Determinante de uma matriz

Ensino Médio
Teoria
02/06/2025
Daniel Duarte

Quando visto no ensino médio, gera muitas dúvidas do porquê estudar tal assunto, mas o determinante é um conceito fundamental da álgebra linear, utilizado para analisar propriedades importantes de matrizes. Este artigo apresenta uma visão geral sobre o que é o determinante, suas principais propriedades e como calcular para matrizes de diferentes ordens.

O que é um determinante?

Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A, uma constante associada a matriz A, que é encontrada através de métodos específicos a depender da ordem da matriz. Noutras palavras, o determinante é uma constante que cada matriz possui, que inicialmente parece não ter utilidade, mas pode ser utilizada para verificar se uma matriz possui uma inversa e solucionar sistemas de equações (além de ser usado na geometria analítica para calcular a área de um paralelogramo e o volume de um paralelepípedo). Tomemos uma matriz $A$ genérica:

$A = {(\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Representaremos o cálculo do seu determinante com a notação $d e t (A)$ e colocando barras verticais em torno da matriz.

$d e t (A) = {| \begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{matrix} |}_{2 \times 2} = D$

Com $D$ sendo um número qualquer pertencente ao conjunto dos números reais ( $D \in R$ ). Mas afinal, como encontramos o valor do determinante? Quanto maior a ordem da matriz, mais trabalhoso é o processo, mas não é um monstro de sete cabeças, como tentarei mostrar ao longo desse documento.

Determinante de uma matriz de 1° ordem

O determinante de uma matriz $1 \times 1$ é uma das coisas mais fáceis de calcular, pois o determinante será o único elemento que a matriz tiver.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.

$A = {(\begin{matrix} 3 \end{matrix})}_{1 \times 1}$

Sem segredo, o determinante dessa matriz será o próprio elemento $3$ .

$d e t (A) = {| \begin{matrix} 3 \end{matrix} |}_{1 \times 1} = 3$

Determinante de uma matriz de 2° ordem

Para calcular o determinante de uma matriz $2 \times 2$ , multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos disso o resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária (lembrando que os elementos da diagonal principal são os que ocupam a mesma posição na linha e na coluna, exemplos: $a_{1, 1}$ , $a_{2, 2}$ , $a_{3, 3}$ e assim por diante).

$d e t (A) = {| \begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} \end{matrix} |}_{2 \times 2} = a_{1, 1} \cdot a_{2, 2} - a_{1, 2} \cdot a_{2, 1}$

Pode ter ficado um pouco confusa essa representação genérica do determinante, então, vamos resolver um exercício bem passo a passo para que não haja dúvida.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.

$A = {[\begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix}]}_{2 \times 2}$

Primeiramente, vamos reescrever a matriz com a notação de determinante.

$d e t (A) = {| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} |}_{2 \times 2}$

Então, vamos identificar a diagonal principal da matriz, ela será constituída pelos termos $a_{1, 1}$ e $a_{2, 2}$ , ou seja, $4$ e $3$ .

$d e t (A) = {| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} |}_{2 \times 2}$

Calculamos o produto entre eles

$4 \cdot 3 = 12$

Identificamos agora os termos da diagonal secundária, que serão os elementos $2$ e $5$ .

$d e t (A) = {| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} |}_{2 \times 2}$

Em seguida, efetuamos a multiplicação entre os dois termos.

$2 \cdot 5 = 10$

Por fim, subtraímos esse segundo resultado do primeiro.

$d e t (A) = {| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} |}_{2 \times 2} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$

Determinante de uma matriz de 3° ordem (Regra de Sarrus)

O determinante de uma matriz $3 \times 3$ é calculado de uma forma parecida com o da matriz $2 \times 2$ , mas com algumas modificações. Tomando uma matriz de ordem $3$ qualquer:

$A = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Encontraremos seu determinante através da Regra de Sarrus, que baseia-se em duplicarmos as duas primeiras colunas da matriz (já que começamos a calcular o determinante, precisamos escrever a matriz com a notação correta).

