O que é uma equação exponencial?
Tão amedrontadora quanto logaritmo, mas tão simples quanto, uma equação exponencial é um tipo de equação (expressão matemática que possui um sinal de igualdade e variáveis), onde a letra, também conhecida como incógnita, se encontra no expoente de algum termo da equação. A forma geral da equação exponencial é:
$a^x=b$
Sendo $a$ e $b$, quaisquer números do conjunto dos números reais, desde $2$, $\sqrt{10}$ ou até mesmo a famosa constante de Euler $e\approx2,718$. Uma observação importante e que muita gente esquece de mencionar, é que o número que tiver a variável em seu expoente, deve ser positivo e diferente de $1$.
Exemplos:
1) $4^x=16$
2) $8^{x+1}=\frac{1}{8^{-3}}$
3) $e^{2x}-2e^x-3=0$
Como resolver uma equação exponencial?
Como toda equação, tentaremos obter um valor para a incógnita que torne a igualdade verdadeira. Só que pela letra estar no expoente, a manipulação que devemos fazer não fica tão clara de início, mas você está no lugar certo para não mais bater cabeça com isso. Há duas formas de se resolver uma equação exponencial, que serão explicadas a seguir.
Método das bases iguais:
A primeira forma é igualando as bases das potências em ambos os lados da equação, para isso, precisamos utilizar as propriedades de potenciação e radiciação, então caso não saiba elas, aconselho dar uma conferida nos artigos sobre esses dois assuntos que estão aqui no blog. Como a igualdade garante que tudo o que está no $1°$ e $2°$ membros da equação será igual, se tivermos potências de mesma base, seus expoentes devem ser, obrigatoriamente iguais, e assim, podemos iguala-los e achar o valor da incógnita. Vamos ver os exemplos para ficar mais claro o que foi explicado.
Exemplo 1:
Resolva a equação $2^x=16$
Este é um exercício clássico e básico, onde apenas um dos lados está com a variável, ideal para começarmos. Primeiro, vamos analisar o $16$, ele pode ser escrito de várias formas: $4.4$, $2.8$ ou $2.2.2.2$, como a base da potência do lado esquerdo (onde está a variável) é igual à $2$, esta última forma de representar o $16$ é a mais interessante para começarmos a desenvolver a equação
$2^x=2.2.2.2$
Temos quatro potências de base $2$ no lado direito da equação, precisamos transformar ela em uma única potência, e como faremos isso? Utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base.
$2^x=2^1.2^1.2^1.2^1$
$2^x=2^{1+1+1+1}$
$2^x=2^4$
Uma vez que as bases das potências são iguais, para que o lado esquerdo seja igual ao lado direito, os expoentes devem ser iguais também, então:
$x=4$
Resolvida a questão, para verificarmos se a resposta está correta, basta substituir na equação original
$2^x=16$
$2^4=16$
$16=16$
Nem sempre o cálculo irá parar quando igualarmos as bases, dependendo do expoente, pode haver outros passos a serem feitos.
Exemplo 2:
Resolva a equação $(\sqrt[3]{6})^x=36$
Temos raiz envolvida, mas não se desespere, temos tudo sobre controle, primeiramente, vamos transformar essa raiz em potência, utilizando uma propriedade de radiciação
$(\sqrt[3]{6})^x=36$
$(6^{\frac{1}{3}})^x=36$
E utilizando a propriedade de potenciação, chamada potência de potência, podemos simplificar o lado esquerdo, deixando tudo em um único expoente
$(6^{\frac{1}{3}})^x=36$
$6^{\frac{x}{3}}=36$
