(𝑥+5)

Simplificamos a fração e igualamos os logaritmandos

𝑙𝑜𝑔(𝑥1)2𝑥2𝑥=𝑙𝑜𝑔(𝑥1)(𝑥+5)

𝑙𝑜𝑔(𝑥1)2𝑥=𝑙𝑜𝑔(𝑥1)(𝑥+5)

2𝑥=𝑥+5

𝑥=5

Dessa vez, a incógnita está presente em dois logaritmandos, e na base, então temos duas condições de existência a serem verificadas, por meio de quatro inequações

1) 2𝑥2>0

2.52>0

2.25>0

50>0 (verdadeiro)

2) 𝑥+5>0

5+5>0

10>0 (verdadeiro)

3) 𝑥1>0

51>0

4>0 (verdadeiro)

4) 𝑥11

511

41 (verdadeiro)

Todas as inequações são verdadeiras para 𝑥 =5, então a resposta é solução da equação.

Logaritmo igualado a uma constante:

Se o logaritmo estiver sendo igualado a uma constante, basta usarmos a definição de logaritmo e igualarmos o logaritmando à base elevada a constante

Exemplo 1:

Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔4(8 𝑥) =2

 

O log está igualado à 2, que é uma constante, então podemos reescrever a equação igualando o logaritmando à 42

𝑙𝑜𝑔4(8𝑥)=2

8𝑥=42

8𝑥=16

Isolamos a variável

8𝑥=16

𝑥=168

𝑥=8

𝑥=8

E então, conferimos a condição de existência

8𝑥>0

8(8)>0

8+8>0

16>0

Exemplo 2:

Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔(𝑥)(2𝑥 1) =2

 

Apesar de termos a variável em ambos os elementos do log, o processo será o mesmo

𝑙𝑜𝑔(𝑥)(2𝑥1)=2

2𝑥1=(𝑥)2

2𝑥1=𝑥2

Chegamos em uma equação de segundo grau, antes de começarmos a resolver, vamos organizar ela em sua forma geral

2𝑥1=𝑥2

𝑥22𝑥1=0

Resolveremos a equação utilizando a fórmula de Bhaskara. Uma dica para não errar, é identificar os coeficientes antes de substituir na fórmula

𝑎=1,𝑏=2,𝑐=1

𝑥=𝑏±𝑏24.𝑎.𝑐2.𝑎

𝑥=(2)±(2)24.(1).(1)2.(1)

𝑥=2±442

𝑥=2±02

𝑥=22

𝑥=1

Vamos conferir as condições de existência

1) 2𝑥1>0

2.(1)1>0

21>0

1>0 (verdadeiro)

 

2) 𝑥>0

(1)>0

1>0 (verdadeiro)

 

3) 𝑥1

(1)1

11 (falso)

Uma das inequações é falsa, portanto, não há solução para essa equação. Por isso é importante verificar todas as condições de existência, pois mesmo que algumas sejam atendidas, se ao menos uma delas não for, a resposta não será válida.

Logaritmo com mudança de base:

Em algumas situações, precisaremos realizar uma mudança de base para simplificarmos a equação e podermos isolar a variável.

Exemplo 1:

Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔2𝑥2 +𝑙𝑜𝑔4𝑥 =3

Temos logs igualados a uma constante, no entanto, eles não possuem a mesma base, então utilizaremos a propriedade de mudança de base para juntarmos em um único log

𝑙𝑜𝑔2𝑥2+𝑙𝑜𝑔4𝑥=3

𝑙𝑜𝑔2𝑥2+𝑙𝑜𝑔2𝑥𝑙𝑜𝑔24=3

𝑙𝑜𝑔2𝑥2+𝑙𝑜𝑔2𝑥2=3

𝑙𝑜𝑔2𝑥+𝑙𝑜𝑔2𝑥2=3

2.𝑙𝑜𝑔2𝑥2=3

𝑙𝑜𝑔2𝑥=3

𝑥=23

𝑥=8

Falta só conferirmos a condição de existência

𝑥>0

8>0

Exemplo 2:

