Desconhecida por muitos, mas facílima de identificar, a equação irracional é mais fácil de se resolver do que aparenta e pode ser muito útil em determinados tipos de exercícios.
O que é uma equação irracional?
Por mais que o seu nome nos faça pensar que ela é o contrário de uma equação racional, não poderíamos estar mais enganados, pois uma equação é classificada como irracional quando possui a variável dentro de uma raiz, especificamente no radicando da raiz.
Exemplos:
1) $\sqrt{x-2}=1$
2) $x^2-4=\sqrt[3]{x+1}$
3) $\sqrt{x^2+x-1}=\sqrt{-x+7}$
Não importa o índice da raiz, caso haja uma incógnita em seu radicando, a equação é irracional.
Como resolver uma equação irracional?
O método de resolução consiste em isolarmos a variável, para acharmos um valor para ela que satisfaça a igualdade, assim como qualquer outro tipo de equação, mas há a diferença de que para podermos isolá-la, precisamos antes eliminar a(s) raiz(es) que possuírem a incógnita em seu radicando, e para isso, utilizaremos propriedades de potenciação e radiciação. Uma vez eliminada a raiz, poderemos cair em uma equação de $1°$ ou $2°$ grau (na maioria das vezes), então é importante que saibas resolver ambos os tipos.
Exemplo 1:
Resolva a equação $\sqrt{x-9}=4$
Para eliminarmos a raiz de um determinado índice, precisamos elevar ela a um expoente que seja igual ao seu índice, na questão acima temos uma raiz quadrada, cujo índice é $2$, portanto, precisamos elevar a raiz ao quadrado. No entanto, se elevarmos apenas um lado da equação cometeremos um erro matemático, pois alteraremos o valor da expressão, por esse motivo, elevamos ambos os lados ao mesmo expoente
$$\sqrt{x-9}=4$$
$$(\sqrt{x-9})^2=4^2$$
$$x-9=16$$
Agora isolamos a variável
$$x-9=16$$
$$x=16+9$$
$$x=25$$
Mas não acabou ainda, pois raízes de índice par possuem uma restrição, o valor de seu radicando deve ser maior ou igual a zero, portanto, precisamos substituir o número que encontramos na expressão original para verificarmos se ele pode ou não ser solução da equação
$\sqrt{x-9}=4$
$\sqrt{25-9}=4$
$\sqrt{16}=4$
$4=4$
A igualdade é verdadeira, então, $x=25$ é a resposta da equação.
Exemplo 2:
Resolva a equação $\sqrt[3]{x+8}+5=7$
No caso acima, temos uma raiz sendo somada com um número, aquele processo de elevarmos a raiz a um expoente igual ao seu índice só funcionará quando a raiz estiver sozinha em um dos lados da equação, ou seja, precisamos isolá-la antes de eliminá-la
$$\sqrt[3]{x+8}+5=7$$
$$\sqrt[3]{x+8}=7-5$$
$$\sqrt[3]{x+8}=2$$
Uma vez isolada a raiz, podemos realizar o processo feito anteriormente, mas dessa vez a raiz têm índice $3$, não vamos esquecer disso
$$\sqrt[3]{x+8}=2$$
$$(\sqrt[3]{x+8})^3=2^3$$
$$x+8=8$$
$$x=8-8$$
$$x=0$$
Como o índice é ímpar, não precisamos verificar se a resposta é válida, pois não há restrições para raízes de índice ímpar em relação ao seu radicando
Exemplo 3:
Resolva a equação $\sqrt[4]{-x+7}=\sqrt[4]{-3x+23}$
Quando tivermos raízes de mesmo índice (índices iguais) dos dois lados da equação, podemos eliminar as duas de uma vez só ao elevarmos ambos os membros ao devido expoente
$$\sqrt[4]{-x+7}=\sqrt[4]{-3x+23}$$
$$(\sqrt[4]{-x+7})^4=(\sqrt[4]{-3x+23})^4$$
$$-x+7=-3x+23$$
$$-x+3x=23-7$$
$$2x=16$$
$$x=\frac{16}{2}$$
$$x=8$$
Como o índice da raiz é par, precisamos verificar se a resposta é válida
$$\sqrt[4]{-x+7}=\sqrt[4]{-3x+23}$$
$$\sqrt[4]{-8+7}=\sqrt[4]{-3.8+23}$$
$$\sqrt[4]{-1}=\sqrt[4]{-24+23}$$
Opa, chegamos em um número negativo em uma raiz de índice par, portanto, não há solução para essa equação, para o conjunto dos números reais. Caso fosse dado na questão que o conjunto a ser considerado é dos números complexos, então a resposta seria válida.