$d e t (A) = \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}$

Em seguida identificamos as três diagonais principais dessa matriz. A primeira será a própria diagonal da matriz $3 \times 3$ , e as demais serão as diagonais formadas por três elementos que são paralelas a ela, ou seja, as que estiverem ao lado dela.

d e t (A) = \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}

1° Diagonal principal: $1$ , $4$ , $1$

2° Diagonal principal: $2$ , $3$ , $0$

3° Diagonal principal: $0$ , $3$ , $1$

Multiplicamos então os termos das diagonais principais e somamos os resultados das multiplicações.

$1 \cdot 4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \cdot 1 = 4$

O próximo passo é identificarmos as diagonais secundárias, que serão a própria diagonal secundária da matriz, e as que estão ao lado dela.

$d e t (A) = \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}$

1° Diagonal secundária: $0$ , $4$ , $0$

2° Diagonal secundária: $1$ , $3$ , $1$

3° Diagonal secundária: $2$ , $3$ , $1$

E repetimos o mesmo processo que fizemos antes, multiplicamos os termos das diagonais secundárias e somamos os resultados.

$0 \cdot 4 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 1 = 9$

Para acharmos o determinante da matriz $A$ , subtraímos este último resultado do primeiro.

$d e t (A) = | \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | = 4 - 9 = - 5$

Resumidamente, a regra de Sarrus consiste em duplicar as duas últimas colunas da matriz, calcular a soma dos produtos dos termos das diagonais principais e subtrair disso a soma dos produtos dos termos das diagonais secundárias. Vamos resolver outro exercício para que possamos assimilar melhor a técnica.

Exemplo: Encontre o valor de $x$ , sabendo que $d e t (A) = 2$ .

$A = {[\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 \\ x + 1 & 1 & 1 \end{matrix}]}_{3 \times 3}$

Começamos duplicando as duas primeiras colunas da matriz.

$d e t (A) = \begin{array}{ccccc} 3 & 1 & 1 & 3 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 5 & 4 \\ x + 1 & 1 & 1 & x + 1 & 1 \end{array}$

Identificamos agora os termos das diagonais principais.

$d e t (A) = \begin{array}{ccccc} 3 & 1 & 1 & 3 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 5 & 4 \\ x + 1 & 1 & 1 & x + 1 & 1 \end{array}$

1° Diagonal principal: $3$ , $4$ , $1$

2° Diagonal principal: $1$ , $2$ , $x + 1$

3° Diagonal principal: $1$ , $5$ , $1$

Calculamos então a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais.

$3 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot (x + 1) + 1 \cdot 5 \cdot 1 = 12 + 2 x + 2 + 5 = 2 x + 19$

Faremos o mesmo com as diagonais secundárias, identificando-as e calculando a soma dos produtos de seus elementos.

$d e t (A) = \begin{array}{ccccc} 3 & 1 & 1 & 3 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 5 & 4 \\ x + 1 & 1 & 1 & x + 1 & 1 \end{array}$

1° Diagonal secundária: $1$ , $4$ , $x + 1$

2° Diagonal secundária: $3$ , $2$ , $1$

3° Diagonal secundária: $1$ , $5$ , $1$

$1 \cdot 4 \cdot (x + 1) + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 5 \cdot 1 = 4 x + 4 + 6 + 5 = 4 x + 15$

Por fim, sabendo que o determinante da matriz é $4$ , podemos montar a seguinte equação:

$d e t (A) = | \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 \\ x + 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = 2 x - 19 - (4 x + 15)$

$2 = 2 x + 19 - (4 x + 15)$

$2 = 2 x + 19 - 4 x - 15$

$- 2 = - 2 x$

$x = 1$

Determinante de uma matriz de 4° ordem (Teorema de Laplace)

A partir da matriz $4 \times 4$ , o processo de calcular o determinante começa a ficar demorado e trabalhoso, e como é raro professores cobrarem matrizes de ordem $5$ ou superior, me limitarei a explicar um último método, chamado: “Teorema de Laplace”, que funciona para matrizes de ordem $4$ ou superior (existem outros, mas esse é o mais fácil de entender e utilizar).

