Juntamente com a função inversa, a função composta está presente na matéria de pré-cálculo em muitas faculdades, pois ela estará presente em todas as matérias de cálculo.
O que é uma função composta?
É uma função que é junção de duas ou mais funções, ela também é conhecida como “função de função” e serve para encurtar o caminho do cálculo de alguns valores e para podermos analisar funções complexas. Tomemos as funções $f(x)=e^x$ e $g(x)=x^2$, é possível formar duas funções compostas a partir delas:
1) Função $f$ de $g$ de $x$
$$f(g(x))=e^{x^2}$$
2) Função $g$ de $f$ de $x$
$$g(f(x))=e^{2x}$$
Podemos ver acima as combinações entre a função exponencial e a função quadrática, elas não são feitas de qualquer forma, há um processo que deve ser respeitado e representações específicas para indicar que uma função é composta, como veremos nos próximos tópicos.
Como montar uma função composta?
Vamos revisar como achamos o valor de uma função qualquer, utilizemos para exemplo a função $f(x)=x^2-4x+4$, se quisermos calcular $f(3)$, ou seja, o valor da função para $x=3$, temos que substituir o $3$ nos lugares onde tiver $x$ na função
$$f(x)=x^2-4x+4$$
$$f(3)=3^2-4.3+4$$
$$f(3)=9-12+4$$
$$f(3)=1$$
E se ao invés de $3$, quiséssemos calcular $f(a)$? Faríamos o mesmo processo, colocamos o $a$ onde tiver $x$ na função
$$f(x)=x^2-4x+4$$
$$f(a)=a^2-4a+4$$
Então, seguindo esse raciocínio, se queremos calcular $f(x^3+2)$, substituímos essa expressão onde tiver a variável independente ($x$)
$$f(x)=x^2-4x+4$$
$$f(x^3+2)=(x^3+2)^2-4(x^3+2)+4$$
$$f(x^3+2)=x^6+4x^3+4-4x^3-8+4$$
$$f(x^3+2)=x^6$$
Se você entendeu esse processo, então já sabes como montar uma função composta, e utilizarei um exemplo para comprovar isso.
Exemplo 1:
Dadas as funções $f(x)=x^2-3x$ e $g(x)=sen(x)$, calcule $f(g(x))$
Bom, seguindo a lógica que abordamos agora há pouco, devemos substituir $g(x)$ onde tivermos $x$ na função $f(x)$, só que quem é $g(x)$? O seno de $x$, portanto, devemos substituir o $sen(x)$
$$f(x)=x^2-3x$$
$$f(g(x))=(sen(x))^2-3.sen(x)$$
$$f(g(x))=sen^2(x)-3sen(x)$$
Prontinho, calculamos uma função composta, a função “$f$ de $g$ de $x$”, e a representação é aquela que está no enunciado $f(g(x))$, onde a “função externa” é $f(x)$ e a “função interna é $g(x)$. Mas e se a questão pedisse para calcularmos $g(f(x))$, o resultado seria o mesmo? Vamos calcular e ver se é isso mesmo. Dessa vez, substituiremos $x^2-3x$ onde tiver $x$ na função $g(x)$
$$g(x)=sen(x)$$
$$g(f(x))=sen(x^2+3x)$$
Chegamos em uma expressão totalmente diferente, e isso irá acontecer em quase todos os casos, pois a função composta não é comutativa, ou seja, alterar a ordem da combinação mudará a função que encontraremos.
Exemplo 2:
Dadas as funções $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x-4$ e $h(x)=e^x$, calcule $f(g(h(x)))$
Agora temos três funções, o método em si será igual, no entanto, precisamos nos atentar a um detalhe, quando tivermos que calcular uma função composta formada por três ou mais funções, precisamos começar pela função mais interna e depois iremos para as mais externas. No exemplo acima, primeiros devemos calcular $g(h(x))$ e o resultado disso, substituiremos onde tiver $x$ na função $f(x)$, calculando assim a função $f(g(h(x)))$
1) Calculando $g(h(x))$
$$g(x)=x-4$$
$$g(h(x))=e^x-4$$
2) Calculando $f(g(h(x)))$
$$f(x)=\sqrt{x}$$
$$f(g(h(x)))=\sqrt{e^x-4}$$
É comum encontrarmos outra representação para a função composta, por exemplo: “Calcule $f\circ g$…” Esse $f\circ g$ é a mesma coisa que $f(g(x))$, então, poderíamos representar a função que encontramos nessa questão assim:
$$f\circ g\circ h=\sqrt{e^x-4}$$
Nessa representação fica fácil identificar quem é a função mais interna, pois é a que fica à direita de todas as outras.
Valor numérico de uma função composta
Calcular o valor numérico de uma função composta é muito simples, pois basta substituirmos o valor que queremos calcular onde tiver a variável independente, coisa que revisamos no tópico passado.
