Potenciação: Conceito, propriedades e exercícios

Potenciação
ExercíciosTeoria
08/08/2024
Daniel Duarte

O que é potenciação?

Também chamada de exponenciação, é uma operação matemática que representa várias multiplicações de um número por ele mesmo, nos permitindo simplificar cálculos que seriam extensos e que ocupariam bastante espaço no papel. Para simbolizar essas multiplicações na forma de potência, utilizaremos uma base, que é o número que se multiplica, e um expoente, que representa quantas vezes o número se repete:

$2^{4} = 2.2 .2 .2$

No exemplo acima, o número dois é a base da potência e o quatro é o expoente. De forma geral, podemos escrever a potência assim:

$a^{n}$

$a$ → base

$n$ → expoente

Como ler uma potência?

Dizemos que a base está elevada ao expoente, então se temos $3^{4}$ , o três está elevado à quatro. Caso a potência esteja elevada à $2$ , dizemos que ela está elevada ao quadrado, e se for à $3$ , está elevada ao cubo.

Considerações importantes sobre potenciação:

a) A base da potência deve ser diferente de zero;

b) Se o número estiver sozinho, ou seja, não estiver multiplicando-se, o expoente dele será $1$ ;

Exemplo:

$5 = 5^{1}$

c) Se o número não possuir expoente visível, implicitamente, o expoente dele é $1$ ;

Exemplo:

$5^{2} {.2}^{3} .3 = 5^{2} {.2}^{3} {.3}^{1}$

d) Qualquer número elevado à zero é igual à $1$ , com exceção do próprio zero.

Exemplos:

1) $3^{0} = 1$

2) $5^{0} = 1$

3) $(2.5)^{0} = 1$

Propriedades da potenciação

Para facilitar os cálculos com potências, utilizamos as propriedades, que foram criadas baseadas em certos padrões presentes em determinadas situações envolvendo potências. Todas as propriedades só são aplicáveis a potências que estiverem se multiplicando ou dividindo, caso haja alguma soma ou subtração entre elas, não será possível utilizar as propriedades.

Multiplicação de potências de mesma base:

Quando duas ou mais potências com a mesma base, estão se multiplicando, podemos transformá-las em uma única base e somar os expoentes de todas as bases.

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $4^{2} {.4}^{3} {.4}^{1}$

Temos várias potências de base $4$ , com expoentes diversos, ao invés de expandirmos cada uma e deixarmos a expressão gigantesca $4.4 .4 .4 .4 .4$ , podemos escrever apenas uma base $4$ e somar os expoentes das bases

$4^{2 + 3 + 1} = 4^{6}$

E está finalizada a questão, não é necessário calcular quanto é $4^{6}$ , pois vai dar um número muito grande, uma potência é uma representação de um número qualquer, então também é uma resposta válida

É possível fazer o caminho contrário, em alguns exercícios isso será útil para simplificar termos, se tiveres uma única potência com expoente diferente de $1$ , podes reescrevê-la como várias potências se multiplicando, contanto que a soma dos expoentes seja igual ao expoente original

Exemplo 2:

Transforme $2^{9}$ em uma multiplicação de potências de mesma base

Há várias formas de fazer isso, podemos expandir em nove potências de base $2$ com expoente $1$ , em três potências de base $2$ com expoente $3$ , dependendo da situação, uma forma vai ser melhor que outra

$2^{9} = 2^{3} {.2}^{3} {.2}^{3}$

$2^{9} = 2^{4} {.2}^{5}$

$2^{9} = 2^{6} {.2}^{3}$

Caso queiras comprovar se você separou certo, basta aplicar a propriedade e tentar voltar para a potência original

$2^{3} {.2}^{3} {.2}^{3} = 2^{3 + 3 + 3} = 2^{9}$

$2^{4} {.2}^{5} = 2^{4 + 5} = 2^{9}$

$2^{6} {.2}^{3} = 2^{6 + 3} = 2^{9}$

Divisão de potências de mesma base:

Se duas potências de mesma base estiverem se dividindo, podemos transformar elas em uma única potência e subtrair os expoentes

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $\frac{3^{6}}{3^{2}}$

Temos duas potências de base $3$ se dividindo, então, podemos juntá-las em uma só, mas para isso, temos que subtrair o expoente da que está no numerador da fração, pelo expoente da que está no denominador (e nunca o contrário).

