O que é uma equação exponencial?
Tão amedrontadora quanto logaritmo, mas tão simples quanto, uma equação exponencial é um tipo de equação (expressão matemática que possui um sinal de igualdade e variáveis), onde a letra, também conhecida como incógnita, se encontra no expoente de algum termo da equação. A forma geral da equação exponencial é:
Sendo
Exemplos:
1)
2)
3)
Como resolver uma equação exponencial?
Como toda equação, tentaremos obter um valor para a incógnita que torne a igualdade verdadeira. Só que pela letra estar no expoente, a manipulação que devemos fazer não fica tão clara de início, mas você está no lugar certo para não mais bater cabeça com isso. Há duas formas de se resolver uma equação exponencial, que serão explicadas a seguir.
Método das bases iguais:
A primeira forma é igualando as bases das potências em ambos os lados da equação, para isso, precisamos utilizar as propriedades de potenciação e radiciação, então caso não saiba elas, aconselho dar uma conferida nos artigos sobre esses dois assuntos que estão aqui no blog. Como a igualdade garante que tudo o que está no
Exemplo 1:
Resolva a equação
Este é um exercício clássico e básico, onde apenas um dos lados está com a variável, ideal para começarmos. Primeiro, vamos analisar o
Temos quatro potências de base
Uma vez que as bases das potências são iguais, para que o lado esquerdo seja igual ao lado direito, os expoentes devem ser iguais também, então:
Resolvida a questão, para verificarmos se a resposta está correta, basta substituir na equação original
Nem sempre o cálculo irá parar quando igualarmos as bases, dependendo do expoente, pode haver outros passos a serem feitos.
Exemplo 2:
Resolva a equação
Temos raiz envolvida, mas não se desespere, temos tudo sobre controle, primeiramente, vamos transformar essa raiz em potência, utilizando uma propriedade de radiciação
E utilizando a propriedade de potenciação, chamada potência de potência, podemos simplificar o lado esquerdo, deixando tudo em um único expoente
Temos a potência de base
Agora é só igualar os expoentes e isolar o
Vamos verificar se essa resposta está certa
Exemplo 3:
Resolva a equação
Não se assuste com os expoentes, o processo será praticamente o mesmo, só que dessa vez a variável está em ambas as potências, mas independente disso, devemos deixar as potências com a mesma base e igualar os expoentes, como já fizemos antes. Uma dica: sempre tente transformar a base maior, na base menor
Agora é a hora de igualamos os expoentes
Chegamos em uma equação quadrática, e inicialmente, precisamos deixar ela na sua forma geral
Podemos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara
E então aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Tanto
Então, ambas as respostas estão corretas e são soluções para a equação.
Resolvendo equação exponencial com logaritmos:
Já que a variável está no expoente, nada melhor do que a propriedade de logaritmo que permite tombar o expoente do número que estiver no seu logaritmando, possibilitando que achemos a solução da equação exponencial. É muito importante que você já tenha visto e aprendido a trabalhar com o log e suas propriedades (tem artigo no blog sobre isso, corre lá). Independentemente do método que você utilizar, a resposta deve ser a mesma, e para comprovar isso, irei resolver dois dos exercícios anteriores, só que através de log.
Exemplo 1:
Resolva a equação
Começamos aplicando log em ambos os lados da equação, e é essencial escolhermos uma base que dê para resolver ambos os logs, nesse caso, a base
Agora tombamos o expoente do
Nos restou resolver os logaritmos
Não precisamos nem verificar, pois já o fizemos lá no primeiro método.
Exemplo 2:
Resolva a equação
O primeiro passo vai ser bem parecido com o que fizemos no outro exemplo
E agora, utilizamos o conhecimento sobre logaritmos, para finalizar o cálculo
Exemplo 3:
Resolva a equação
Diferente, mas nada que não possamos resolver. Há várias formas de iniciar esse exercício, podemos manipular as potências do lado esquerdo da equação, utilizar a propriedade de potência de potência para simplificar os expoentes, mas seguirei outro caminho, aplicarei log na base
Utilizando a propriedade do log da divisão, podemos separar o log do lado esquerdo em dois mais simples
Para terminar, resolvemos os logs e isolamos o
Substituindo na equação original, podemos averiguar se
Exercícios resolvidos de equação exponencial
1. Dada a equação
Podemos igualar as bases ou aplicar log dos dois lados, ambos irão funcionar, mas dependendo do tipo de questão, um será mais simples que o outro
Agora tombamos os expoentes dos logs
E os resolvemos
2. Um empresário irá investir
Primeiramente, vamos entender a função dada, o
Irei inverter os membros da equação para facilitar a visualização
Passando o
Chegamos em uma equação exponencial, nesse caso, a forma mais fácil de resolver, a meu ver, é igualar as bases, mas fique à vontade para tentar resolver com logaritmo
Importância de aprender equação exponencial
Esse assunto está profundamente ligado com função exponencial, que é uma ferramenta capaz de calcular como uma determinada população cresce, em quanto tempo um investimento alcançará determinado valor e até estipular o tempo de decaimento de um composto radioativo, além de estar bem presente em exercícios de matérias como cálculo e equações diferenciais, fazendo com que aprender equação exponencial seja muito útil.

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.