Resolva a equação 𝑙𝑜𝑔9(2𝑥 1) =𝑙𝑜𝑔3𝑥

Temos logs de bases diferentes sendo igualados, para podermos igualar os logaritmandos, precisamos deixá-los com a mesma base

𝑙𝑜𝑔9(2𝑥1)=𝑙𝑜𝑔3𝑥

𝑙𝑜𝑔3(2𝑥1)𝑙𝑜𝑔39=𝑙𝑜𝑔3𝑥

𝑙𝑜𝑔3(2𝑥1)2=𝑙𝑜𝑔3𝑥

Passando o 2 que está dividindo, para o outro lado da equação

𝑙𝑜𝑔3(2𝑥1)2=𝑙𝑜𝑔3𝑥

𝑙𝑜𝑔3(2𝑥1)=2.𝑙𝑜𝑔3𝑥

Ainda não deixamos os logs iguais, pois o 2 está multiplicando o que está no lado direito da equação, mas podemos transformar ele no expoente do logaritmando

𝑙𝑜𝑔3(2𝑥1)=2.𝑙𝑜𝑔3𝑥

𝑙𝑜𝑔3(2𝑥1)=𝑙𝑜𝑔3𝑥2

Agora podemos igualar os logaritmandos

𝑙𝑜𝑔3(2𝑥1)=𝑙𝑜𝑔3𝑥2

2𝑥1=𝑥2

𝑥2=2𝑥1

𝑥22𝑥+1=0

Resolvemos a equação de 2 ° grau

𝑎=1,𝑏=2,𝑐=1

𝑥=𝑏±𝑏24.𝑎.𝑐2.𝑎

𝑥=(2)±(2)24.1.12.1

𝑥=2±442

𝑥=2±02

𝑥=22

𝑥=1

Para finalizar, conferimos a condição de existência

1) 2𝑥1>0

2.11>0

1>0 (verdadeiro)

2) 𝑥>0

1>0 (verdadeiro)

Exercícios resolvidos de equação logarítmica

1. Encontre a solução da equação 𝑙𝑜𝑔(5𝑥2)(10𝑥 +8) =1, ache sua solução, se existir

É dado um log igualado a uma constante, então, podemos aplicar a definição de logaritmo, e igualar o logaritmando à base elevada à 1

𝑙𝑜𝑔(5𝑥2)(10𝑥+8)=1

10𝑥+8=(5𝑥2)1

10𝑥+8=5𝑥2

10𝑥5𝑥=28

5𝑥=10

𝑥=2

Falta verificar as condições de existência

1) 10𝑥+8>0

10.(2)+8>0

20+8>0

12>0 (Falsa)

A inequação é falsa, então nem precisamos analisar a outra condição, pois não há solução para essa equação.

2. Dada a equação 𝑙𝑜𝑔(12)(𝑥+23𝑥) =2, ache sua solução

Outra equação do primeiro tipo, onde temos um log igual à uma constante, basta fazermos o mesmo passo à passo da questão anterior

𝑙𝑜𝑔(12)(𝑥+23𝑥)=2

𝑥+23𝑥=(12)2

Utilizaremos propriedades de potenciação para organizar o lado direito da equação

𝑥+23𝑥=(12)2

𝑥+23𝑥=1222

𝑥+23𝑥=2212

𝑥+23𝑥=41

Agora isolarmos o 𝑥

𝑥+23𝑥=41

1.(𝑥+2)=4.3𝑥

𝑥+2=12𝑥

2=11𝑥

11𝑥=2

𝑥=211

Por fim, analisamos se esse valor, substituído na expressão do logartimando, vai resultar em um valor maior que zero

𝑥+23𝑥>0

211+23.211>0

2+2211611>0

2411.116>0

246>0

4>0

 

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