$\frac{3^{6}}{3^{2}} = 3^{6 - 2} = 3^{4}$

Para não ficar repetindo a mesma coisa para todas as propriedades, farei uma observação geral, todas as propriedades de potenciação, permitem que você reverta o processo e volte para a sua forma original, então $3^{4}$ , pode ser escrita como duas potências de base $3$ , se dividindo, cuja subtração dos expoentes delas resulte em $4$

$3^{4} = 3^{6 - 2} = \frac{3^{6}}{3^{2}}$

$3^{4} = 3^{7 - 3} = \frac{3^{7}}{3^{3}}$

$3^{4} = 3^{5 - 1} = \frac{3^{5}}{3^{1}}$

Exemplo 2:

Simplifique a expressão $\frac{2^{5} {.2}^{2}}{2^{- 3}}$

E agora? Temos potências de mesma base se multiplicando e se dividindo, basicamente, iremos utilizar mais de uma propriedade, e aqui entra a beleza da matemática, podes resolver de formas diferentes e mesmo assim chegar no mesmo resultado. Primeiramente, vamos aplicar a propriedade da multiplicação de potências de mesma base para simplificar o numerador, deixando uma única potência de base $2$

$\frac{2^{5} {.2}^{2}}{2^{- 3}} = \frac{2^{5 + 2}}{2^{- 3}}$

$\frac{2^{7}}{2^{- 3}}$

Agora aplicamos a divisão de potência de mesma base, mas tome cuidado com os sinais, uma coisa é o sinal de subtração que vem da propriedade, outra coisa é o sinal negativo do expoente, aconselho utilizar parênteses para não se atrapalhar

$\frac{2^{7}}{2^{- 3}} = 2^{7 - (- 3)} = 2^{7 + 3} = 2^{10}$

Outra forma de resolver, é aplicando a propriedade da divisão primeiro, podes fazer isso com $2^{5}$ e $2^{- 3}$ ou com $2^{2}$ e $2^{- 3}$ , fica a seu critério, o que achares mais fácil. Irei fazer com o que está elevado à $5$

$\frac{2^{5} {.2}^{2}}{2^{- 3}} = 2^{5 - (- 3)} {.2}^{2}$

$2^{8} {.2}^{2} = 2^{8 + 2} = 2^{10}$

Potência de potência:

Se uma potência, estiver elevada a outro expoente, podes multiplicar um expoente pelo outro

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $(4^{2})^{3}$

O quatro está elevado à $2$ e toda a potência está elevada à 3, podemos reescrever isso como $4$ elevado à $2$ vezes $3$

$(4^{2})^{3} = 4^{2.3} = 4^{6}$

Exemplo 2:

Simplifique a expressão $((5^{3})^{4})^{2}$

Agora temos uma potência sendo elevada a outros dois expoentes, podemos ir fazendo o processo passo à passo, multiplicando os expoentes mais externos ou escrever o $5$ elevado aos três expoentes multiplicados

$((5^{3})^{4})^{2} = 5^{3.4 .2} = 5^{24}$

Potência de uma multiplicação:

Quando duas ou mais potências estiverem se multiplicando e todas estiverem sendo elevadas a algum expoente, podemos multiplicar esse expoente que está elevando todo mundo pelos expoentes das potências que estão se multiplicando. Essa propriedade é basicamente, uma extensão da anterior, só que ao invés de uma potência, são duas ou mais

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $(2^{3} {.2}^{4} .2)^{2}$

Vamos distribuir o expoente $2$ pelos expoentes que estão elevando todas as potências dentro dos parênteses

$(2^{3} {.2}^{4} .2)^{2} = 2^{3.2} {.2}^{4.2} {.2}^{1.2} = 2^{6} {.2}^{8} {.2}^{2}$

Agora utilizamos a multiplicação de potências de mesma base para finalizar o exercício

$2^{6 + 8 + 2} = 2^{16}$

Exemplo 2:

Simplifique a expressão $\frac{(3^{2} {.3}^{4})^{2}}{3^{8}}$

Primeiro distribuímos os expoentes no numerador

$\frac{(3^{2} {.3}^{4})^{2}}{3^{8}} = \frac{3^{2.2} {.3}^{4.2}}{3^{8}}$

$\frac{3^{4} {.3}^{8}}{3^{8}}$

Agora utilizamos as outras propriedades para achar a resposta

$\frac{3^{4} {.3}^{8}}{3^{8}} = \frac{3^{4 + 8}}{3^{8}}$

$\frac{3^{12}}{3^{8}} = 3^{12 - 8} = 3^{4}$

Potência de uma divisão:

Essa propriedade é praticamente idêntica a anterior, só que ao invés de potências se multiplicando, elevadas a um expoente, nesse caso temos potências se dividindo, e o processo é o mesmo, pegamos o expoente que está elevando todo mundo, e multiplicamos pelos expoentes das potências