Antes de enunciar o Teorema, preciso explicar alguns conceitos iniciais, começando por “Menor complementar”. Chamamos de menor complementar de um elemento, o determinante da matriz formada após retirarmos a linha e coluna às quais o elemento pertence. Tomemos uma matriz $3 \times 3$ qualquer:

$A = {(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & - 2 \\ - 1 & 2 & 1 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

O menor complementar do elemento $a_{1, 1}$ será o determinante da matriz formada após retirarmos a linha $1$ e a coluna $1$ da matriz $A$ .

$D_{1, 1} = | \begin{matrix} 0 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} | = 0 - (- 2 \cdot 2) = 4$

A simbologia $D_{i, j}$ representa o menor complementar de um elemento qualquer de uma matriz. Vamos agora calcular o menor complementar do termo $a_{2, 2}$ , só que passo a passo, começando pela identificação do elemento $a_{2, 2}$ .

A = {(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & - 2 \\ - 1 & 2 & 1 \end{matrix})}_{3 \times 3}

Em seguida, identificamos todos os termos que pertencem à mesma linha e coluna que ele.

A = {(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & - 2 \\ - 1 & 2 & 1 \end{matrix})}_{3 \times 3}

O menor complementar será o determinante da matriz formada pelos termos que não estão na linha

2

ou coluna

2

D_{2, 2} = | \begin{matrix} 4 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = 4 \cdot 1 - (1 \cdot (- 1)) = 5

O outro conceito que precisamos entender antes de irmos para o teorema é o de “Cofator”. Denominamos cofator de um elemento de uma matriz, a constante que segue a seguinte regra:

$C_{i, j} = (- 1)^{i + j} \cdot D_{i, j}$

Parece difícil, não é? Mas vamos observar com calma a equação acima, ao elevarmos $- 1$ a algum expoente, ele só pode assumir dois valores: $1$ e $- 1$ ; se o expoente for par, o resultado será $1$ , e se for ímpar, $- 1$ . O menor complementar $D_{i, j}$ já sabemos calcular, então, o cofator de um elemento será o próprio valor do menor complementar ou terá o sinal negativo. O que determinará isso será a posição do elemento. Vamos calcular o cofator do elemento $a_{1, 3}$ da matriz anterior.

$C_{i, j} = (- 1)^{i + j} \cdot D_{i, j}$

$C_{1, 3} = (- 1)^{1 + 3} \cdot D_{1, 3} = (- 1)^{4} \cdot D_{1, 3} = 1 \cdot D_{1, 3} = D_{1, 3}$

O cofator do elemento $a_{1, 3}$ será exatamente o valor do menor complementar dele, então, vamos calcular seu menor complementar.

D_{1, 3} = | \begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix} | = 1 \cdot 2 - (0 \cdot (- 1)) = 2

Portanto, o cofator $C_{1, 3}$ é igual à $2$ .

$C_{1, 3} = D_{1, 3} = 2$

E se quiséssemos calcular o cofator $C_{3, 2}$ ? Vamos substituir na equação do cofator e descobrir.

$C_{i, j} = (- 1)^{i + j} \cdot D_{i, j}$

$C_{3, 2} = (- 1)^{3 + 2} \cdot D_{3, 2} = (- 1)^{5} \cdot D_{3, 2} = - 1 \cdot D_{3, 2} = - D_{3, 2}$

Então, o cofator será igual ao menor complementar do elemento $a_{3, 2}$ , multiplicado por $- 1$ .

$- D_{2, 1} = - | \begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix} | = - [4 \cdot (- 2) - 1 \cdot 1] = - [- 9] = 9$

Uma vez explicados os conceitos de menor complementar e cofator, poderei partir para a explicação do método de resolução de uma matriz $4 \times 4$ . O teorema de Laplace diz que:”Tomando uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz, o determinante dela será igual a soma das multiplicações entre os elementos que pertencem a essa fila e seus cofatores”. Especificando para nosso objeto de estudo, sendo $A$ uma matriz quadrada de ordem $4$ .

