Muitas vezes, só conseguiremos resolver determinadas questões ao simplificar as expressões, entender essa técnica facilita a resolução de equações complexas. Quando simplificamos uma expressão algébrica, estamos essencialmente transformando-a em uma forma mais manejável, sem alterar seu valor original.
Exemplo:
$$2x+4x+3y-3y=6x$$
Tipos de simplificações
Existem diversas formas de simplificar uma expressão, desde juntar termos parecidos até utilizar técnicas específicas, e ao longo desse post, você conhecerá os principais métodos de simplificação.
Juntar termos semelhantes:
Caso tenhamos termos com a parte literal igual (letra), podemos juntá-los ao somamos seus coeficientes.
Exemplo 1:
Simplifique a expressão $3x+2x-6$
Tanto o $3x$ quanto o $2x$ possuem a mesma parte literal, então podemos somar seus coeficientes, transformando-os em um único termo
$$3x+2x-5=(3+2)x-5=5x-6$$
Não é possível simplificar mais, então paremos por aqui.
Exemplo 2:
Simplifique a expressão $2x-4x+4y+2y-y$
Agora há mais de uma letra, mas tem alguma diferença? Não, apenas juntaremos os termos semelhantes, como fizemos antes. Lembre-se que quando não há um número explícito como coeficiente de uma letra, implicitamente, ele vale $1$
$$2x-4x+4y+2y-y=(2+(-4))x+(4+2-1)y=-2x+5y$$
Divisor em comum:
Caso tenhamos expressões algébricas em uma fração e todos os termos, no numerador e denominador, forem divisíveis por um número ou letra em comum, podemos simplificá-los dividindo-os por esse divisor em comum.
Exemplo 1:
Simplifique a expressão abaixo
$$\frac{15x}{10}$$
Tanto o $15$ do termo que está no numerador e o $10$ são divisíveis por $5$, então, podemos simplificar ambos dividindo-os por $5$
$$\frac{15x}{10}=\frac{3x}{2}$$
Exemplo 2:
Simplifique a expressão abaixo
$$\frac{8x^2-4x}{2x}$$
Todos os termos são divisíveis tanto por $2$, quanto por $x$, então podemos dividir todo mundo por $2x$
$$\frac{8x^2-4x}{2x}=\frac{4x-2}{1}=4x-2$$
Simplificação por fatoração:
A fatoração é um artifício que nos permite transformar uma expressão algébrica complexa na multiplicação entre expressões mais simples, e uma vez que tenhamos termos iguais se dividindo, podemos simplificá-los, “eliminando um com o outro”, pois algo dividido por ele mesmo resulta em $1$ e multiplicar o resto da expressão por $1$ não altera em nada seu valor, então é como se eles sumissem. Mas isso só é possível quando todos os termos estiverem se multiplicando no numerador e/ou denominador.
Exemplo 1:
Simplifique a expressão abaixo
$$\frac{x^2-64}{(x+8)(x-2)}$$
Temos uma expressão bem famosa no numerador, uma “diferença de dois quadrados”, podemos fatorar ela, transformando-a no produto de uma soma pela diferença entre os termos $x$ e $8$. Faremos isso para que apareça um fator que possamos simplificar com um dos fatores do denominador
$$\frac{x^2-64}{(x+8)(x-2)}=\frac{(x+8)(x-8)}{(x+8)(x-2)}$$
Olha só quem apareceu, o $x+8$ está aparecendo no numerador e no denominador da fração e já que todo mundo está se multiplicando, podemos simplificá-los
$$\frac{(x+8)(x-8)}{(x+8)(x-2)}=\frac{x-8}{x-2}$$
Mesmo que haja $x$ em cima e em baixo, não podemos simplificar, pois há subtrações entre os termos.
Exemplo 2:
Simplifique a expressão abaixo
$$\frac{x-2}{x^2-4x+4}$$
Caso já tenhas feitos alguns exercícios de fatoração, irá perceber que temos um trinômio quadrado perfeito no denominador dessa fração, então, podemos o fatorar
$$\frac{x-2}{x^2-4x+4}=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$$
Apesar de haver uma subtração entre $x$ e $2$ no numerador, considerar todo o $x-2$ como um único termo e simplificar com o $x-2$ do denominador
$$\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x+2}$$
A fatoração é especialmente útil para simplificar expressões quadráticas e polinômios.
Simplificação por produtos notáveis:
Não tão comum quanto a fatoração, mas tão úteis quanto, utilizar produtos notáveis pode nos ajudar a simplificar determinadas expressões.
Exemplo:
Simplifique a expressão abaixo
$$\frac{(y+7)(y-7)}{y^2-49}$$
Nessa questão, há um produto entre dois termos se somando e eles mesmos se subtraindo, no caso o $x$ e o $7$, e esse é um produto notável, cuja resposta é ambos os termos elevados ao quadrado se subtraindo
$$\frac{(y+7)(y-7)}{y^2-49}=\frac{y^2-49}{y^2-49}$$
Alguma coisa dividida por ela mesma é $1$, portanto, podemos simplificar ainda mais a fração
$$\frac{y^2-49}{y^2-49}=1$$
Como identificar que posso simplificar uma expressão?
A forma mais eficiente de se aprender a simplificar os mais diferentes tipos de expressões algébricas, é fazendo vários exercícios, pois há uma infinidade de possibilidades de questões com diferentes tipos de termos, então, à medida que você for resolvendo questões, naturalmente, irás aprender a melhor forma de simplificar e quando é possível simplificar algo.
Exercícios resolvidos de simplificação de expressões algébricas
1. Dada a expressão $8x-2(4x-7)-20$, simplifique-a
Antes de tentarmos simplificar algo, vamos aplicar a propriedade distributiva para liberar os termos que estão dentro dos parênteses
$$8x-2(4x-10)-20=8x-8x+20-20$$
Agora juntamos os termos semelhantes e efetuamos as operações com os números
$$8x-8x+20-20=0+0=0$$
2. Simplifique ao máximo a expressão abaixo
$$\frac{(a^2b+ab^2)^2}{a^2b^2}$$
Do jeito que está, não conseguimos simplificar nada, mas temos o “quadrado da soma de dois termos” no numerador, então vamos expandir o produto notável
$$\frac{(a^2b+ab^2)^2}{a^2b^2}=\frac{a^4b^2+2a^3b^3+a^2b^4}{a^2b^2}$$
Temos $a^2b^2$ como fator comum em todos os termos do numerador, então vamos colocá-lo em evidência
$$\frac{a^4b^2+2a^3b^3+a^2b^4}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2(a^2+2ab+b^2)}{a^2b^2}$$
Por fim, podemos simplificar o $a^2b^2$, no numerador e denominador
$$\frac{a^2b^2(a^2+2ab+b^2)}{a^2b^2}= a^2+2ab+b^2$$
Importância de aprender a simplificar expressões algébricas
Simplificar expressões é essencial para resolver equações mais facilmente e para tornar problemas matemáticos menos complexos, além de nos ajudar a identificar determinados termos que inicialmente estão implícitos nas expressões.
