Radiciação: Conceito, propriedades e operações

Radiciação
ExercíciosTeoria
14/08/2024
Daniel Duarte

O que é radiciação?

É uma operação matemática que tem como objetivo encontrar a base de uma potência que elevada a determinado expoente resulta em um valor conhecido. Para um completo entendimento desse assunto, é indispensável ter conhecimento sobre potenciação (conteúdo que já foi abordado em outro artigo). A raiz, representação da radiciação, é composta por três elementos, índice, radical e radicando:

$\sqrt[n]{a}$

$n$ → índice da raiz

$\sqrt{}$ → radical

$a$ → radicando

Uma observação a ser mencionada é que o índice deve ser maior que zero.

Exemplos:

1) $\sqrt[2]{4}$

2) $\sqrt[3]{64}$

3) $\sqrt{49}$

Como resolver uma raiz?

Precisamos encontrar um número que elevado ao valor do índice, seja igual ao número dentro da raiz (radicando), então, se temos $9$ dentro da raiz, e o índice é $2$ , qual número que elevado à $2$ resulta em $9$ ? Se já souberes basta escrever a resposta, caso contrário, podes testar alguns valores.

$1^{2} = 1.1 = 1$

$2^{2} = 2.2 = 4$

$3^{2} = 3.3 = 9$

O $3$ elevado à $2$ é igual à $9$ , portanto, a “raiz de índice $2$ ” de $9$ é $3$ , a resposta é escrita da seguinte forma:

$\sqrt[2]{9} = 3$

Considerações importantes sobre a radiciação

Há alguns pontos que devem ser ressaltados para que não haja confusão em relação a alguns termos que serão utilizados nesse artigo.

a) Quando a raiz tiver índice igual a $2$ , não precisamos representar ele, ou seja, se virmos uma raiz “sem índice”, significa que ele é igual à $2$ ;

Exemplos:

1) $\sqrt[2]{25} = \sqrt{25}$

2) $\sqrt[2]{36} = \sqrt{36}$

3) $\sqrt[2]{1} = \sqrt{1}$

b) A raiz de índice $2$ é geralmente chamada de “raiz quadrada” e a raiz de índice $3$ de “raiz cúbica”. Para mencionar os demais índices são utilizados os números em sua forma ordinal;

Exemplos:

1) $\sqrt[4]{81}$ , raiz quarta

2) $\sqrt[5]{25}$ , raiz quinta

3) $\sqrt[8]{25}$ , raiz oitava

Para $10$ em diante, utiliza-se a forma completa e formal : “Raiz de índice $10$ ”, “Raiz de índice $25$ ” e assim por diante.

c) Levando em conta o conjunto dos números reais, não há resposta para raízes de índice par de números negativos;

Exemplos:

1) $\sqrt[2]{- 4} = ∄$

2) $\sqrt[4]{- 8} = ∄$

3) $\sqrt[6]{- 256} = ∄$

d) A resposta da raiz de qualquer índice, de $0$ ou $1$ , será sempre respectivamente, $0$ e $1$ ;

1) $\sqrt[60]{1} = 1$

2) $\sqrt[1]{1} = 1$

3) $\sqrt[5]{0} = 0$

e) O termo “raiz” da radiciação não se refere as raizes citadas ao achar soluções de equações.

Relação entre a potenciação e a radiciação

Assim como a soma é a operação inversa da subtração, e o mesmo acontece entre a multiplicação e divisão, a radiciação é a operação inversa da potenciação, pois como veremos ao longo do artigo, podemos anular um com o outro. Podemos escrever a resposta da raiz da seguinte maneira:

$b^{n} = a$

Traduzindo, a resposta um número $b$ que elevado ao índice $n$ resulta no valor dentro da raiz, que é o $a$ (radicando).

Propriedades de radiciação

Para facilitar os cálculos utilizando raízes, existem as propriedades, que são manipulações que podem ser feitas em determinadas situações que aparecem de forma recorrente em exercícios de radiciação.

Expoente fracionário:

Podemos transformar uma raiz em potência, em outras palavras, é possível representar uma raiz por meio de um expoente, e uma característica importante é que ele é fracionário. Esse expoente fracionário (dúvidas sobre frações? Leia o artigo aqui no blog sobre elas) terá como numerador, o expoente do radicando e como denominador, o índice da raiz.