$A = {[\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & a_{1, 3} & a_{1, 4} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2, 3} & a_{2, 4} \\ a_{3, 1} & a_{3, 2} & a_{3, 3} & a_{3, 4} \\ a_{4, 1} & a_{4, 2} & a_{4, 3} & a_{4, 4} \end{matrix}]}_{4 \times 4}$

E tomando uma fila qualquer dessa matriz (utilizarei a primeira coluna).

O determinante da matriz $A$ , de acordo com o Teorema de Laplace, será igual à soma dos elementos dessa fila, multiplicados pelos seus cofatores.

$a_{1, 1} \cdot C_{1, 1} + a_{2, 1} \cdot C_{2, 1} + a_{3, 1} \cdot C_{3, 1} + a_{4, 1} \cdot C_{4, 1}$

Eu avisei que era trabalhoso, mas há uma dica que pode ajudar a diminuir o trabalho: Daremos preferência a escolher uma fila que tenha uma maior quantidade de elementos nulos, pois conseguiremos eliminar alguns dos cálculos, uma vez que zero vezes qualquer coisa é zero.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.

$A = {[\begin{matrix} 0 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \end{matrix}]}_{4 \times 4}$

Começamos escolhendo uma fila que tenha a maior quantidade de zeros, que é a primeira linha.

A = {[\begin{matrix} 0 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \end{matrix}]}_{4 \times 4}

Vamos montar o cálculo do determinante para vermos quais cofatores precisaremos calcular.

$d e t (A) = a_{1, 1} \cdot C_{1, 1} + a_{1, 2} \cdot C_{1, 2} + a_{1, 3} \cdot C_{1, 3} + a_{1, 4} \cdot C_{1, 4}$

$d e t (A) = 0 \cdot C_{1, 1} + 2 \cdot C_{1, 2} + 0 \cdot C_{1, 3} + 2 \cdot C_{1, 4}$

$d e t (A) = 2 \cdot C_{1, 2} + 2 \cdot C_{1, 4}$

Só precisamos calcular dois cofatores.

$C_{i, j} = (- 1)^{i + j} \cdot D_{i, j}$

$C_{1, 2} = (- 1)^{1 + 2} \cdot D_{1, 2} = - D_{1, 2}$

$C_{1, 4} = (- 1)^{1 + 4} \cdot D_{1, 4} = - D_{1, 4}$

Resta apenas calcularmos o menor complementar dos elementos $a_{1, 2}$ e $a_{1, 4}$ . Vamos passo a passo, o menor complementar $D_{1, 2}$ será o determinante da matriz formada após eliminarmos a primeira linha e a segunda coluna da matriz $A$ .

$D_{1, 2} = | \begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} |$

Como se trata de uma matriz $3 \times 3$ , utilizaremos a Regra de Sarrus para calcular o determinante.

$D_{1, 2} = \begin{array}{ccccc} 3 & 3 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \end{array} =$

$3 \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2 - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 0) = - 11$

Calculando o cofator do termo $a_{1, 2}$ , teremos:

$C_{1, 2} = - D_{1, 2} = - (- 11) = 11$

Então, calculamos o menor complementar $D_{1, 4}$ , que será o determinante da matriz formada após retirarmos a primeira linha e a quarta coluna da matriz $A$ .

$D_{1, 4} = | \begin{matrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{matrix} |$

Iniciaremos agora o processo de calcular o determinante.

$D_{1, 2} = \begin{array}{ccccc} 3 & 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 2 & 1 & 5 \end{array} =$

$3 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 5 - (3 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 2) = 5$

Em seguida, calculamos o cofator $C_{1, 4}$ .

$C_{1, 4} = - D_{1, 4} = - 5$

Por fim, substituiremos os valores encontrados para calcular o determinante da matriz $A$ .

