Equação irracional: O que é e como resolver

O método de resolução consiste em isolarmos a variável, para acharmos um valor para ela que satisfaça a igualdade, assim como qualquer outro tipo de equação, mas há a diferença de que para podermos isolá-la, precisamos antes eliminar a(s) raiz(es) que possuírem a incógnita em seu radicando, e para isso, utilizaremos propriedades de potenciação e radiciação. Uma vez eliminada a raiz, poderemos cair em uma equação de $1°$ ou $2°$ grau (na maioria das vezes), então é importante que saibas resolver ambos os tipos.

Exemplo 1:

Resolva a equação $\sqrt{x-9}=4$

Para eliminarmos a raiz de um determinado índice, precisamos elevar ela a um expoente que seja igual ao seu índice, na questão acima temos uma raiz quadrada, cujo índice é $2$, portanto, precisamos elevar a raiz ao quadrado. No entanto, se elevarmos apenas um lado da equação cometeremos um erro matemático, pois alteraremos o valor da expressão, por esse motivo, elevamos ambos os lados ao mesmo expoente

$$\sqrt{x-9}=4$$

$$(\sqrt{x-9})^2=4^2$$

$$x-9=16$$

Agora isolamos a variável

$$x-9=16$$

$$x=16+9$$

$$x=25$$

Mas não acabou ainda, pois raízes de índice par possuem uma restrição, o valor de seu radicando deve ser maior ou igual a zero, portanto, precisamos substituir o número que encontramos na expressão original para verificarmos se ele pode ou não ser solução da equação

$\sqrt{x-9}=4$

$\sqrt{25-9}=4$

$\sqrt{16}=4$

$4=4$

A igualdade é verdadeira, então, $x=25$ é a resposta da equação.

Exemplo 2:

Resolva a equação $\sqrt[3]{x+8}+5=7$

No caso acima, temos uma raiz sendo somada com um número, aquele processo de elevarmos a raiz a um expoente igual ao seu índice só funcionará quando a raiz estiver sozinha em um dos lados da equação, ou seja, precisamos isolá-la antes de eliminá-la

$$\sqrt[3]{x+8}+5=7$$

$$\sqrt[3]{x+8}=7-5$$

$$\sqrt[3]{x+8}=2$$

Uma vez isolada a raiz, podemos realizar o processo feito anteriormente, mas dessa vez a raiz têm índice $3$, não vamos esquecer disso

$$\sqrt[3]{x+8}=2$$

$$(\sqrt[3]{x+8})^3=2^3$$

$$x+8=8$$

$$x=8-8$$

$$x=0$$

Como o índice é ímpar, não precisamos verificar se a resposta é válida, pois não há restrições para raízes de índice ímpar em relação ao seu radicando

Exemplo 3:

Resolva a equação $\sqrt[4]{-x+7}=\sqrt[4]{-3x+23}$

Quando tivermos raízes de mesmo índice (índices iguais) dos dois lados da equação, podemos eliminar as duas de uma vez só ao elevarmos ambos os membros ao devido expoente

$$\sqrt[4]{-x+7}=\sqrt[4]{-3x+23}$$

$$(\sqrt[4]{-x+7})^4=(\sqrt[4]{-3x+23})^4$$

$$-x+7=-3x+23$$

$$-x+3x=23-7$$

$$2x=16$$

$$x=\frac{16}{2}$$

$$x=8$$

Como o índice da raiz é par, precisamos verificar se a resposta é válida

$$\sqrt[4]{-x+7}=\sqrt[4]{-3x+23}$$

$$\sqrt[4]{-8+7}=\sqrt[4]{-3.8+23}$$

$$\sqrt[4]{-1}=\sqrt[4]{-24+23}$$

Opa, chegamos em um número negativo em uma raiz de índice par, portanto, não há solução para essa equação, para o conjunto dos números reais. Caso fosse dado na questão que o conjunto a ser considerado é dos números complexos, então a resposta seria válida.

Exemplo 4:

Resolva a equação $\sqrt{x+2}=x+2$

Primeiramente, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado

$$\sqrt{x+2}=x+2$$

$$(\sqrt{x+2})^2=(x+2)^2$$

$$x+2=(x+2)^2$$

Temos um produto notável do lado direito da equação, vamos expandi-lo antes de tentarmos isolar a variável

$$x+2=(x+2)^2$$

$$x+2=x^2+4x+4$$

Chegamos em uma equação quadrática, vamos organizá-la em sua forma padrão e resolvê-la

$$x+2=x^2+4x+4$$

$$0=x^2+4x+4-x-2$$

$$0=x^2+3x+2$$

$$x^2+3x+2=0$$

$$a=1, b=3, c=2$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4.1.2}}{2.1}$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$$

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2}$$

$$x=\frac{-3\pm1}{2}$$

$$x_1=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

$$x_2=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$

Chegamos em dois valores, e pela raiz possuir índice par, precisamos testar ambos para sabermos se são soluções para a equação

1) Teste para $x=-1$

$$\sqrt{x+2}=x+2$$

$$\sqrt{-1+2}=-1+2$$

$$\sqrt{1}=1$$

$$1=1$$

2) Teste para $x=-2$

$$\sqrt{x+2}=x+2$$

$$\sqrt{-2+2}=-2+2$$

$$\sqrt{0}=0$$

$$0=0$$

Exemplo 5:

Resolva a equação $\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$

Temos duas raízes de mesmo índice se multiplicando, podemos juntar elas em uma única raiz

$$\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$$

$$\sqrt{x.(2x+6)}=x+3$$

$$\sqrt{2x^2+6x}=x+3$$

Agora eliminamos a raiz

$$\sqrt{2x^2+6x}=x+3$$

$$(\sqrt{2x^2+6x})^2=(x+3)^2$$

$$2x^2+6x=x^2+6x+9$$

Vamos simplificar a expressão, vai que facilita nossa vida

$$2x^2+6x=x^2+6x+9$$

$$2x^2-x^2=6x-6x+9$$

$$x^2=9$$

E facilitou mesmo, pois temos uma equação de $2°$ grau incompleta e podemos resolvê-la sem utilizar a fórmula de Bháskara

$$x^2=9$$

$$\sqrt{x^2}=\sqrt{9}$$

$$x=\pm3$$

Encontramos duas respostas, e precisamos testá-las, pois o índice da raiz é par

1) Teste para $x=3$

$$\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$$

$$\sqrt{3}.\sqrt{2.3+6}=3+3$$

$$\sqrt{3}.\sqrt{6+6}=6$$

$$\sqrt{3}\sqrt{12}=6$$

$$\sqrt{3.12}=6$$

$$\sqrt{36}=6$$

$$6=6$$

2) Teste para $x=-3$

$$\sqrt{x}.\sqrt{2x+6}=x+3$$

$$\sqrt{-3}.\sqrt{2.(-3)+6}=-3+3$$

Aparentemente não é possível continuar, pois temos uma raiz com valor negativo dentro dela, mas vamos dar prosseguimento no cálculo para termos certeza

$$\sqrt{-3}.\sqrt{2.(-3)+6}=-3+3$$

$$\sqrt{-3}.\sqrt{-6+6}=0$$

$$\sqrt{-3}.\sqrt{0}=0$$

$$\sqrt{-3}.0=0$$

$$0=0$$

Na matemática não existe “achismo”, precisamos que ir até o final para termos a certeza ou grandes indícios de que podemos concluir algo sobre determinada situação. Ambas as respostas são válidas, tanto $3$, quanto $-3$.