Exemplo 1:

Dada a raiz $\sqrt[3]{2^{6}}$ , transforme-a em potência

Primeiramente, vamos identificar quem é o expoente do radicando e o índice, nesse caso, eles são respectivamente, $6$ e $3$ , então, podemos transformar a raiz em um expoente fracionário, onde o numerador será $6$ e o denominador será $3$

$\sqrt[3]{2^{6}} = 2^{\frac{6}{3}}$

Já deixamos em forma de potência, mas podemos simplificar a divisão que está no expoente e encontramos a resposta final

$2^{\frac{6}{3}} = 2^{2} = 4$

Poderíamos deixar a resposta na forma de potência de base $2$ , só transformei em $4$ , pois o número é pequeno, mas em determinadas potências, será melhor deixar como ela está. Também podemos fazer o caminho contrário, e transformar uma potência em raiz.

Exemplo 2:

Dada a raiz $\sqrt[5]{3}$ , transforme-a em potência

Quando o número não possui expoente aparente, implicitamente, o expoente dele é $1$ , agora podemos transformar a raiz em potência

$\sqrt[5]{3^{1}} = 3^{\frac{1}{5}}$

Nesse caso, não tem como simplificar a fração, então já achamos a resposta.

Índice igual ao expoente do radicando:

Quando o índice de uma raiz é igual ao expoente do radicando (número de dentro da raiz, que fica embaixo do radical), podemos anular a raiz com o expoente. Podemos provar isso utilizando a propriedade anterior.

Exemplo 1:

Dada a raiz $\sqrt[3]{16^{3}}$ , determine sua solução

Vamos transformar a raiz em potência e ver o que acontece

$\sqrt[3]{16^{3}} = 16^{\frac{3}{3}} = 16^{1} = 16$

Olha só, a resposta é $16$ , encontramos utilizando outra propriedade, para que seja possível visualizar que está matematicamente correto, no entanto, poderíamos anular o expoente com a raiz, pois ambos valiam $3$ .

Exemplo 2:

Dada a raiz $\sqrt{4^{2}}$ , determine sua solução

Apesar de não parecer inicialmente, o $4$ tem expoente igual ao índice, pois quando ele não está explícito, significa que o índice é igual à $2$ (como mencionado nas considerações importantes)

$\sqrt{4^{2}} = \sqrt[2]{4^{2}} = 4$

Para saber se você acertou, basta elevar a resposta ao índice e verificar se é igual ao radicando

$4^{2} = 16$

Como o radicando era $4^{2}$ , que é a mesma coisa que $16$ , a resposta está correta.

É comum utilizarmos essa propriedade para simplificarmos termos em uma equação, elevando uma raiz de determinado índice a um expoente igual a ele ou aplicando uma raiz de índice igual ao expoente da potência.

Raiz de uma multiplicação:

Quando tivermos dois (ou mais) números se multiplicando dentro de uma raiz, podemos separar ela em duas raízes de mesmo índice se multiplicando, e os radicandos serão os números que estavam dentro da raiz original. Essa propriedade é muito útil em casos que a multiplicação resultará em um valor muito alto.

Exemplo 1:

Dada a raiz $\sqrt[3]{64.27}$ , determine sua solução

Temos $64$ e $27$ se multiplicando dentro da raiz, então podemos separar em raiz cúbica de $64$ vezes raiz cúbica de $27$

$\sqrt[3]{64.27} = \sqrt[3]{64} . \sqrt[3]{27}$

Agora, resolvemos ambas as raízes e efetuamos a multiplicação

$\sqrt[3]{64} . \sqrt[3]{27} = 4.3 = 12$

Exemplo 2:

Dada a raiz $\sqrt[4]{2^{4} {.5}^{8} .81}$ , determine sua solução

Separamos ela em três raízes que se multiplicam

$\sqrt[4]{2^{4} {.5}^{8} .81} = \sqrt[4]{2^{4}} . \sqrt[4]{5^{8}} . \sqrt[4]{81}$

Podemos resolver duas das raízes utilizando as propriedades anteriores

$\sqrt[4]{2^{4}} . \sqrt[4]{5^{8}} . \sqrt[4]{81} = {2.5}^{\frac{8}{4}} .3 = {2.5}^{2} .3 = 2.25 .3 = 150$

É possível fazer o processo reverso, se tivermos duas ou mais raízes de mesmo índice se multiplicando, podemos transformar elas em uma única raiz (com índice igual as outras), cujo radicando vai ser a multiplicação dos radicandos delas.