Exemplo 1:
Dada a função $f(g(x))=\sqrt{x^3-2}$, calcule $f(g(3))$
Devemos substituir $3$ onde tiver $x$ e simplificar ao máximo a expressão resultante
$$f(g(x))=\sqrt{x^3-2}$$
$$f(g(3))=\sqrt{3^3-2}$$
$$f(g(3))=\sqrt{27-2}$$
$$f(g(3))=\sqrt{25}$$
$$f(g(3))=5$$
Isso por si só não parece grande coisa, mas a função composta nos permite economizar passos em um cálculo, pois digamos que tivéssemos as funções $f(x)=\sqrt{x}$ e $g(x)=x^3-2$, e fosse pedido para calcular $g(3)$ e depois pegar o resultado disso e substituir em $f(x)$, teríamos que realizar dois passos, só que a função do exercício que acabamos de resolver fez justamente isso, de uma vez só. Pode parecer confuso, mas mostrarei um exemplo para ficar claro.
Exemplo 2:
Dadas as funções $f(x)=x^2$ e $g(x)=x+3$, calcule $g(2)$ e em seguida substitua o resultado na função $f(x)$. Determine $f(g(x))$ e calcule $f(g(2))$ e compare os resultados.
Vamos cumprir o primeiro comando da questão
$$g(x)=x+3$$
$$g(2)=2+3$$
$$g(2)=5$$
$$f(x)=x^2$$
$$f(5)=5^2$$
$$f(5)=25$$
Agora, vamos montar a função composta $f(g(x))$ e calcular $f(g(2))$
$$f(x)=x^2$$
$$f(g(x))=(x+3)^2$$
$$f(g(2))=(2+3)^2$$
$$f(g(2))=5^2$$
$$f(g(2))=25$$
Chegamos no mesmo valor, só que com um passo à menos, imagina o quanto poderíamos economizar se tivéssemos uma função composta com três ou mais funções.
Diagrama da função composta
Geralmente é utilizado um diagrama (representação gráfica) para mostrar o que foi explicado no tópico anterior, só que ele mostra de forma geral, considerando quaisquer valores para a variável independente:
Função composta de funções inversas
Se estais com a memória boa, lembrará que falei anteriormente que a ordem de cálculo das funções inversas altera o resultado, mas que isso se aplicava a quase todos os casos, uma das exceções, que é quando calculamos funções compostas de funções que são inversas, nesse caso, independentemente de como calculemos a composta, ela será igual à função identidade.
Exemplo:
Dadas as funções $f(x)=log_{2}x$ e $g(x)=2^x$, calcule $f(g(x))$ e $g(f(x))$
A função logarítmica é inversa da função exponencial, portanto, ambas as compostas devem ter o mesmo resultado ($h(x)=x$, função identidade)
1) Calculando $f(g(x))$
$$f(x)=log_{2}x$$
$$f(g(x))=log_{2}2^x$$
$$f(g(x))=x.log_{2}2$$
$$f(g(x))=x.1$$
$$f(g(x))=x$$
2) Calculando $g(f(x))$
$$g(x)=2^x$$
$$g(f(x))=2^{log_{2}x}$$
$$g(f(x))=x$$
Gráfico de uma função composta
Há uma infinidade de possibilidades de funções compostas, logo, também existem infinitos gráficos possíveis com comportamentos completamente diferentes, então não faz sentido e nem é possível desenvolver uma técnica para desenhar todos esses gráficos, sendo necessária a utilização de softwares para a visualização deles. Mas para os curiosos de plantão, irei mostrar os gráficos de duas funções simples e de suas possíveis combinações.
1) Gráfico da função $f(x)=sen(x)$
2) Gráfico da função $g(x)=e^x$
3) Gráfico da função $f(g(x))=sen(e^x)$
4) Gráfico da função $g(f(x))=e^{sen(x)}$
Exercícios resolvidos de função composta
1. Dadas as funções $f(x)=ln|x|$ e $g(x)=sen(x+2)$, determine $f\circ g$ e $g\circ f$
Primeiramente calculamos $f\circ g$
$$f(x)=ln|x|$$
$$f\circ g=ln|sen(x+2)|$$
Por fim, calculamos $g\circ f$
$$g(x)=sen(x+2)$$
$$g\circ f=sen(ln|x|+2)$$
2. Dadas as funções $f(x)=x^2-4$ e $g(x)=\sqrt{x}$, calcule $f(g(16))$
Podíamos calcular $g(16)$ e depois jogarmos o resultado em $f(x)$, no entanto, podemos calcular $f(g(x))$ e aí sim substituímos o $16$ onde tiver $x$ na função composta
$$f(x)=x^2-4$$
$$f(g(x))=(\sqrt{x})^2-4$$
$$f(g(x))=x-4$$
$$f(g(16))=16-4$$
$$f(g(16))=12$$
3. Dadas as funções $f(x)=\sqrt{x-2}$, $g(x)=2^x$ e $h(x)=x^2+sen(x)$, calcule $g\circ h\circ f$
Começaremos calculando $h\circ f$
$$h(x)=x^2+sen(x)$$
$$h\circ f=(\sqrt{x-2})^2+sen(\sqrt{x})$$
$$h\circ f=x-2+sen(\sqrt{x})$$
Agora calcularmos $g\circ h\circ f$, sempre um passo de cada vez
$$g(x)=2^x$$
$$g\circ h\circ f=2^{x-2+sen(\sqrt{x})}$$