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $(\frac{4^{- 2}}{4^{- 6}})^{2}$

Multiplicamos o $2$ que está elevando ambas as potências, pelos expoentes delas

$(\frac{4^{- 2}}{4^{- 6}})^{2}$

$\frac{4^{- 2.2}}{4^{- 6.2}} = \frac{4^{- 4}}{4^{- 12}}$

Agora é só utilizarmos os conhecimentos anteriores

$4^{- 4 - (- 12)} = 4^{- 4 + 12} = 4^{8}$

Exemplo 2:

Simplifique a expressão $(\frac{2^{5}}{2^{3} {.2}^{2}})^{3}$

Antes de distribuir a potência que está elevando todos dentro dos parênteses, podemos simplificar o denominador da fração, pois termos duas potências de mesma base se multiplicando

$(\frac{2^{5}}{2^{3} {.2}^{2}})^{3} = (\frac{2^{5}}{2^{3 + 2}})^{3}$

$(\frac{2^{5}}{2^{5}})^{3}$

Poderíamos simplificar os dois $2^{5}$ , pois qualquer número dividido por ele mesmo é igual à $1$ , mas para utilizarmos a propriedade, vamos distribuir o expoente $3$

$(\frac{2^{5}}{2^{5}})^{3} = \frac{2^{5.3}}{2^{5.3}}$

$\frac{2^{15}}{2^{15}} = 2^{15 - 15} = 2^{0} = 1$

Multiplicação de potências com expoentes iguais:

Caso as potências não possuam a mesma base, não será o fim do mundo, pois caso elas tenham o mesmo expoente, há duas propriedades que nos ajudarão a trabalhar com elas. Se tivermos duas ou mais potências se multiplicando (de mesma base ou não), elevadas a um mesmo expoente, podemos multiplicar as bases e elevar todas a esse mesmo expoente, pode parecer confuso, mas no exemplo será melhor para visualizar

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $2^{2} {.3}^{2} {.1}^{2}$

Todas as potências estão elevadas à $2$ , então podemos multiplicar as bases e elevar tudo isso ao expoente que elas têm em comum

$2^{2} {.3}^{2} {.1}^{2} = (2.3 .1)^{2} = (6)^{2} = 6^{2}$

Exemplo 2:

Simplifique a expressão $\frac{2^{3} {.3}^{3}}{6^{2} {.6}^{2}}$

No numerador, podemos aplicar a propriedade que acabamos de ver, e no denominador, temos duas potências de mesma base e mesmo expoente, podes transformar em uma base só e somar os expoentes, ou multiplicar as bases e elevar ao expoente em comum, fica a seu critério

$\frac{2^{3} {.3}^{3}}{6^{2} {.6}^{2}} = \frac{(2.3)^{3}}{6^{2 + 2}}$

$\frac{6^{3}}{6^{4}} = 6^{3 - 4} = 6^{- 1}$

Divisão de potências com expoentes iguais:

Muito parecida com a propriedade anterior, quando tivermos potências com expoentes iguais, se dividindo, podemos efetuar a divisão das bases e elevar tudo isso ao expoente que elas tiverem em comum

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $\frac{10^{4}}{5^{4}}$

Tanto o $10$ , quanto o $5$ estão elevados à 4, então, podemos aplicar a propriedade de divisão de potências com expoentes iguais

$\frac{10^{4}}{5^{4}} = (\frac{10}{5})^{4} = 2^{4}$

Exemplo 2:

Simplifique a expressão $\frac{5^{3} {.5}^{3}}{5^{3}}$

Podemos seguir diferentes caminhos para resolver essa questão, utilizarei as duas propriedades recentemente vistas, pois tenho potências de mesmo expoente se multiplicando e dividindo

$\frac{5^{3} {.5}^{3}}{5^{3}} = \frac{(5.5)^{3}}{5^{3}}$

$\frac{25^{3}}{5^{3}} = (\frac{25}{5})^{3} = 5^{3}$

Caso especial de potenciação:

Tem uma manipulação matemática que não necessariamente é feita utilizando uma propriedade de potenciação, mas como tem a ver com potência, geralmente é classificada com um caso especial. Quando temos uma potência com expoente negativo, no numerador de uma fração, podemos passar essa potência para o denominador, trocando o sinal do expoente dela. Então, se temos $2^{- 3}$ , que é a mesma coisa que $\frac{2^{- 3}}{1}$ (pois todo número inteiro, pode ser escrito como sendo dividido $1$ ), podemos passar o $2$ para o denominador da fração, trocando o sinal do expoente $- 3$ de negativo para positivo, ficando: $\frac{1}{2^{3}}$ .

