Exercícios de equação exponencial – Questões diretas

Equações
Exercícios
19/09/2024
Daniel Duarte

Caso tenha dúvidas em relação as resoluções, recomendo que leia os artigos de operações básicas, regra de sinais, potenciação, radiciação, logaritmo e equação exponencial. Se quiseres questões contextualizadas sobre equação exponencial, futuramente haverá artigo aqui no blog. As questões serão resolvidas por dois métodos diferentes, para que quem prefira um ou outro seja contemplado.

Questão 1

Resolva a equação exponencial abaixo

$5^{x} = 25$

Resolução da questão 1:

1) Igualando as bases

$5^{x} = 25$

$5^{x} = 5^{2}$

$x = 2$

2) Resolvendo com log

$5^{x} = 25$

$l o g_{5} 5^{x} = l o g_{5} 25$

$x . l o g_{5} 5 = l o g_{5} 25$

$x = 2$

Prova real da questão 1:

$5^{x} = 25$

$5^{2} = 25$

$25 = 25$

Questão 2

Resolva a equação exponencial abaixo

$4^{x} = \frac{1}{4^{3}}$

Resolução da questão 2:

1) Igualando as bases

$4^{x} = \frac{1}{4^{3}}$

$4^{x} = 4^{- 3}$

$x = - 3$

2) Resolvendo com log

$4^{x} = \frac{1}{4^{3}}$

$l o g_{4} 4^{x} = l o g_{4} \frac{1}{4^{3}}$

$l o g_{4} 4^{x} = l o g_{4} 4^{- 3}$

$x . l o g_{4} 4 = - 3. l o g_{4} 4$

$x = - 3$

Prova real da questão 2:

$4^{x} = \frac{1}{4^{3}}$

$4^{- 3} = \frac{1}{4^{3}}$

$\frac{1}{4^{3}} = \frac{1}{4^{3}}$

Questão 3

Resolva a equação exponencial abaixo

$(\sqrt[3]{32})^{x} = 16$

Resolução da questão 3:

1) Igualando as bases

$(\sqrt[3]{32})^{x} = 16$

$(\sqrt[3]{2^{5}})^{x} = 2^{4}$

$\sqrt[3]{2^{5} x} = 2^{4}$

$2^{\frac{5 x}{3}} = 2^{4}$

$\frac{5 x}{3} = 4$

$5 x = 4.3$

$5 x = 12$

$x = \frac{12}{5}$

2) Resolvendo com log

$(\sqrt[3]{32})^{x} = 16$

$l o g_{2} (\sqrt[3]{32})^{x} = l o g_{2} 16$

$l o g_{2} 32^{\frac{x}{3}} = 4$

$\frac{x}{3} \cdot l o g_{2} 32 = 4$

$\frac{x}{3} \cdot 5 = 4$

$\frac{5 x}{3} = 4$

$5 x = 12$

$x = \frac{12}{5}$

Prova real da questão 3:

$(\sqrt[3]{32})^{x} = 16$

$(\sqrt[3]{32})^{\frac{12}{5}} = 2^{4}$

$(\sqrt[3]{2^{5}})^{\frac{12}{5}} = 2^{4}$

$2^{\frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5}} = 2^{4}$

$2^{\frac{12}{3}} = 2^{4}$

$2^{4} = 2^{4}$

Questão 4

Resolva a equação exponencial abaixo

$(\sqrt{6})^{x} = \sqrt[3]{36}$

Resolução da questão 4:

1) Igualando as bases

$(\sqrt{6})^{x} = \sqrt[3]{36}$

$\sqrt{6^{x}} = \sqrt[3]{6^{2}}$

$6^{\frac{x}{2}} = 6^{\frac{2}{3}}$

$\frac{x}{2} = \frac{2}{3}$

$3 x = 2.2$

$3 x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

2) Resolvendo com log

$(\sqrt{6})^{x} = \sqrt[3]{36}$

$l o g_{6} (\sqrt{6})^{x} = l o g_{6} \sqrt[3]{36}$

$l o g_{6} 6^{\frac{x}{2}} = l o g_{6} 36^{\frac{1}{3}}$

$\frac{x}{2} \cdot l o g_{6} 6 = \frac{1}{3} \cdot l o g_{6} 36$

$\frac{x}{2} = \frac{1}{3} \cdot 2$

$\frac{x}{2} = \frac{2}{3}$

$3 x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Prova real da questão 4:

