O Teorema de Ptolomeu

Aplicando o teorema de Ptolomeu ao quadrilátero $ABCD$, obtemos:

$$d\cdot d=l\cdot d+l\cdot l$$

$$d^2=ld+l^2$$

$$d^2-ld-l^2=0$$

Estamos diante de uma equação quadrática. Utilizando a fórmula de Bhaskara para encontrar $d$:

$$d=\frac{-(-l)\pm \sqrt{(-l{)}^2-4\cdot 1\cdot -l^2}}{2}$$

$$d=\frac{l\pm \sqrt{l^2+4l^2}}{2}$$

Colocando $l^2$ em evidência e utilizando propriedades de radiciação, temos:

    $$d=\frac{l\pm \sqrt{l^2(1+4)}}{2}=\frac{l\pm \sqrt{l^2}\sqrt{5}}{2}$$

    $$d=\frac{l\pm l\sqrt{5}}{2}$$

Como o problema pede a razão entre $d$ e $l$, dividindo ambos os lados da equação por $l$:

$$\frac{d}{l}=\frac{\frac{l\pm l\sqrt{5}}{2}}{l}$$

Resolvendo a divisão de frações e simplificando, obtemos:

$$\frac{d}{l}=\frac{l\pm l\sqrt{5}}{2l}$$

Colocando $l$ em evidência no numerador:

$$\frac{d}{l}=\frac{l(1\pm \sqrt{5})}{2l}$$

Simplificando, encontramos a seguinte expressão:

$$\frac{d}{l}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

Temos duas soluções, mas note que $1<\sqrt{5}$, logo

$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

É negativa e, portanto, inválida para medidas de comprimento. Assim, a razão entre a diagonal $d$ e o lado $l$ é a solução positiva:

$$\frac{d}{l}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

O resultado encontrado é o famoso número de ouro, um número irracional que é muito presente na matemática.