O contrário também é verdade, podemos passar uma potência do denominador para o numerador, trocando o sinal do expoente, e por mais que seja comum fazer esse processo com potências de expoente negativo, podemos fazer o mesmo com potências de expoente positivo. Isso pode ser útil em muitas ocasiões (é um artifício frequentemente utilizado em derivadas e integrais).

Exercícios resolvidos de potenciação

1. Em uma fazenda, é feita semestralmente uma contagem das árvores frutíferas, com o intuito de catalogar quantas frutas poderão ser colhidas caso não ocorra nenhum imprevisto. Sabendo que há sete árvores frutíferas, com sete galhos cada uma, e em cada galho nasce em média sete frutas a cada semestre, quantas frutas poderão ser colhidas? Escreva a resposta em forma de potência.

Temos o número sete se repetindo três vezes no enunciado, pois em cada árvore, tem sete galhos e ao todo são sete árvores, e em cada galho nascem sete frutas, então podemos escrever a quantidade de frutas como sendo o número de árvores, multiplicado pela quantidade de galhos e pelas frutas

$7.7 .7$

Temos três potências de base sete se multiplicando, então, podemos simplificar essa expressão utilizando a multiplicação de potências de mesma base e achar o que a questão pede

$7.7 .7 = 7^{1} {.7}^{1} {.7}^{1} = 7^{1 + 1 + 1} = 7^{3}$

2. Qual o resultado da expressão abaixo?

$\frac{(5^{- 3} {.2}^{10} {.3}^{4})^{0} .16}{4}$

Antes que comecemos a fazer cálculos desnecessários, vamos olhar para o expoente que está elevando todo mundo dentro dos parênteses no numerador, o zero, como dito no início desse artigo, ao elevar qualquer número a ele, o resultado sempre será $1$ , então, podemos simplificar boa parte da expressão com essa informação

$\frac{(5^{- 3} {.2}^{10} {.3}^{4})^{0} .16}{4} = \frac{1.16}{4}$

$\frac{16}{4} = 4$

3. Dada a expressão abaixo, simplifique-a

$\frac{(3^{2} {.2}^{2})^{3} {.3}^{4} {.3}^{- 4}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

Nessa questão, utilizaremos várias propriedades para simplificar a expressão, mas apesar do tamanho dela, você tem plena capacidade de resolvê-la, pois tudo que você usará, está aqui nesse artigo. O segredo para resolver esse tipo de questão, é ir passo a passo, aplicando uma propriedade por vez.

Primeiro, vamos simplificar os termos dentro dos parênteses no numerador, com a multiplicação de potências de expoentes iguais

$\frac{(3^{2} {.2}^{2})^{3} {.3}^{4} {.3}^{- 4}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

$\frac{((3.2)^{2})^{3} {.3}^{4} {.3}^{- 4}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

$\frac{(6^{2})^{3} {.3}^{4} {.3}^{- 4}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

Agora aplicamos a propriedade de potência de potência no $6$ e de multiplicação de potências de mesma base no resto do pessoal no numerador

$\frac{(6^{2})^{3} {.3}^{4} {.3}^{- 4}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

$\frac{6^{2.3} {.3}^{4 + (- 4)}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

$\frac{6^{6} {.3}^{0}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

$\frac{6^{6} .1}{6^{6} {.3}^{- 2}} = \frac{6^{6}}{6^{6} {.3}^{- 2}}$

Podemos aplicar a propriedade de divisão de potências de mesma base, pois temos duas potências de base $6$ se dividindo

$\frac{6^{6}}{6^{6} {.3}^{- 2}} = \frac{6^{6 - 6}}{3^{- 2}}$

$\frac{6^{0}}{3^{- 2}} = \frac{1}{3^{- 2}}$

Chegamos na resposta, mas podemos passar a potência com expoente negativo para o numerador, trocando o sinal do expoente

$\frac{1}{3^{- 2}} = 3^{2}$

Importância de aprender potenciação

Junto com a radiciação, a exponenciação é uma das ferramentas da matemática básica, mais úteis para simplificar expressões que resultariam em números muito altos ou cálculos desnecessariamente extensos. Ela está presente em muitos assuntos da matemática, como a equação exponencial, por exemplo, e te dará uma boa dor de cabeça não saber utilizar essas propriedades, quando você se deparar com a potenciação neles.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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