$(\sqrt{6})^{x} = \sqrt[3]{36}$

$(\sqrt{6})^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{6^{2}}$

$6^{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} = 6^{\frac{2}{3}}$

$6^{\frac{4}{6}} = 6^{\frac{2}{3}}$

$6^{\frac{4 \div 2}{6 \div 2}} = 6^{\frac{2}{3}}$

$6^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}}$

Questão 5

Ache a solução da equação exponencial:

$2^{x} = 0, 5$

Resolução da questão 5:

1) Igualando as bases

$2^{x} = 0, 5$

$2^{x} = \frac{10}{10} \cdot 0, 5$

$2^{x} = \frac{5}{10}$

$2^{x} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5}$

$2^{x} = \frac{1}{2}$

$2^{x} = 2^{- 1}$

$x = - 1$

2) Resolvendo com log

$2^{x} = 0, 5$

$2^{x} = \frac{5}{10}$

$2^{x} = \frac{1}{2}$

$l o g_{2} 2^{x} = l o g_{2} \frac{1}{2}$

$x . l o g_{2} 2 = l o g_{2} 2^{- 1}$

$x = - 1$

Prova real da questão 5:

$2^{x} = 0, 5$

$2^{- 1} = 0, 5$

$\frac{1}{2} = 0, 5$

$0, 5 = 0, 5$

Questão 6

Ache a solução da equação exponencial:

$25^{x} = 0, 04$

Resolução da questão 6:

1) Igualando as bases

$25^{x} = 0, 04$

$25^{x} = \frac{100}{100} \cdot 0, 04$

$25^{x} = \frac{4}{100}$

$25^{x} = \frac{4 \div 4}{100 \div 4}$

$25^{x} = \frac{1}{25}$

$25^{x} = 25^{- 1}$

$x = - 1$

2) Resolvendo com log

$25^{x} = 0, 04$

$25^{x} = \frac{4}{100}$

$25^{x} = \frac{1}{25}$

$l o g_{25} 25^{x} = l o g_{25} \frac{1}{25}$

$x . l o g_{25} 25 = l o g_{25} 25^{- 1}$

$x = - 1$

Prova real da questão 6:

$25^{x} = 0, 04$

$25^{- 1} = 0, 04$

$\frac{1}{25} = 0, 04$

$0, 04 = 0, 04$

Questão 7

Resolva a equação exponencial abaixo

$9^{2 x - 8} = 27^{4 x}$

Resolução da questão 7:

1) Igualando as bases

$9^{2 x - 8} = 27^{4 x}$

$(3^{2})^{2 x - 8} = (3^{3})^{4 x}$

$3^{2. (2 x - 8)} = 3^{3.4 x}$

$3^{4 x - 16} = 3^{12 x}$

$4 x - 16 = 12 x$

$4 x - 12 x = 16$

$- 8 x = 16$

$x = \frac{16}{- 8}$

$x = - 2$

2) Resolvendo com log

$9^{2 x - 8} = 27^{4 x}$

$l o g_{3} 9^{2 x - 8} = l o g_{3} 27^{4 x}$

$(2 x - 8) . l o g_{3} 9 = 4 x . l o g_{3} 27$

$(2 x - 8) .2 = 4 x .3$

$4 x - 16 = 12 x$

$- 8 x = 16$

$x = - 2$

Prova real da questão 7:

$9^{2 x - 8} = 27^{4 x}$

$9^{2. (- 2) - 8} = 27^{4. (- 2)}$

$9^{- 4 - 8} = 27^{- 8}$

$(3^{2})^{- 12} = (3^{3})^{- 8}$

$3^{2. (- 12)} = 3^{3. (- 8)}$

$3^{- 24} = 3^{- 24}$

Questão 8

Ache a solução da equação exponencial:

$(\frac{1}{125})^{2 x} = \sqrt[3]{25^{x}}$

Resolução da questão 8:

