Capaz de solucionar diversos cálculos e uma ferramenta essencial para todo estudante, a regra de 3 é muito útil independentemente do seu grau de escolaridade e até para quem irá prestar algum concurso cujas questões de matemática possuem um nível mais tranquilo.
O que é regra de 3 simples?
É um método/dispositivo matemático que nos permite encontrar um valor ou uma quantidade de algo, com base em outros valores já conhecidos. Por exemplo, digamos que você quer contratar um pedreiro para fazer uma reforma, no entanto, tu prezas por ter privacidade e conforto e não queres que a obra dure muito tempo, o pedreiro disse que precisaria de um servente, e juntos terminariam a reforma em 12 dias, mas precisas que tudo termine em no máximo 4 dias, quantos serventes à mais precisam ser contratados para que a obra termine dentro do prazo? É esse tipo de pergunta que a regra de 3 ajuda a responder.
De um jeito formal e geral, a regra de 3 relaciona duas grandezas, a fim de facilitar a obtenção de um valor desconhecido dentre elas, mas antes de irmos para os exercícios para que possa explicar como usá-la, preciso que saibas o que é uma grandeza e outras coisas mais.
Grandezas direta e inversamente proporcionais
Em termos simples, grandeza é tudo o que podemos medir, mensurar ou contar, desde a quantidade de pães, quantos litros de água há em um garrafão, até a velocidade de um carro ou a força aplicada em uma bola de vôlei em uma cortada. E para entendermos a regra de 3 é fundamental que saibamos a diferença entre grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais, o primeiro tipo é quando ambas se comportam de forma parecida em relação a quanto elas aumentam ou diminuem.
Tomemos como exemplo uma fábrica de sorvete que possui $40$ máquinas, por semana, é capaz de gerar em torno de $8000$ caixas de sorvete, se o número de máquinas aumentar, ao final dos mesmos sete dias serão produzidos mais ou menos caixas de sorvetes? Mais, pois temos uma quantidade maior de máquinas, possibilitando que sejam produzidos mais sorvetes, temos nesse caso grandezas diretamente proporcionais, pois quando uma cresce, a outra também cresce, mas quais são as grandezas? Máquinas e caixas de sorvete.
Agora vamos pensar em outro exemplo, suponhamos que ao percorrermos um determinado trajeto de carro a uns $80$ km/h, demoramos $2$ horas. Caso aumentássemos a velocidade, chegaríamos no nosso destino em mais ou menos tempo? Em menos tempo, pois a distância percorrida por hora seria maior, diminuindo assim o tempo decorrido, esse é um caso de grandezas inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui ou vice-versa, e se tens dúvida de quais são as grandezas nessa situação, são a velocidade e o tempo.
Como usar a regra de 3 simples?
Há várias formas de se aplicar a regra de 3, mostrarei a que acho mais simples e que mais vejo sendo utilizada, primeiramente devemos identificar quais são as duas grandezas importantes na questão, depois analisamos se elas são direta ou inversamente proporcionais (isso mudará um pouco a forma de resolver), por fim, montaremos uma equação de $1°$ grau para achar o valor pedido.
Exemplo 1:
Dedicando $4$ horas por dia, um artesão consegue produzir $8$ máscaras para gripe. Caso ele passe a dedicar $8$ horas de seu dia, mantendo a produtividade, quantas máscaras ele conseguirá confeccionar em um dia?
Começamos identificando as grandezas, que nesse caso são o “tempo” em horas e a “quantidade de máscaras”. Em seguida, organizaremos da seguinte forma: Duas colunas, cada uma com o nome de uma grandeza, colocamos na primeira linha abaixo desses nomes a quantidade (ou valor) inicial e na linha abaixo a quantidade final, com a observação de que como a questão nos pede a quantidade de máscaras final (quando o artesão trabalhar $8$ horas por dia), colocaremos uma letra ($x$, por exemplo) para representar o valor que queremos encontrar e que por enquanto, é desconhecido:
Então, analisamos como as grandezas se relacionam, se o artesão trabalhar mais horas, mantendo a produtividade, ele conseguirá produzir mais ou menos máscaras? Mais máscaras, pois ele tem mais tempo para produzir mais máscaras, uma vez que a produção dele não irá diminuir e mesmo que diminuísse, por ter mais tempo, a quantidade seria maior no final, portanto, elas são diretamente proporcionais, enquanto uma cresce a outra cresce também. Sabendo disso, multiplicaremos os valores em cruz os valores da tabela que montamos, como mostra a figura abaixo:
E então, igualamos as multiplicações, montando uma equação de $1°$ grau no processo
$$4x=8.8$$
$$4x=64$$
Para finalizar a questão, resolvemos a equação (tem artigo aqui no canal sobre ela)
$$4x=64$$
$$x=\frac{64}{4}$$
$$x=16$$
O artesão confeccionará $16$ máscaras se trabalhar $8$ horas diárias.
