Dízimas finitas e infinitas: O que são e suas características

Neste artigo, explicarei o conceito de dízima, com foco em suas classificações como finitas ou infinitas. Irei abordar as condições que determinam a conversão de frações em dízimas finitas e a presença de dízimas infinitas periódicas, considerando a influência dos fatores primos dos denominadores. Além disso, discutiremos a relação entre frações decimais e suas representações no sistema decimal, incluindo curiosidades sobre números racionais e irracionais.

O que é uma dízima finita?

Também conhecida como decimal finito, é uma representação decimal que termina após um certo número de dígitos. Isso ocorre quando a divisão entre dois números resulta em um decimal exato. Por exemplo, 0,25 é uma dízima finita, pois é a representação decimal da fração 14, que possui um número finito de dígitos após a vírgula. Dízimas finitas ocorrem quando a fração pode ser simplificada para um denominador que possui apenas os fatores primos 2 e/ou 5, que são os fatores da base do sistema decimal.

O que é uma dízima infinita?

Diferentemente da dízima finita, é uma representação decimal que possui uma sequência de dígitos que se repete infinitamente. Isso acontece quando a divisão entre dois números não resulta em um decimal exato. Existem dois tipos de dízimas infinitas: periódicas e não periódicas. As dízimas periódicas têm uma sequência de dígitos que se repete indefinidamente, como em 0,666 (representação decimal de 23). Caso uma fração tenha um denominador com pelo menos um fator primo diferente de 2 e de 5, ela não pode ser convertida em uma fração decimal e, consequentemente, se apresenta como uma dízima infinita periódica. Já as dízimas não periódicas, como a representação decimal do número π (3,14159), não têm uma repetição regular de dígitos e são típicas dos números irracionais. Uma curiosidade interessante é que nenhuma dízima periódica possui um período (parte que se repete) igual à 9.

Fração geratriz de uma dízima periódica

A fração geratriz de uma dízima periódica é a fração que, quando convertida em decimal, gera uma dízima periódica. A identificação da fração geratriz é um processo útil para transformar uma representação decimal periódica de volta à sua forma fracionária original, revelando a expressão exata do número.

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