Equação irracional: O que é e como resolver

Desconhecida por muitos, mas facílima de identificar, a equação irracional é mais fácil de se resolver do que aparenta e pode ser muito útil em determinados tipos de exercícios.

O que é uma equação irracional?

Por mais que o seu nome nos faça pensar que ela é o contrário de uma equação racional, não poderíamos estar mais enganados, pois uma equação é classificada como irracional quando possui a variável dentro de uma raiz, especificamente no radicando da raiz.

Exemplos:

1) x2=1

2) x24=x+13

3) x2+x1=x+7

Não importa o índice da raiz, caso haja uma incógnita em seu radicando, a equação é irracional.

 

Como resolver uma equação irracional?

O método de resolução consiste em isolarmos a variável, para acharmos um valor para ela que satisfaça a igualdade, assim como qualquer outro tipo de equação, mas há a diferença de que para podermos isolá-la, precisamos antes eliminar a(s) raiz(es) que possuírem a incógnita em seu radicando, e para isso, utilizaremos propriedades de potenciação e radiciação. Uma vez eliminada a raiz, poderemos cair em uma equação de 1° ou 2° grau (na maioria das vezes), então é importante que saibas resolver ambos os tipos.

Exemplo 1:

Resolva a equação x9=4

 

Para eliminarmos a raiz de um determinado índice, precisamos elevar ela a um expoente que seja igual ao seu índice, na questão acima temos uma raiz quadrada, cujo índice é 2, portanto, precisamos elevar a raiz ao quadrado. No entanto, se elevarmos apenas um lado da equação cometeremos um erro matemático, pois alteraremos o valor da expressão, por esse motivo, elevamos ambos os lados ao mesmo expoente

x9=4

(x9)2=42

x9=16

Agora isolamos a variável

x9=16

x=16+9

x=25

Mas não acabou ainda, pois raízes de índice par possuem uma restrição, o valor de seu radicando deve ser maior ou igual a zero, portanto, precisamos substituir o número que encontramos na expressão original para verificarmos se ele pode ou não ser solução da equação

x9=4

259=4

16=4

4=4

A igualdade é verdadeira, então, x=25 é a resposta da equação.

Exemplo 2:

Resolva a equação x+83+5=7

 

No caso acima, temos uma raiz sendo somada com um número, aquele processo de elevarmos a raiz a um expoente igual ao seu índice só funcionará quando a raiz estiver sozinha em um dos lados da equação, ou seja, precisamos isolá-la antes de eliminá-la

x+83+5=7

x+83=75

x+83=2

Uma vez isolada a raiz, podemos realizar o processo feito anteriormente, mas dessa vez a raiz têm índice 3, não vamos esquecer disso

x+83=2

(x+83)3=23

x+8=8

x=88

x=0

Como o índice é ímpar, não precisamos verificar se a resposta é válida, pois não há restrições para raízes de índice ímpar em relação ao seu radicando

Exemplo 3:

Resolva a equação x+74=3x+234

 

Quando tivermos raízes de mesmo índice (índices iguais) dos dois lados da equação, podemos eliminar as duas de uma vez só ao elevarmos ambos os membros ao devido expoente

x+74=3x+234

(x+74)4=(3x+234)4

x+7=3x+23

x+3x=237

2x=16

x=162

x=8

Como o índice da raiz é par, precisamos verificar se a resposta é válida

x+74=3x+234

8+74=3.8+234

14=24+234

Opa, chegamos em um número negativo em uma raiz de índice par, portanto, não há solução para essa equação, para o conjunto dos números reais. Caso fosse dado na questão que o conjunto a ser considerado é dos números complexos, então a resposta seria válida.

Exemplo 4:

Resolva a equação x+2=x+2

 

Primeiramente, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado

x+2=x+2

(x+2)2=(x+2)2

x+2=(x+2)2

Temos um produto notável do lado direito da equação, vamos expandi-lo antes de tentarmos isolar a variável

x+2=(x+2)2

x+2=x2+4x+4

Chegamos em uma equação quadrática, vamos organizá-la em sua forma padrão e resolvê-la

x+2=x2+4x+4

0=x2+4x+4x2

0=x2+3x+2

x2+3x+2=0

a=1,b=3,c=2

x=b±b24ac2a

x=3±324.1.22.1

x=3±982

x=3±12

x=3±12

x1=3+12=22=1

x2=312=42=2

Chegamos em dois valores, e pela raiz possuir índice par, precisamos testar ambos para sabermos se são soluções para a equação

1) Teste para x=1

x+2=x+2

1+2=1+2

1=1

1=1

2) Teste para x=2

x+2=x+2

2+2=2+2

0=0

0=0

Exemplo 5:

Resolva a equação x.2x+6=x+3

 

Temos duas raízes de mesmo índice se multiplicando, podemos juntar elas em uma única raiz

x.2x+6=x+3

x.(2x+6)=x+3

2x2+6x=x+3

Agora eliminamos a raiz

2x2+6x=x+3

(2x2+6x)2=(x+3)2

2x2+6x=x2+6x+9

Vamos simplificar a expressão, vai que facilita nossa vida

2x2+6x=x2+6x+9

2x2x2=6x6x+9

x2=9

E facilitou mesmo, pois temos uma equação de 2° grau incompleta e podemos resolvê-la sem utilizar a fórmula de Bháskara

x2=9

x2=9

x=±3

Encontramos duas respostas, e precisamos testá-las, pois o índice da raiz é par

1) Teste para x=3

x.2x+6=x+3

3.2.3+6=3+3

3.6+6=6

312=6

3.12=6

36=6

6=6

2) Teste para x=3

x.2x+6=x+3

3.2.(3)+6=3+3

Aparentemente não é possível continuar, pois temos uma raiz com valor negativo dentro dela, mas vamos dar prosseguimento no cálculo para termos certeza

3.2.(3)+6=3+3

3.6+6=0

3.0=0

3.0=0

0=0

Na matemática não existe “achismo”, precisamos que ir até o final para termos a certeza ou grandes indícios de que podemos concluir algo sobre determinada situação. Ambas as respostas são válidas, tanto 3, quanto 3.

Exercícios resolvidos de equação irracional

1. Dada a equação x44=0

 

Começaremos isolando a raiz cúbica de x e depois a eliminaremos elevando-a a 3, só não vamos esquecer de fazer isso nos dois lados

x44=0

x=44

(x)2=(44)2

x=424

x=164

x=2

Como a raiz só possui o x sozinho dentro dela, ao substituirmos pelo 2, que é um número positivo, não haverá problema, portanto, a resposta é válida.

 

2. Encontre a resposta, se existir, da equação abaixo

2x+x3=1

 

Vamos tentar isolar as raízes

2x+x3=1

2x=1x3

Não foi possível isolar as duas raízes, mas vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tentarmos desenvolver a questão

2x=1x3

(2x)2=(1x3)2

2x=12x3+x3

Agora, simplificamos o que for possível, de forma a tentarmos isolar a raiz que sobrou

2x=12x3+x3

2x1x+3=2x3

2x+4=2x3

2x+42=x3

x2=x3

Conseguimos isolar a raiz, agora é só aplicarmos os conhecimentos aprendidos até aqui para finalizar a questão

x2=x+3

(x2)2=(x3)2

x24x+4=x3

x24xx+4+3=0

x25x+7=0

a=1,b=5,c=7

x=b±b24ac2a

x=(5)±(5)24.1.72.1

x=5±25282

x=5±32

Chegamos em uma raiz de índice par de um número negativo, portanto, para o conjunto dos números reais, a equação 2x+x3=1 não possui solução.

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