Temos a potência de base $6$ com a variável em seu expoente, então, precisamos deixar o $36$ na base $6$, e como $6.6=36$, podemos reescrevê-lo dessa forma e simplificar utilizando potenciação
$6^{\frac{x}{3}}=6.6$
$6^{\frac{x}{3}}=6^2$
Agora é só igualar os expoentes e isolar o $x$
$\frac{x}{3}=2$
$x=3.2$
$x=6$
Vamos verificar se essa resposta está certa
$(\sqrt[3]{6})^x=36$
$(\sqrt[3]{6})^6=36$
$(6^{\frac{1}{3}})^6=36$
$6^{\frac{6}{3}}=36$
$6^2=36$
$36=36$
Exemplo 3:
Resolva a equação $3^{x^2-3x}=9^{x^2-3x-2}$
Não se assuste com os expoentes, o processo será praticamente o mesmo, só que dessa vez a variável está em ambas as potências, mas independente disso, devemos deixar as potências com a mesma base e igualar os expoentes, como já fizemos antes. Uma dica: sempre tente transformar a base maior, na base menor
$3^{x^2-3x}=9^{x^2-3x-2}$
$3^{x^2-3x}=(3.3)^{x^2-3x-2}$
$3^{x^2-3x}=(3^2)^{x^2-3x-2}$
$3^{x^2-3x}=3^{2.(x^2-3x-2)}$
$3^{x^2-3x}=3^{2x^2-6x-4}$
Agora é a hora de igualamos os expoentes
$x^2-3x=2x^2-6x-4$
Chegamos em uma equação quadrática, e inicialmente, precisamos deixar ela na sua forma geral $ax^2+bx+c=0$, para facilitar a identificação dos coeficientes, faremos isso ao passar todos os termos do lado direito para o esquerdo (ou o contrário, caso ache melhor)
$x^2-3x=2x^2-6x-4$
$x^2-2x^2-3x+6x+4=0$
$-x^2+3x+4=0$
Podemos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara
$a=-1, b=3, c=4$
E então aplicamos a fórmula de Bhaskara:
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-3\pm\sqrt{(3)^2-4.(-1).4}}{2.(-1)}$
$x=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{-2}$
$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{-2}$
$x_1=\frac{-3+\sqrt{25}}{-2}$
$x_1=\frac{-3+5}{-2}$
$x_1=\frac{2}{-2}$
$x_1=-1$
$x_2=\frac{3-\sqrt{25}}{-2}$
$x_2=\frac{-3-5}{-2}$
$x_2=\frac{-8}{-2}$
$x_2=4$
Tanto $-1$, quanto $4$ são soluções da equação exponencial, mas por desencargo de consciência, vamos verificar
$3^{x^2-3x}=9^{x^2-3x-2}, x=-1$
$3^{(-1)^2-3.(-1)}=9^{(-1)^2-3.(-1)-2}$
$3^{1+3}=9^{1+3-2}$
$3^4=9^2$
$81=81$
$3^{x^2-3x}=9^{x^2-3x-2}, x=4$
$3^{4^2-3.4}=9^{4^2-3.4-2}$
$3^{16-12}=9^{16-12-2}$
$3^4=9^2$
$81=81$
Então, ambas as respostas estão corretas e são soluções para a equação.
Resolvendo equação exponencial com logaritmos:
Já que a variável está no expoente, nada melhor do que a propriedade de logaritmo que permite tombar o expoente do número que estiver no seu logaritmando, possibilitando que achemos a solução da equação exponencial. É muito importante que você já tenha visto e aprendido a trabalhar com o log e suas propriedades (tem artigo no blog sobre isso, corre lá). Independentemente do método que você utilizar, a resposta deve ser a mesma, e para comprovar isso, irei resolver dois dos exercícios anteriores, só que através de log.
Exemplo 1:
Resolva a equação $2^x=16$
Começamos aplicando log em ambos os lados da equação, e é essencial escolhermos uma base que dê para resolver ambos os logs, nesse caso, a base $2$ vai ser a adequada
$log_{2}2^x=log_{2}16$
Agora tombamos o expoente do $2$, fazendo com que o $x$ fique multiplicando o log
$log_{2}2^x=log_{2}16$
$x.log_{2}2=log_{2}16$
Nos restou resolver os logaritmos
$x.log_{2}2=log_{2}16$
$x.1=4$
$x=4$
Não precisamos nem verificar, pois já o fizemos lá no primeiro método.