1) Igualando as bases

$(\frac{1}{125})^{2 x} = \sqrt[3]{25^{x}}$

$(\frac{1}{5^{3}})^{2 x} = \sqrt[3]{(5^{2})^{x}}$

$(5^{- 3})^{2 x} = \sqrt[3]{5^{2 x}}$

$5^{- 3.2 x} = 5^{\frac{2 x}{3}}$

$5^{- 6 x} = 5^{\frac{2 x}{3}}$

$- 6 x = \frac{2 x}{3}$

$3. (- 6 x) = 2 x$

$- 18 x = 2 x$

$- 18 x - 2 x = 0$

$- 20 x = 0$

$x = 0$

2) Resolvendo com log

$(\frac{1}{125})^{2 x} = \sqrt[3]{25^{x}}$

$(125^{- 1})^{2 x} = 25^{\frac{x}{3}}$

$125^{- 1.2 x} = 25^{\frac{x}{3}}$

$l o g_{5} 125^{- 2 x} = l o g_{5} 25^{\frac{x}{3}}$

$- 2 x . l o g_{5} 125 = \frac{x}{3} \cdot l o g_{5} 25$

$- 2 x .3 = \frac{x}{3} \cdot 2$

$- 6 x = \frac{2 x}{3}$

$- 18 x = 2 x$

$- 20 x = 0$

$x = 0$

Prova real da questão 8:

$(\frac{1}{125})^{2 x} = \sqrt[3]{25^{x}}$

$(\frac{1}{125})^{2.0} = \sqrt[3]{25^{0}}$

$(\frac{1}{125})^{0} = \sqrt[3]{1}$

$1 = 1$

Questão 9

Ache a solução da equação exponencial:

$2^{x^{2} - 4 x} = 4^{- 2}$

Resolução da questão 9:

1) Igualando as bases

$2^{x^{2} - 4 x} = 4^{- 2}$

$2^{x^{2} - 4 x} = (2^{2})^{- 2}$

$2^{x^{2} - 4 x} = 2^{2. (- 2)}$

$2^{x^{2} - 4 x} = 2^{- 4}$

$x^{2} - 4 x = - 4$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

$a = 1, b = - 4, c = 4$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4.1 .4}}{2.1}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 0}{2}$

$x_{1} = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{4 - 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2) Resolvendo com log

$2^{x^{2} - 4 x} = 4^{- 2}$

$l o g_{2} 2^{x^{2} - 4 x} = l o g_{2} 4^{- 2}$

$(x^{2} - 4 x) . l o g_{2} 2 = - 2. l o g_{2} 4$

$x^{2} - 4 x = - 2.2$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

$a = 1, b = - 4, c = 4$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{(- 4)^{2} - 4.1 .4}}{2.1}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2}$

$x_{1} = \frac{4 + 0}{2} = 2$

$x_{2} = \frac{4 - 0}{2} = 2$

Prova real da questão 9:

$2^{x^{2} - 4 x} = 4^{- 2}$

$2^{2^{2} - 4.2} = 4^{- 2}$

$2^{4 - 8} = 4^{- 2}$

$2^{- 4} = 4^{- 2}$

$\frac{1}{2^{4}} = \frac{1}{4^{2}}$

$\frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

Questão 10

Ache a solução da equação exponencial:

$6^{x^{2} - 9} = 1$

Resolução da questão 10:

1) Igualando as bases

$6^{x^{2} - 9} = 1$

$6^{x^{2} - 9} = 6^{0}$

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} = 9$

$\sqrt{x^{2}} = \sqrt{9}$

$x = \pm 3$

2) Resolvendo com log

$6^{x^{2} - 9} = 1$

$l o g_{6} 6^{x^{2} - 9} = l o g_{6} 1$

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} = 9$

$x = \pm 3$

Prova real da questão 10:

1) Substituindo $x = 3$

$6^{x^{2} - 9} = 1$

$6^{3^{2} - 9} = 1$

$6^{9 - 9} = 1$

$6^{0} = 1$

$1 = 1$

2) Substituindo $x = - 3$

$6^{x^{2} - 9} = 1$

$6^{(- 3)^{2} - 9} = 1$

$6^{9 - 9} = 1$

$6^{0} = 1$

$1 = 1$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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O Matematiquês é um blog dedicado ao aprendizado de matemática, e nosso objetivo é tornar o ensino mais acessível e envolvente através de conteúdos de alta qualidade e gratuitos para alunos e professores em todo o Brasil. Buscamos simplificar conceitos complexos com uma abordagem clara e direta, priorizando transparência, diversidade, clareza, qualidade, inovação e compromisso social. Nosso blog oferece conteúdos fundamentados por especialistas, revisados com rigor e atualizados.

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