Exemplo 2:
Um tanque de água demora $20$ horas para ser cheio com duas torneiras ligadas. Se forem utilizadas oito torneiras com mesma vazão, em quanto tempo o tanque será cheio?
Primeiramente, vamos identificar as grandezas, só que temos que descartar uma possibilidade, o tanque não será considerado em nossos cálculos, pois apesar de ele ser uma grandeza (podemos contar a quantidade de tanques), seu valor não muda, temos um tanque no início e no final continuamos somente com ele, então, as grandezas importantes serão a “quantidade de torneiras” e o “tempo”. Agora, organizaremos a tabela do mesmo jeito que no exercício anterior, com uma coluna para a cada grandeza:
Uma vez organizada a minitabela, analisemos a proporcionalidade entre as grandezas, se aumentaram o número de torneiras, o tanque será cheio em mais ou menos tempo? Menos tempo, pois quanto mais torneiras, mais água será injetada no tanque, fazendo com que ele encha mais rápido, então, já que uma grandeza cresce, enquanto a outra diminui, elas são inversamente proporcionais. O que isso impacta na questão? Multiplicaremos os valores da primeira linha (de cima para baixo) e os da segunda linha entre si:
E então montamos uma equação linear igualando ambas as multiplicações
$$8x=2.20$$
$$8x=40$$
Por fim, resolvemos a equação, achando assim a resposta do exercício (lembre-se de colocar a unidade de medida correta)
$$8x=40$$
$$x=\frac{40}{8}$$
$$x=5$$
Demorará $5$ horas para encher totalmente o tanque se forem ligadas $8$ torneiras
Regra de 3 composta
A extensão da regra de 3 simples é a regra de 3 composta, cujas diferenças são a quantidade de grandezas, que são $3$ ou mais, e a forma de montar a equação, além de ser necessário um cuidado maior ao analisar a relação entre as grandezas.
Exercícios resolvidos de regra de 3 simples
1. Um trabalhador recebe $1500$ reais por trabalhar $30$ dias. Quanto ele ganharia se trabalhasse no mesmo ritmo, mas somente $20$ dias?
Definir as grandezas é muito importante para acertarmos a questão, no caso acima temos as grandezas “dinheiro” e “dias”, então, podemos montar a tabela, com a incógnita no valor monetário:
Se ele trabalhar menos dias, seu salário diminuirá, portanto, são grandezas diretamente proporcionais. Multipliquemos então em cruz os valores da tabela
Montamos a equação e a resolvemos
$$30x=20.1500$$
$$30x=30000$$
$$x=\frac{30000}{30}$$
$$x=1000$$
O trabalhador receberá mil reais se trabalhar por $20$ dias.
2. Um embalador consegue completar $30$ caixas em $2$ horas. Nesse ritmo, após $360$ minutos ele terá embalado quantas caixas?
As grandezas nessa segunda questão são “caixas” e “tempo”, mas temos que nos atentar a um detalhe, em todos as outras situações abordadas no artigo, as unidades das grandezas eram as mesmas, só que nessa questão temos o tempo em horas e em minutos, precisamos deixá-los com a mesma unidade antes de montarmos a tabela. Por comodidade irei transformar minutos para horas, mas caso a questão pedisse o tempo em minutos ao invés da quantidade de caixas, precisaria ser feita a conversão contrária. Basta dividir a quantidade de minutos por $60$ que converteremos para horas
$$tempo=\frac{360}{60}=6$$
Agora podemos montar a tabela
Se em certo tempo o embalador finaliza $30$ caixas, com mais tempo de trabalho ele irá embalar mais caixas, sendo assim as grandezas são diretamente proporcionais
Enfim, resolvemos a equação
$$2x=30.6$$
$$2x=180$$
$$x=\frac{180}{2}$$
$$x=90$$
Serão embaladas $90$ caixas ao término dos $360$ minutos.
3. Uma família nas férias costuma demorar $4$ horas para chegar em sua casa de praia, com o carro mantendo $60$ km/h durante todo o percurso. Visando diminuir o tempo de viagem pela metade, qual a velocidade que o carro deverá manter?
As grandezas dessa vez são “tempo” e “velocidade”, dessa vez o segundo valor de tempo está implícito, mas é possível deduzi-lo facilmente, a metade de algo significa esse algo dividido por $2$, portanto, a questão pede a velocidade do carro para percorrer o trajeto em $2$ horas:
Já que o percurso deve ser finalizado em menor tempo, a velocidade do carro deve aumentar, ou seja, as grandezas são inversamente proporcionais, teremos que multiplicar os valores das respectivas linhas, não de forma cruzada
E como sempre, resolvemos a equação
$$2x=4.60$$
$$2x=240$$
$$x=\frac{240}{2}$$
$$x=120$$
Como a questão não especificou a unidade de medida, mantemos ela como sendo quilômetros por hora, portanto, o carro deve manter a velocidade de $120$ km/h para chegar na casa de praia em apenas $2$ horas.