Exemplo 2:
Resolva a equação $(\sqrt[3]{6})^x=36$
O primeiro passo vai ser bem parecido com o que fizemos no outro exemplo $2$, transformamos a raiz em potência, e depois aplicamos log dos dois lados da equação. Dessa vez a base a ser escolhida é $6$
$(\sqrt[3]{6})^x=36$
$(6^{\frac{1}{3}})^x=36$
$6^{\frac{x}{3}}=36$
$log_{6}6^{\frac{x}{3}}=log_{6}36$
E agora, utilizamos o conhecimento sobre logaritmos, para finalizar o cálculo
$log_{6}6^{\frac{x}{3}}=log_{6}36$
$\frac{x}{3}.log_{6}6=log_{6}36$
$\frac{x}{3}.1=2$
$\frac{x}{3}=2$
$x=3.2$
$x=6$
Exemplo 3:
Resolva a equação $(\frac{8}{2^{-2}})^x=64^{x-1}$
Diferente, mas nada que não possamos resolver. Há várias formas de iniciar esse exercício, podemos manipular as potências do lado esquerdo da equação, utilizar a propriedade de potência de potência para simplificar os expoentes, mas seguirei outro caminho, aplicarei log na base $2$, em ambos os membros, e o porquê disso? Poderei tombar ambos os expoentes que contêm $x$ logo no início do cálculo
$(\frac{8}{2^{-2}})^x=64^{x-1}$
$log_{2}(\frac{8}{2^{-2}})^x=log_{2}64^{x-1}$
$x.log_{2}\frac{8}{2^{-2}}=(x-1).log_{2}64$
Utilizando a propriedade do log da divisão, podemos separar o log do lado esquerdo em dois mais simples
$x.log_{2}\frac{8}{2^{-2}}=(x-1).log_{2}64$
$x.(log_{2}8-log_{2}2^{-2})=(x-1).log_{2}64$
$x.(log_{2}8-(-2).log_{2}2)=(x-1).log_{2}64$
$x.(log_{2}8+2log_{2}2)=(x-1).log_{2}64$
Para terminar, resolvemos os logs e isolamos o $x$
$x.(log_{2}8+2.log_{2}2)=(x-1).log_{2}64$
$x.(3+2.1)=(x-1)6$
$5x=6x-6$
$5x-6x=-6$
$-x=-6$
$x=6$
Substituindo na equação original, podemos averiguar se $6$ é de fato uma solução
$(\frac{8}{2^{-2}})^x=64^{x-1}$
$(\frac{8}{2^{-2}})^{6}=64^{6-1}$
$(8.2^2)^{6}=(64)^{5}$
$(2^3.2^2)^{6}=(2^6)^5$
$(2^5)^{6}=2^{30}$
$2^{30}=2^{30}$
Exercícios resolvidos de equação exponencial
1. Dada a equação $9^{3x+3}=27^{3x}$, ache o valor de $x$ que satisfaça a igualdade
Podemos igualar as bases ou aplicar log dos dois lados, ambos irão funcionar, mas dependendo do tipo de questão, um será mais simples que o outro
$9^{3x+3}=27^{3x}$
$log_{3}9^{3x+3}=log_{3}27^{3x}$
Agora tombamos os expoentes dos logs
$log_{3}9^{3x+3}=log_{3}27^{3x}$
$(3x+3)log_{3}9=(3x)log_{3}27$
E os resolvemos
$(3x+3)log_{3}9=(3x)log_{3}27$
$(3x+3).2=(3x).3$
$6x+6=9x$
$6=9x-6x$
$6=3x$
$3x=6$
$x=\frac{6}{3}$
$x=2$
2. Um empresário irá investir $500$ reais em um fundo de capital, cujo montante pode ser calculado através da função $M(t)=C.2^t$. O tempo, em anos, necessário para que o capital aplicado gere um montante de $4000$ reais é de?
Primeiramente, vamos entender a função dada, o $M$ representa o montante, que é o valor total de um investimento (passado algum tempo), é o capital investido mais o juro adquirido, já o $C$ é o dinheiro que o empresário investiu (chamado de capital), e o $t$ representa o tempo. Agora, substituímos os valores fornecidos em nossa expressão
$M(t)=C.2^t$
$4000=500.2^t$
Irei inverter os membros da equação para facilitar a visualização
$500.2^t=4000$
Passando o $500$ para o lado direito, para simplificar a expressão, teremos:
$2^t=\frac{4000}{500}$
$2^t=8$
Chegamos em uma equação exponencial, nesse caso, a forma mais fácil de resolver, a meu ver, é igualar as bases, mas fique à vontade para tentar resolver com logaritmo
$2^t=8$
$2^t=2^3$
$t=3$ anos
Importância de aprender equação exponencial
Esse assunto está profundamente ligado com função exponencial, que é uma ferramenta capaz de calcular como uma determinada população cresce, em quanto tempo um investimento alcançará determinado valor e até estipular o tempo de decaimento de um composto radioativo, além de estar bem presente em exercícios de matérias como cálculo e equações diferenciais, fazendo com que aprender equação exponencial seja muito útil.