Exemplo 4:
Resolva a equação $\sqrt{x+2}=x+2$
Primeiramente, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado
$$\sqrt{x+2}=x+2$$
$$(\sqrt{x+2})^2=(x+2)^2$$
$$x+2=(x+2)^2$$
Temos um produto notável do lado direito da equação, vamos expandi-lo antes de tentarmos isolar a variável
$$x+2=(x+2)^2$$
$$x+2=x^2+4x+4$$
Chegamos em uma equação quadrática, vamos organizá-la em sua forma padrão e resolvê-la
$$x+2=x^2+4x+4$$
$$0=x^2+4x+4-x-2$$
$$0=x^2+3x+2$$
$$x^2+3x+2=0$$
$$a=1, b=3, c=2$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4.1.2}}{2.1}$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$$
$$x=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2}$$
$$x=\frac{-3\pm1}{2}$$
$$x_1=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$
$$x_2=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$
Chegamos em dois valores, e pela raiz possuir índice par, precisamos testar ambos para sabermos se são soluções para a equação
1) Teste para $x=-1$
$$\sqrt{x+2}=x+2$$
$$\sqrt{-1+2}=-1+2$$
$$\sqrt{1}=1$$
$$1=1$$
2) Teste para $x=-2$
$$\sqrt{x+2}=x+2$$
$$\sqrt{-2+2}=-2+2$$
$$\sqrt{0}=0$$
$$0=0$$
Exemplo 5:
Resolva a equação $\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$
Temos duas raízes de mesmo índice se multiplicando, podemos juntar elas em uma única raiz
$$\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$$
$$\sqrt{x.(2x+6)}=x+3$$
$$\sqrt{2x^2+6x}=x+3$$
Agora eliminamos a raiz
$$\sqrt{2x^2+6x}=x+3$$
$$(\sqrt{2x^2+6x})^2=(x+3)^2$$
$$2x^2+6x=x^2+6x+9$$
Vamos simplificar a expressão, vai que facilita nossa vida
$$2x^2+6x=x^2+6x+9$$
$$2x^2-x^2=6x-6x+9$$
$$x^2=9$$
E facilitou mesmo, pois temos uma equação de $2°$ grau incompleta e podemos resolvê-la sem utilizar a fórmula de Bháskara
$$x^2=9$$
$$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$
$$x=\pm3$$
Encontramos duas respostas, e precisamos testá-las, pois o índice da raiz é par
1) Teste para $x=3$
$$\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$$
$$\sqrt{3}.\sqrt{2.3+6}=3+3$$
$$\sqrt{3}.\sqrt{6+6}=6$$
$$\sqrt{3}\sqrt{12}=6$$
$$\sqrt{3.12}=6$$
$$\sqrt{36}=6$$
$$6=6$$
2) Teste para $x=-3$
$$\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$$
$$\sqrt{-3}.\sqrt{2.(-3)+6}=-3+3$$
Aparentemente não é possível continuar, pois temos uma raiz com valor negativo dentro dela, mas vamos dar prosseguimento no cálculo para termos certeza
$$\sqrt{-3}.\sqrt{2.(-3)+6}=-3+3$$
$$\sqrt{-3}.\sqrt{-6+6}=0$$
$$\sqrt{-3}.\sqrt{0}=0$$
$$\sqrt{-3}.0=0$$
$$0=0$$
Na matemática não existe “achismo”, precisamos que ir até o final para termos a certeza ou grandes indícios de que podemos concluir algo sobre determinada situação. Ambas as respostas são válidas, tanto $3$, quanto $-3$.
Exercícios resolvidos de equação irracional
1. Dada a equação $\sqrt{x}-\sqrt[4]{4}=0$
Começaremos isolando a raiz cúbica de $x$ e depois a eliminaremos elevando-a a $3$, só não vamos esquecer de fazer isso nos dois lados
$$\sqrt{x}-\sqrt[4]{4}=0$$
$$\sqrt{x}=\sqrt[4]{4}$$
$$(\sqrt{x})^2=(\sqrt[4]{4})^2$$
$$x=\sqrt[4]{4^2}$$
$$x=\sqrt[4]{16}$$
$$x=2$$
Como a raiz só possui o $x$ sozinho dentro dela, ao substituirmos pelo $2$, que é um número positivo, não haverá problema, portanto, a resposta é válida.
2. Encontre a resposta, se existir, da equação abaixo
$$\sqrt{2-x}+\sqrt{x-3}=1$$
Vamos tentar isolar as raízes
$$\sqrt{2-x}+\sqrt{x-3}=1$$
$$\sqrt{2-x}=1-\sqrt{x-3}$$
Não foi possível isolar as duas raízes, mas vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tentarmos desenvolver a questão
$$\sqrt{2-x}=1-\sqrt{x-3}$$
$$(\sqrt{2-x})^2=(1-\sqrt{x-3})^2$$
$$2-x=1-2\sqrt{x-3}+x-3$$
Agora, simplificamos o que for possível, de forma a tentarmos isolar a raiz que sobrou
$$2-x=1-2\sqrt{x-3}+x-3$$
$$2-x-1-x+3=-2\sqrt{x-3}$$
$$-2x+4=-2\sqrt{x-3}$$
$$\frac{-2x+4}{-2}=\sqrt{x-3}$$
$$x-2=\sqrt{x-3}$$
Conseguimos isolar a raiz, agora é só aplicarmos os conhecimentos aprendidos até aqui para finalizar a questão
$$x-2=\sqrt{x+3}$$
$$(x-2)^2=(\sqrt{x-3})^2$$
$$x^2-4x+4=x-3$$
$$x^2-4x-x+4+3=0$$
$$x^2-5x+7=0$$
$$a=1,b=-5,c=7$$
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.1.7}}{2.1}$$
$$x=\frac{5\pm\sqrt{25-28}}{2}$$
$$x=\frac{5\pm\sqrt{-3}}{2}$$
Chegamos em uma raiz de índice par de um número negativo, portanto, para o conjunto dos números reais, a equação $\sqrt{2-x}+\sqrt{x-3}=1$ não possui solução.