Raiz de uma divisão:

Muito parecida com a propriedade anterior, se tivermos dois números se dividindo dentro de uma raiz, podemos separar ela em duas raízes de mesmo índice se dividindo, e os radicandos serão os números que estavam dentro da raiz original. Essa propriedade é muito útil em casos que a divisão não será um número exato ou que você não saiba o resultado dela.

Exemplo 1:

Dada a raiz $\sqrt{\frac{64}{16}}$ , determine sua solução

Temos uma divisão dentro de uma raiz quadrada, então, podemos separar em duas raízes quadradas se dividindo

$\sqrt{\frac{64}{16}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{16}}$

Resolvemos ambas e efetuamos a divisão

$\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2$

Exemplo 2:

Dada a raiz $\sqrt[3]{\frac{27.64}{8}}$ , determine sua solução

Uma questão um pouco mais trabalhosa, mas nada de outro mundo, para resolvê-la só precisamos aplicar o que aprendemos. Vamos começar separando a raiz em duas se dividindo

$\sqrt[3]{\frac{27.64}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27.64}}{\sqrt[3]{8}}$

Temos uma raiz de uma multiplicação no numerador, então podemos separá-la em duas

$\frac{\sqrt[3]{27.64}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{27} . \sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}}$

Resolvemos agora as raízes e efetuamos os cálculos restantes

$\frac{\sqrt[3]{27} . \sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3.4}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Assim como na propriedade anterior, fazer o processo reverso é possível, se tivermos duas ou mais raízes de mesmo índice se dividindo, podemos transformar elas em uma única raiz (com índice igual as outras), cujo radicando vai ser a divisão dos radicandos delas.

Potência de raiz:

Quando uma raiz está sendo elevada a um determinado expoente, podemos reescrevê-la como se o radicando estivesse sendo elevado a esse expoente

Exemplo 1:

Dada a raiz $(\sqrt[6]{8})^{2}$ , determine sua solução

O resultado da raiz sexta de $8$ não é um valor exato, só que ela está sendo elevada à $2$ , portanto, podemos reescrevê-la elevando o $8$ à $2$

$(\sqrt[6]{8})^{2} = \sqrt[6]{8^{2}} = \sqrt[6]{64}$

Nos resta resolver a raiz

$\sqrt[6]{64} = 2$

Exemplo 2:

Dada a raiz $(\sqrt[150]{4})^{150}$ , determine sua solução

Os números podem assustar, no entanto, basta utilizarmos duas propriedades que acharemos a resposta rapidinho. Primeiro, vamos passar esse expoente para o radicando

$(\sqrt[150]{4})^{150} = \sqrt[150]{4^{150}}$

E como o radicando possui um expoente igual ao índice, podemos simplificar ambos

$\sqrt[150]{4^{150}} = 4$

Raiz de raiz:

Se tivermos uma raiz, dentro de outra raiz, podemos juntar isso tudo em uma única raiz, cujo novo índice será a multiplicação dos índices de todas as raízes.

Exemplo 1:

Dada a raiz $\sqrt{\sqrt{81}}$ , determine sua solução

Temos uma raiz quadrada dentro de outra raiz quadrada, podemos transformar tudo em uma raiz só, mas para isso, devemos multiplicar os índices

$\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[2.2]{81} = \sqrt[4]{81} = 3$

Exemplo 2:

Dada a raiz $\sqrt[\frac{1}{3}]{\sqrt[6]{25}}$ , determine sua solução

Apesar de um dos índices ser uma fração, o processo será o mesmo, juntamos as raízes e multiplicamos os índices

$\sqrt[\frac{1}{3}]{\sqrt[6]{25}} = \sqrt[\frac{1}{3} .6]{25}$

$\sqrt[\frac{6}{3}]{25} = \sqrt[2]{25} = 5$

Fatoração de raízes

Se tivermos um número muito grande dentro da raiz, e não soubermos de cara qual o resultado dela, podemos fatorar (transformar em multiplicação) o radicando e utilizar as propriedades para resolvê-la.

