Equação exponencial: Como identificar e resolver de diferentes formas

A primeira forma é igualando as bases das potências em ambos os lados da equação, para isso, precisamos utilizar as propriedades de potenciação e radiciação, então caso não saiba elas, aconselho dar uma conferida nos artigos sobre esses dois assuntos que estão aqui no blog. Como a igualdade garante que tudo o que está no 1 ° e 2 ° membros da equação será igual, se tivermos potências de mesma base, seus expoentes devem ser, obrigatoriamente iguais, e assim, podemos iguala-los e achar o valor da incógnita. Vamos ver os exemplos para ficar mais claro o que foi explicado.

Exemplo 1:

Resolva a equação 2𝑥 =16

Este é um exercício clássico e básico, onde apenas um dos lados está com a variável, ideal para começarmos. Primeiro, vamos analisar o 16, ele pode ser escrito de várias formas: 4.4, 2.8 ou 2.2⁢.2⁢.2, como a base da potência do lado esquerdo (onde está a variável) é igual à 2, esta última forma de representar o 16 é a mais interessante para começarmos a desenvolver a equação

2𝑥 =2.2⁢.2⁢.2

Temos quatro potências de base 2 no lado direito da equação, precisamos transformar ela em uma única potência, e como faremos isso? Utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base.

2𝑥 =21⁢.21⁢.21⁢.21

2𝑥 =21+1+1+1

2𝑥 =24

Uma vez que as bases das potências são iguais, para que o lado esquerdo seja igual ao lado direito, os expoentes devem ser iguais também, então:

𝑥 =4

Resolvida a questão, para verificarmos se a resposta está correta, basta substituir na equação original

2𝑥 =16

24 =16

16 =16

Nem sempre o cálculo irá parar quando igualarmos as bases, dependendo do expoente, pode haver outros passos a serem feitos.

Exemplo 2:

Resolva a equação (3√6)𝑥 =36

Temos raiz envolvida, mas não se desespere, temos tudo sobre controle, primeiramente, vamos transformar essa raiz em potência, utilizando uma propriedade de radiciação

(3√6)𝑥 =36

(613)𝑥 =36

E utilizando a propriedade de potenciação, chamada potência de potência, podemos simplificar o lado esquerdo, deixando tudo em um único expoente

(613)𝑥 =36

6𝑥3 =36

Temos a potência de base 6 com a variável em seu expoente, então, precisamos deixar o 36 na base 6, e como 6.6 =36, podemos reescrevê-lo dessa forma e simplificar utilizando potenciação

6𝑥3 =6.6

6𝑥3 =62

Agora é só igualar os expoentes e isolar o 𝑥

𝑥3 =2

𝑥 =3.2

𝑥 =6

Vamos verificar se essa resposta está certa

(3√6)𝑥 =36

(3√6)6 =36

(613)6 =36

663 =36

62 =36

36 =36

Exemplo 3:

Resolva a equação 3𝑥2−3⁢𝑥 =9𝑥2−3⁢𝑥−2

Não se assuste com os expoentes, o processo será praticamente o mesmo, só que dessa vez a variável está em ambas as potências, mas independente disso, devemos deixar as potências com a mesma base e igualar os expoentes, como já fizemos antes. Uma dica: sempre tente transformar a base maior, na base menor

3𝑥2−3⁢𝑥 =9𝑥2−3⁢𝑥−2

3𝑥2−3⁢𝑥 =(3.3)𝑥2−3⁢𝑥−2

3𝑥2−3⁢𝑥 =(32)𝑥2−3⁢𝑥−2

3𝑥2−3⁢𝑥 =32.⁢(𝑥2−3⁢𝑥−2)

3𝑥2−3⁢𝑥 =32⁢𝑥2−6⁢𝑥−4

Agora é a hora de igualamos os expoentes

𝑥2 −3⁢𝑥 =2⁢𝑥2 −6⁢𝑥 −4

Chegamos em uma equação quadrática, e inicialmente, precisamos deixar ela na sua forma geral 𝑎⁢𝑥2 +𝑏⁢𝑥 +𝑐 =0, para facilitar a identificação dos coeficientes, faremos isso ao passar todos os termos do lado direito para o esquerdo (ou o contrário, caso ache melhor)

𝑥2 −3⁢𝑥 =2⁢𝑥2 −6⁢𝑥 −4

𝑥2 −2⁢𝑥2 −3⁢𝑥 +6⁢𝑥 +4 =0

−𝑥2 +3⁢𝑥 +4 =0

Podemos resolver essa equação utilizando a fórmula de Bhaskara

𝑎 =−1,𝑏 =3,𝑐 =4

E então aplicamos a fórmula de Bhaskara:

𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4⁢𝑎⁢𝑐2⁢𝑎

𝑥 =−3±√(3)2−4.⁢(−1)⁢.42.⁢(−1)

𝑥 =−3±√9+16−2

𝑥 =−3±√25−2

𝑥1 =−3+√25−2

𝑥1 =−3+5−2

𝑥1 =2−2

𝑥1 =−1

𝑥2 =3−√25−2

𝑥2 =−3−5−2

𝑥2 =−8−2

𝑥2 =4

Tanto −1, quanto 4 são soluções da equação exponencial, mas por desencargo de consciência, vamos verificar

3𝑥2−3⁢𝑥 =9𝑥2−3⁢𝑥−2,𝑥 =−1

3(−1)2−3.⁢(−1) =9(−1)2−3.⁢(−1)−2

31+3 =91+3−2

34 =92

81 =81

3𝑥2−3⁢𝑥 =9𝑥2−3⁢𝑥−2,𝑥 =4

342−3.4 =942−3.4−2

316−12 =916−12−2

34 =92

81 =81

Então, ambas as respostas estão corretas e são soluções para a equação.