Desconhecida por muitos, mas facílima de identificar, a equação irracional é mais fácil de se resolver do que aparenta e pode ser muito útil em determinados tipos de exercícios.
O que é uma equação irracional?
Por mais que o seu nome nos faça pensar que ela é o contrário de uma equação racional, não poderíamos estar mais enganados, pois uma equação é classificada como irracional quando possui a variável dentro de uma raiz, especificamente no radicando da raiz.
Exemplos:
1)
2)
3)
Não importa o índice da raiz, caso haja uma incógnita em seu radicando, a equação é irracional.
Como resolver uma equação irracional?
O método de resolução consiste em isolarmos a variável, para acharmos um valor para ela que satisfaça a igualdade, assim como qualquer outro tipo de equação, mas há a diferença de que para podermos isolá-la, precisamos antes eliminar a(s) raiz(es) que possuírem a incógnita em seu radicando, e para isso, utilizaremos propriedades de potenciação e radiciação. Uma vez eliminada a raiz, poderemos cair em uma equação de
Exemplo 1:
Resolva a equação
Para eliminarmos a raiz de um determinado índice, precisamos elevar ela a um expoente que seja igual ao seu índice, na questão acima temos uma raiz quadrada, cujo índice é
Agora isolamos a variável
Mas não acabou ainda, pois raízes de índice par possuem uma restrição, o valor de seu radicando deve ser maior ou igual a zero, portanto, precisamos substituir o número que encontramos na expressão original para verificarmos se ele pode ou não ser solução da equação
A igualdade é verdadeira, então,
Exemplo 2:
Resolva a equação
No caso acima, temos uma raiz sendo somada com um número, aquele processo de elevarmos a raiz a um expoente igual ao seu índice só funcionará quando a raiz estiver sozinha em um dos lados da equação, ou seja, precisamos isolá-la antes de eliminá-la
Uma vez isolada a raiz, podemos realizar o processo feito anteriormente, mas dessa vez a raiz têm índice
Como o índice é ímpar, não precisamos verificar se a resposta é válida, pois não há restrições para raízes de índice ímpar em relação ao seu radicando
Exemplo 3:
Resolva a equação
Quando tivermos raízes de mesmo índice (índices iguais) dos dois lados da equação, podemos eliminar as duas de uma vez só ao elevarmos ambos os membros ao devido expoente
Como o índice da raiz é par, precisamos verificar se a resposta é válida
Opa, chegamos em um número negativo em uma raiz de índice par, portanto, não há solução para essa equação, para o conjunto dos números reais. Caso fosse dado na questão que o conjunto a ser considerado é dos números complexos, então a resposta seria válida.
Exemplo 4:
Resolva a equação
Primeiramente, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado
Temos um produto notável do lado direito da equação, vamos expandi-lo antes de tentarmos isolar a variável
Chegamos em uma equação quadrática, vamos organizá-la em sua forma padrão e resolvê-la
Chegamos em dois valores, e pela raiz possuir índice par, precisamos testar ambos para sabermos se são soluções para a equação
1) Teste para
2) Teste para
Exemplo 5:
Resolva a equação
Temos duas raízes de mesmo índice se multiplicando, podemos juntar elas em uma única raiz
Agora eliminamos a raiz
Vamos simplificar a expressão, vai que facilita nossa vida
E facilitou mesmo, pois temos uma equação de
Encontramos duas respostas, e precisamos testá-las, pois o índice da raiz é par
1) Teste para
2) Teste para
Aparentemente não é possível continuar, pois temos uma raiz com valor negativo dentro dela, mas vamos dar prosseguimento no cálculo para termos certeza
Na matemática não existe “achismo”, precisamos que ir até o final para termos a certeza ou grandes indícios de que podemos concluir algo sobre determinada situação. Ambas as respostas são válidas, tanto
Exercícios resolvidos de equação irracional
1. Dada a equação
Começaremos isolando a raiz cúbica de
Como a raiz só possui o
2. Encontre a resposta, se existir, da equação abaixo
Vamos tentar isolar as raízes
Não foi possível isolar as duas raízes, mas vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tentarmos desenvolver a questão
Agora, simplificamos o que for possível, de forma a tentarmos isolar a raiz que sobrou
Conseguimos isolar a raiz, agora é só aplicarmos os conhecimentos aprendidos até aqui para finalizar a questão
Chegamos em uma raiz de índice par de um número negativo, portanto, para o conjunto dos números reais, a equação

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.