$d e t (A) = 2 \cdot C_{1, 2} + 2 \cdot C_{1, 4}$

$d e t (A) = 2 \cdot 11 + 2 \cdot (- 5) = 22 - 10 = 12$

Propriedades dos determinantes

Quer aprender a calcular alguns determinantes facilmente? Encontrar o determinante de uma matriz com base em outra? Tudo isso e muito mais você encontrará nas propriedades dos determinantes.

Fila nula:

Se pelo menos uma fila da matriz for constituída apenas por elementos nulos, o determinante da matriz será igual à zero.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz abaixo.

A = {(\begin{matrix} 0 & 1 & 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 2 & 4 & 12 & 2 \\ 0 & - 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 7 & 5 & 5 \\ 0 & 8 & - 1 & 1 & 0 \end{matrix})}_{5 \times 5}

Não precisamos nos preocupar em fazer cálculo algum, pois a primeira coluna dessa matriz está completa por elementos nulos, então, o

d e t (A) = 0

Filas paralelas iguais ou proporcionais:

Se duas filas paralelas (linha com linha, por exemplo) forem iguais ou proporcionais, o determinante da matriz será zero.

Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz abaixo.

$A = {(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Note que a primeira e terceira linhas são iguais, portanto, o determinante da matriz $A$ é zero.

Exemplo 2: Calcule o determinante da matriz abaixo.

$B = {(\begin{matrix} 3 & 6 & - 3 \\ 4 & 8 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix})}_{3 \times 3}$

Na matriz acima, a segunda coluna possui elementos que são o dobro dos da primeira coluna, isso significa que elas são proporcionais, ou seja, o determinante da matriz $B$ é igual à zero.

Determinante da transposta:

Exemplo: Calcule o determinante da transposta de $A$ .

$A = {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Já que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz $A$ , então, nem precisamos encontrar $A^{T}$ , basta calcularmos o determinante de $A$ , que por sua vez é igual à zero, dado que a segunda coluna possui apenas elementos nulos.

$d e t (A^{T}) = 0$

Troca de filas paralelas:

Dadas duas matrizes $A$ e $B$ , se suas filas paralelas estiverem invertidas, o determinante de uma será igual à menos o determinante da outra.

$d e t (A) = - d e t (B)$

Exemplo: Calcule o determinante das matrizes abaixo.

A = {(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix})}_{2 \times 2} B = {(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix})}_{2 \times 2}

Note que as colunas da matriz $B$ são as mesmas da matriz $A$ , só que com a posição trocada, a que era primeira coluna se tornou segunda, e a segunda se tornou primeira, então, a propriedade acima citada poderá ser aplicada.

$d e t (A) = - d e t (B)$

$| \begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = - d e t (B)$

$6 - 4 = - d e t (B)$

$2 = - d e t (B)$

$d e t (B) = - 2$

Multiplicação de uma fila por uma constante:

Dadas duas matrizes $A$ e $B$ , se duas filas correspondentes forem proporcionais, o determinante de $B$ será igual ao determinante de $A$ vezes a constante de proporcionalidade (número que tiver multiplicado todos os termos da fila correspondente na matriz $B$ , que pode ser qualquer número real), contanto que todos os demais elementos das matrizes sejam iguais.

$d e t (A) = k \cdot d e t (B)$

Exemplo: Calcule o determinante das matrizes abaixo.

A = {(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})}_{3 \times 3} B = {(\begin{matrix} - 3 & - 3 & - 3 \\ 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})}_{3 \times 3}

Perceba que os termos da primeira linha da matriz $B$ são iguais à $- 3$ vezes os termos da primeira linha da matriz $A$ , portanto, o determinante de $B$ será dado por:

$d e t (B) = - 3 \cdot d e t (A)$

Como a matriz $A$ possui elementos menores e positivos, será mais fácil calcular o seu determinante.

A = \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} =

$1 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot 5 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - (1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 2) = - 6$

Para descobrir o determinante de $B$ , basta substituirmos na equação referente a propriedade.