Exemplo 1:

Dada a raiz $\sqrt{3600}$ , determine sua solução

Antes de sairmos testando números aleatórios até achar a raiz de $3600$ , podemos reescrevê-la como sendo $36.100$ , é o mesmo valor, mas representado de uma forma diferente

$\sqrt{3600} = \sqrt{36.100}$

Podemos separar essa raiz em duas, utilizando a propriedade de raiz de uma multiplicação

$\sqrt{36.100} = \sqrt{36} . \sqrt{100}$

E sobrou apenas a finalização do cálculo

$\sqrt{36} . \sqrt{100} = 6.10 = 60$

Exemplo 2:

Dada a raiz $\sqrt{40000}$ , determine sua solução

Quarenta mil é um número relativamente grande, caso não saibas a raiz quadrada dele, podemos transformá-lo na multiplicação de $4$ por $10000$

$\sqrt{40000} = \sqrt{4.10000}$

O $10000$ pode ser fatorado em $100.100$

$\sqrt{4.10000} = \sqrt{4.100 .100}$

Temos três termos se multiplicando dentro da raiz quadrada, vamos separar em três raízes, e resolvendo elas, teremos a resposta da raiz de $40000$

$\sqrt{4.100 .100} = \sqrt{4} . \sqrt{100} . \sqrt{100}$

$2.10 .10 = 200$

Operações com raízes

Até agora, tratamos apenas de multiplicações e divisões envolvendo raízes, mas e a soma e subtração? Diferente da potenciação, podemos realizar um processo para facilitar as contas envolvendo raízes se somando ou subtraindo.

Se estivermos somando ou subtraindo raízes iguais (tanto em índice, quanto em radicando) basta repetirmos a raiz e somarmos os coeficientes delas (os números que multiplicam as raízes), caso não tenha nenhum aparente, significa que o coeficiente é $1$

Exemplos:

1) $\sqrt[3]{5} + 3. \sqrt[3]{5} = 4. \sqrt[3]{5}$

2) $4. \sqrt{4} - 2. \sqrt{4} = 2. \sqrt{4} = 2.2 = 4$

3) $\sqrt{8} + \sqrt{8} - \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{3} = 2. \sqrt{8}$

Já se as raízes tiverem um dos dois elementos diferente, infelizmente, a saída é resolver as raízes e depois somar ou subtrair.

Racionalização de denominadores

Por fim, mas não menos importante, há um processo envolvendo raízes, chamado “racionalização de denominadores”, que basicamente, é utilizado quando temos uma raiz no denominador da fração e queremos eliminar ela de lá. Há três tipos de casos, no entanto, irei focar apenas no mais comum, pois os demais são muito específicos e dificilmente você esbarrará com um deles.

Caso você tenha uma fração com uma raiz quadrada no denominador, basta multiplicar ela por uma outra fração, cujo numerador e denominador é igual à raiz quadrada que você quer eliminar.

Exemplos:

1) $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2. \sqrt{3}}{3}$

2) $\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6. \sqrt{2}}{2} = 3. \sqrt{2}$

3) $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Exercícios resolvidos de radiciação

1. Simplifique a raiz $\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[5]{10^{30}}}}$

Temos uma raiz dentro de outras duas, podemos aplicar a propriedade de raiz de raiz e transformar tudo em uma única raiz e multiplicar os índices

$\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[5]{10^{30}}}} = \sqrt[2.3 .5]{10^{30}} = \sqrt[30]{10^{30}}$

Como o expoente do $10$ é igual ao índice, eliminamos raiz com expoente e encontramos a resposta

$\sqrt[30]{10^{30}} = 10$

2. Resolva a raiz $\sqrt[\frac{1}{2}]{\sqrt[4]{\frac{64.81}{36}}}$

Apesar do tamanho essa questão não é difícil, apenas trabalhosa, vamos resolvê-la passo a passo. Primeiramente, vamos transformar tudo em uma única raiz

$\sqrt[\frac{1}{2}]{\sqrt[4]{\frac{64.81}{36}}} = \sqrt{\frac{64.81}{36}}$

Agora transformamos a raiz de uma divisão, na divisão de raízes

$\sqrt{\frac{64.81}{36}} = \frac{\sqrt{64.81}}{\sqrt{36}}$

Temos uma multiplicação no numerador, podemos separar em duas raízes que se multiplicam

$\frac{\sqrt{64.81}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{64} . \sqrt{81}}{\sqrt{36}}$

Para finalizar, resolvemos as raízes e simplificamos o máximo que der

$\frac{\sqrt{64} . \sqrt{81}}{\sqrt{36}} = \frac{8.9}{6} = \frac{72}{6} = 12$

Importância de aprender radiciação

Inúmeros assuntos da matemática podem envolver raízes em seus cálculos, como trigonometria, geometria plana, espacial ou analítica, e equações de qualquer tipo. Sendo a operação inversa da potenciação, é um artifício imprescindível, que caso não saibas, em assuntos mais avançados, você terá problemas.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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