Utilizados em representações de pontos em um espaço cartesiano, para indiciar as coordenadas de um vetor com três componentes e em funções de duas variáveis, os ternos ordenados tão importantes quanto os pares ordenados.
O que é um terno ordenado?
O terno ordenado é uma representação matemática de três elementos de um conjunto numérico, coordenadas de um vetor ou de um ponto em um espaço cartesiano. Sim, parece a mesma definição de par ordenado, e isso não é por acaso, pois o terno é uma extensão do par ordenado, suas aplicações são praticamente as mesmas e a ordem dos elementos importam, assim como nos pares. Portanto, o terno $(1,-2,0)$ é diferente do terno $(-2,0,1)$, pois a ordem altera completamente a informação passada por eles.
Exemplos:
1) $(-1,0,4)$
2) $(3,1,2)$
3) $(-5,-1,-1)$
A simbolização do terno ordenado se dá por um parêntese, com três elementos um do lado do outro, separados por uma vírgula, com cada um deles representando um determinado valor, pertencente geralmente ao conjunto dos números reais.
$$(a,b,c)$$
O valor $a$ é o primeiro elemento, o $b$ é o segundo e $c$ é o terceiro.
Como representar o terno ordenado no espaço cartesiano?
Diferentemente do par ordenado, o terno pode ser utilizado para demarcar pontos em um espaço cartesiano, não em um plano, ou seja, há três eixos ($x$, $y$ e $z$) a serem considerados. Para marcarmos um ponto no espaço cartesiano, precisamos de três coordenadas, uma para o eixo $x$, outra para o eixo $y$ e uma terceira para o eixo $z$. Para representá-las iremos usar um terno ordenado. Utilizemos como exemplo um ponto de coordenadas $x=2$, $y=4$ e $z=5$, essas coordenadas podem ser representadas por um terno ordenado genérico $(x,y,z)$, onde os valores são respectivamente $2$, $4$ e $5$, essa notação ficará próxima ao ponto demarcado no espaço cartesiano, como veremos na figura abaixo.
De forma geral, para qualquer ponto, o terno terá a seguinte aparência:
Onde os valores $x_1$, $y_1$ e $z_1$, serão respectivamente as coordenadas dos eixos $x$, $y$ e $z$.
Exercícios resolvidos de terno ordenado
1. Represente graficamente o ponto de coordenadas $(1,-1,3)$
Já que temos um terno ordenado, representaremos o ponto em um espaço cartesiano. O primeiro elemento corresponde ao valor no eixo $x$, o segundo é a coordenada no eixo $y$, e o terceiro se refere ao valor no eixo $z$. Agora podemos desenhar nosso ponto:
2. Dada a equação $x+3y+2z=0$, e sabendo que o terno ordenado $(a,-4,a+3)$ é uma de suas soluções, determine o valor de $a$. Ilustre a resposta em um espaço cartesiano.
Outra aplicação do terno é em equações de três variáveis, onde cada elemento deve ser substituído na variável correspondente para se obter determinado valor. Na questão acima, substituiremos $a$ no lugar de $x$, $-4$ onde tem $y$ e o elemento $a+3$ deve ser substituir o $z$
$$x+3y+2z=0$$
$$a+3(-4)+2(a+3)=0$$
Então isolamos o $a$ para descobrirmos seu valor
$$a+3(-4)+2(a+3)=0$$
$$a-12+2a+6=0$$
$$3a=12-6$$
$$3a=6$$
$$a=\frac{6}{3}=2$$
Nosso terno ordenado, ao substituirmos o valor que encontramos para $a$ ficará da seguinte forma:
$$(a,-4,a+3)$$
$$(2,-4,2+3)$$
$$(2,-4,5)$$
O que isso significa? Significa que ao substituirmos esses valores nas variáveis correspondentes, a igualdade se tornará verdadeira, pois é dito no enunciado da questão que o terno ordenado é uma solução para a equação. Por fim, vamos representar graficamente o terno, como foi pedido.
