De forma simples, são representações matemáticas que por meio de símbolos e números, nos permitem trabalhar e interpretar valores, quantidades e dados do mundo real. Ao longo desse post iremos explorar seus elementos, tipos e como podemos manipulá-las da melhor forma possível.
Características das expressões matemáticas
As expressões matemáticas são estruturas essenciais da matemática, que utilizam variáveis, constantes e operadores para representar relações entre quantidades.
Variáveis e constantes:
Variáveis (ou incógnitas) são símbolos que representam valores desconhecidos ou que podem mudar. Comumente, usamos letras como $x$ ou $y$ para simbolizá-las. Por outro lado, as constantes representam valores fixos, imutáveis, como números específicos, por exemplo: $5$, $\sqrt{2}$ ou $π$.
A utilização delas nas expressões permite que possamos manipular e entender melhor os problemas. É fundamental, portanto, saber diferenciar entre uma variável e uma constante e como cada uma delas influencia o resultado da expressão.
Operadores matemáticos:
Também denominados “operadores aritméticos”, são símbolos que indicam operações a serem realizadas nas expressões. Os principais operadores são:
Adição ($+$)
Subtração ($-$)
Multiplicação ($\times$)
Divisão ($\div$)
Cada operador possui um efeito específico nas variáveis e constantes, permitindo a construção de expressões que refletem cálculos matemáticos. Caso tenha dificuldade em realizar alguma das quatro operações básicas, recomendo fortemente que leia nosso artigo que fala sobre elas.
Ordem das operações:
Há uma sequência em que as operações devem ser realizadas, segui-la é fundamental para garantir que o resultado da expressão seja correto. De forma simplificada, as regras podem ser lembradas pela sigla PEMDAS:
Parênteses;
Exponenciação;
Multiplicação e Divisão (da esquerda para a direita);
Adição e Subtração (da esquerda para a direita).
Uma simples alteração na sequência pode levar a respostas diferentes, e para ilustrar isso, mostrarei uma expressão sendo resolvida de duas formas, na primeira seguirei a sequência de operações corretamente, na segunda farei do jeito errado.
Exemplo:
Resolva a expressão $4+8\div2$
Seguindo o PEMDAS, resolverei primeiro a divisão e depois a soma
$$4+8\div2=4+4=8$$
A resposta correta é $8$. Agora irei resolver primeiro a soma
$$4+8\div2=12\div2=6$$
O resultado foi diferente e errado, pela matemática ser uma ciência exata, independente do método usado, o valor obtido na resposta deve ser sempre o mesmo.
Tipos de expressões matemáticas
Existem alguns tipos de expressões matemáticas, mas irei me limitar a explicar os dois principais: as expressões numéricas (ou aritméticas) e algébricas, destacando suas características e mostrando exemplos.
Expressões numéricas:
São expressões formadas por números e operações básicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão.
Exemplos:
1) $5+2\times3$
2) $3+(12\div4)-2\times3$
3) $-1\times[3-(2\times4)+1]+{[2+1]\div3}$
Essas expressões são essenciais para cálculos com valores constantes. Seus componentes são:
Números: Valores que compõem a expressão, exemplos: $5, 2, 3$
Operadores: Símbolos que indicam as operações a serem realizadas ($+, -, \times, \div$)
Expressões algébricas:
As expressões algébricas são mais abrangentes e envolvem além dos números e operações matemáticas, as variáveis. Elas são constituídas por termos e uma combinação de constantes e variáveis. Por exemplo, a expressão $2x-6$ é algébrica, onde $x$ é a variável e $2$ e $-6$ são constantes.
Essas expressões podem ser simples ou complexas, dependendo do número de termos, variáveis e operações. Os principais elementos são:
Termos: Unidade básica da expressão, exemplo: $3x$
Coeficientes: Números que multiplicam variáveis (ou que estão sozinhos), exemplo: $3$ em $3x$
Graus: O maior expoente de uma incógnita, exemplo: $x^2$ tem grau $2$
Elas são fundamentais na resolução de equações e na modelagem matemática, além de terem questões específicas sobre a simplificação das expressões algébricas.
Outro conceito importante é o valor numérico de uma expressão algébrica, que resumidamente, é um número obtido após substituir as variáveis por números e realizar as operações.
Como resolver uma expressão matemática?
A resolução é a parte mais simples, porém, mais trabalhosa, no caso da expressão numérica, basta resolvermos todas as operações até restar um único número. Já na expressão algébrica, tentaremos achar seu valor numérico, se já conhecermos as variáveis, ou simplificaremos a expressão ao máximo, e para isso, juntaremos os termos semelhantes (termos que possuírem as mesmas letras) e realizaremos as operações.
Exercícios resolvidos de expressões matemáticas
1. Resolver a expressão $3+2\times(5-1)$
Primeiramente, vamos resolver a operação dentro dos parênteses
$$3+2\times(5-1)=3+2\times4$$
Efetuamos agora a multiplicação
$$3+2\times4=3+8$$
Por fim, somamos os valores restantes
$$3+8=11$$
2. Calcule $[12\div4+(3\times2+1)]-8$
Antes de qualquer coisa, devemos resolver as operações dentro dos parênteses, começando pela multiplicação
$$[12\div4+(3\times2+1)]-8=[12\div4+(6+1)]-8=[12\div4+7]-8$$
Agora resolvemos as operações dentro dos colchetes, iniciando pela divisão
$$[12\div4+7]-8=[3+7]-8=10-8$$
Nos restou subtrair os números restantes
$$10-8=2$$
3. Calcule o valor numérico da expressão abaixo, sabendo que $x=2$
$$(2x+5)\div3$$
A questão nos deu o valor da variável, então vamos substituir na expressão e resolver as operações seguindo a sequência do PEMDAS
$$(2x+5)\div3=(2.2+5)\div3=(4+5)\div3=9\div3=3$$
4. Determine o valor da expressão abaixo, sabendo que $x=40$ e $y=-2$
$$x\div[2\times(3y-4)]$$
Agora são duas variáveis, mas o processo é o mesmo, substituímos os valores que são dados no enunciado
$$x\div[2\times(3y-4)]=40\div[2\times(3\times(-2)-4)]$$
Resolveremos os cálculos dentro dos parênteses, lembrando de utilizar a regra de sinais para não errar na multiplicação
$$40\div[2\times(3\times(-2)-4)]=40\div[2\times(-6-4)]= 40\div[2\times(-10)]$$
Para finalizar, efetuamos a multiplicação dentro dos colchetes e a divisão do $40$ pelo resultado disso
$$40\div[2\times(-10)]=40\div(-20)=-2$$
Importância de aprender expressões matemáticas
Entendê-las é fundamental para compreendermos inúmeros conceitos e aplicações na matemática. Elas nos permitem representar relações entre números e variáveis de forma clara e concisa, facilitando a resolução de problemas. Muito utilizadas na resolução de equações, funções e até em assuntos da matéria de ensino superior chamada cálculo, as expressões matemáticas, juntamente com as operações básicas, formam um dos primeiros pilares da construção do conhecimento matemático.
