Equação irracional: O que é e como resolver

O método de resolução consiste em isolarmos a variável, para acharmos um valor para ela que satisfaça a igualdade, assim como qualquer outro tipo de equação, mas há a diferença de que para podermos isolá-la, precisamos antes eliminar a(s) raiz(es) que possuírem a incógnita em seu radicando, e para isso, utilizaremos propriedades de potenciação e radiciação. Uma vez eliminada a raiz, poderemos cair em uma equação de 1 ° ou 2 ° grau (na maioria das vezes), então é importante que saibas resolver ambos os tipos.

Exemplo 1:

Resolva a equação √𝑥−9 =4

Para eliminarmos a raiz de um determinado índice, precisamos elevar ela a um expoente que seja igual ao seu índice, na questão acima temos uma raiz quadrada, cujo índice é 2, portanto, precisamos elevar a raiz ao quadrado. No entanto, se elevarmos apenas um lado da equação cometeremos um erro matemático, pois alteraremos o valor da expressão, por esse motivo, elevamos ambos os lados ao mesmo expoente

√𝑥−9=4

(√𝑥−9)2=42

𝑥−9=16

Agora isolamos a variável

𝑥−9=16

𝑥=16+9

𝑥=25

Mas não acabou ainda, pois raízes de índice par possuem uma restrição, o valor de seu radicando deve ser maior ou igual a zero, portanto, precisamos substituir o número que encontramos na expressão original para verificarmos se ele pode ou não ser solução da equação

√𝑥−9 =4

√25−9 =4

√16 =4

4 =4

A igualdade é verdadeira, então, 𝑥 =25 é a resposta da equação.

Exemplo 2:

Resolva a equação 3√𝑥+8 +5 =7

No caso acima, temos uma raiz sendo somada com um número, aquele processo de elevarmos a raiz a um expoente igual ao seu índice só funcionará quando a raiz estiver sozinha em um dos lados da equação, ou seja, precisamos isolá-la antes de eliminá-la

3√𝑥+8+5=7

3√𝑥+8=7−5

3√𝑥+8=2

Uma vez isolada a raiz, podemos realizar o processo feito anteriormente, mas dessa vez a raiz têm índice 3, não vamos esquecer disso

3√𝑥+8=2

(3√𝑥+8)3=23

𝑥+8=8

𝑥=8−8

𝑥=0

Como o índice é ímpar, não precisamos verificar se a resposta é válida, pois não há restrições para raízes de índice ímpar em relação ao seu radicando

Exemplo 3:

Resolva a equação 4√−𝑥+7 =4√−3⁢𝑥+23

Quando tivermos raízes de mesmo índice (índices iguais) dos dois lados da equação, podemos eliminar as duas de uma vez só ao elevarmos ambos os membros ao devido expoente

4√−𝑥+7=4√−3⁢𝑥+23

(4√−𝑥+7)4=(4√−3⁢𝑥+23)4

−𝑥+7=−3⁢𝑥+23

−𝑥+3⁢𝑥=23−7

2⁢𝑥=16

𝑥=162

𝑥=8

Como o índice da raiz é par, precisamos verificar se a resposta é válida

4√−𝑥+7=4√−3⁢𝑥+23

4√−8+7=4√−3.8+23

4√−1=4√−24+23

Opa, chegamos em um número negativo em uma raiz de índice par, portanto, não há solução para essa equação, para o conjunto dos números reais. Caso fosse dado na questão que o conjunto a ser considerado é dos números complexos, então a resposta seria válida.

Exemplo 4:

Resolva a equação √𝑥+2 =𝑥 +2

Primeiramente, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado

√𝑥+2=𝑥+2

(√𝑥+2)2=(𝑥+2)2

𝑥+2=(𝑥+2)2

Temos um produto notável do lado direito da equação, vamos expandi-lo antes de tentarmos isolar a variável

𝑥+2=(𝑥+2)2

𝑥+2=𝑥2+4⁢𝑥+4

Chegamos em uma equação quadrática, vamos organizá-la em sua forma padrão e resolvê-la

𝑥+2=𝑥2+4⁢𝑥+4

0=𝑥2+4⁢𝑥+4−𝑥−2

0=𝑥2+3⁢𝑥+2

𝑥2+3⁢𝑥+2=0

𝑎=1,𝑏=3,𝑐=2

𝑥=−𝑏±√𝑏2−4⁢𝑎⁢𝑐2⁢𝑎

𝑥=−3±√32−4.1⁢.22.1

𝑥=−3±√9−82

𝑥=−3±√12

𝑥=−3±12

𝑥1=−3+12=−22=−1

𝑥2=−3−12=−42=−2

Chegamos em dois valores, e pela raiz possuir índice par, precisamos testar ambos para sabermos se são soluções para a equação

1) Teste para 𝑥 =−1

√𝑥+2=𝑥+2

√−1+2=−1+2

√1=1

1=1

2) Teste para 𝑥 =−2

√𝑥+2=𝑥+2

√−2+2=−2+2

√0=0

0=0

Exemplo 5:

Resolva a equação √𝑥.√2⁢𝑥+6 =𝑥 +3

Temos duas raízes de mesmo índice se multiplicando, podemos juntar elas em uma única raiz

√𝑥.√2⁢𝑥+6=𝑥+3

√𝑥.(2⁢𝑥+6)=𝑥+3

√2⁢𝑥2+6⁢𝑥=𝑥+3

Agora eliminamos a raiz

√2⁢𝑥2+6⁢𝑥=𝑥+3

(√2⁢𝑥2+6⁢𝑥)2=(𝑥+3)2

2⁢𝑥2+6⁢𝑥=𝑥2+6⁢𝑥+9

Vamos simplificar a expressão, vai que facilita nossa vida

2⁢𝑥2+6⁢𝑥=𝑥2+6⁢𝑥+9

2⁢𝑥2−𝑥2=6⁢𝑥−6⁢𝑥+9

𝑥2=9

E facilitou mesmo, pois temos uma equação de 2 ° grau incompleta e podemos resolvê-la sem utilizar a fórmula de Bháskara

𝑥2=9

√𝑥2=√9

𝑥=±3

Encontramos duas respostas, e precisamos testá-las, pois o índice da raiz é par

1) Teste para 𝑥 =3

√𝑥.√2⁢𝑥+6=𝑥+3

√3.√2.3+6=3+3

√3.√6+6=6

√3⁢√12=6

√3.12=6

√36=6

6=6

2) Teste para 𝑥 =−3

√𝑥.√2⁢𝑥+6=𝑥+3

√−3.√2.⁢(−3)+6=−3+3

Aparentemente não é possível continuar, pois temos uma raiz com valor negativo dentro dela, mas vamos dar prosseguimento no cálculo para termos certeza

√−3.√2.⁢(−3)+6=−3+3

√−3.√−6+6=0

√−3.√0=0

√−3⁢.0=0

0=0

Na matemática não existe “achismo”, precisamos que ir até o final para termos a certeza ou grandes indícios de que podemos concluir algo sobre determinada situação. Ambas as respostas são válidas, tanto 3, quanto −3.