$d e t (B) = - 3 \cdot d e t (A)$

$d e t (B) = - 3 \cdot (- 6) = 18$

Teorema de Binet

Esse teorema é muito útil, pois nos faz poupar bastante trabalho. Ele diz que quando temos uma multiplicação entre matrizes, o produto de seus determinantes será igual ao determinante da “matriz produto”.

$d e t (A) \cdot d e t (B) = d e t (A \cdot B)$

Ao invés de calcularmos a matriz resultante da multiplicação das matrizes, para depois calcularmos o determinantes dela, basta acharmos os determinantes das matrizes individuais.

Exemplo: Calcule o determinante da matriz $d e t (B \cdot C)$ .

$B = {(\begin{matrix} \frac{1}{3} & - 1 \\ π & \sqrt{2} \end{matrix})}_{2 \times 2} C = {(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Antes de sair calculando determinantes, vamos analisar a questão, com o conhecimento que já temos. De acordo com o teorema de Binet, podemos calcular o determinante que a questão pediu da seguinte forma:

$d e t (B \cdot C) = d e t (B) \cdot d e t (C)$

Utilizando a propriedade da fila nula, conseguimos definir o determinante da matriz $C$ , que será zero, então, sem fazer nenhum cálculo à mais, temos que:

$d e t (B \cdot C) = d e t (B) \cdot d e t (C) = d e t (B) \cdot 0 = 0$

Teorema de Jacob

Se somarmos linhas ou colunas de uma matriz, o determinante da matriz resultante será igual, e isso ocorrerá também caso multipliquemos a linha ou coluna que for somada. Tomemos uma matriz $A$ qualquer:

$A = {(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})}_{2 \times 2}$

Seu determinante será $- 1$ , como podemos verificar:

$d e t (A) = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} | = 3 - 4 = - 1$

Se somarmos a linha dois à primeira linha, não alteraremos o determinante (chamarei de $B$ a matriz resultante dessa operação).

B = {(\begin{matrix} 1 + 2 & 2 + 3 \\ 2 & 3 \end{matrix})}_{2 \times 2} = {(\begin{matrix} 3 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix})}_{2 \times 2}

Calculando o determinante de

B

, comprovaremos o que enunciei anteriormente.

d e t (B) = | \begin{matrix} 3 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix} | = 9 - 10 = - 1

Agora, se multiplicarmos a primeira coluna por

2

e somarmos com a segunda, continuaremos sem alterar o determinante (chamarei essa nova matriz de

C

C = (\begin{matrix} 3 & 5 + 6 \\ 2 & 3 + 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 11 \\ 2 & 7 \end{matrix})

Por fim, calculamos o determinante da matriz

C

d e t (C) = | \begin{matrix} 3 & 11 \\ 2 & 7 \end{matrix} | = 21 - 22 = - 1

Existência da inversa por determinante

Há um teorema fundamental, que enuncia a seguinte ocorrência: “Uma matriz quadrada $A$ possui inversa (é invertível ou não singular) se e somente se o seu determinante for diferente de zero”. Noutras palavras, caso o determinante de uma matriz for zero, ela não terá uma inversa.

Exemplo: Calcule a inversa da matriz $A$ , caso exista.

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{matrix}]$

Antes de calcularmos a inversa, precisamos saber se ela existe, e podemos fazer isso ao calcularmos o determinante, mas note uma coisa: A primeira e segunda linhas são proporcionais, e de acordo com uma propriedade antes vista, se uma matriz possui duas filas proporcionais, seu determinante é igual à zero. Assim, a matriz $A$ não admite inversa.

Poderíamos verificar esse fato de outra forma, ao multiplicarmos a primeira linha por $- 2$ e somar com a segunda linha, pois o teorema de Jacob nos garante que o determinante da nova matriz será igual ao determinante da matriz $A$ .

B = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 + (- 2) & 4 + (- 4) & 6 + (- 6) & 8 + (- 8) \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{matrix}]

O determinante da matriz $B$ é zero, pois a segunda linha é formada apenas por elementos nulos, e já que $d e t (A) = d e t (B)$ , conseguimos concluir que a matriz $A$ não possui inversa, ou seja, ela é uma matriz singular.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.

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