Simplificação de expressões algébricas: O que é e como fazer

Conceitos básicos da matemática
ExercíciosTeoria
22/08/2024
Daniel Duarte

Uma expressão algébrica sendo simplificada em um quadro

Muitas vezes, só conseguiremos resolver determinadas questões ao simplificar as expressões, entender essa técnica facilita a resolução de equações complexas. Quando simplificamos uma expressão algébrica, estamos essencialmente transformando-a em uma forma mais manejável, sem alterar seu valor original.

Exemplo:

$2 x + 4 x + 3 y - 3 y = 6 x$

Tipos de simplificações

Existem diversas formas de simplificar uma expressão, desde juntar termos parecidos até utilizar técnicas específicas, e ao longo desse post, você conhecerá os principais métodos de simplificação.

Juntar termos semelhantes:

Caso tenhamos termos com a parte literal igual (letra), podemos juntá-los ao somamos seus coeficientes.

Exemplo 1:

Simplifique a expressão $3 x + 2 x - 6$

Tanto o $3 x$ quanto o $2 x$ possuem a mesma parte literal, então podemos somar seus coeficientes, transformando-os em um único termo

$3 x + 2 x - 5 = (3 + 2) x - 5 = 5 x - 6$

Não é possível simplificar mais, então paremos por aqui.

Exemplo 2:

Simplifique a expressão $2 x - 4 x + 4 y + 2 y - y$

Agora há mais de uma letra, mas tem alguma diferença? Não, apenas juntaremos os termos semelhantes, como fizemos antes. Lembre-se que quando não há um número explícito como coeficiente de uma letra, implicitamente, ele vale $1$

$2 x - 4 x + 4 y + 2 y - y = (2 + (- 4)) x + (4 + 2 - 1) y = - 2 x + 5 y$

Divisor em comum:

Caso tenhamos expressões algébricas em uma fração e todos os termos, no numerador e denominador, forem divisíveis por um número ou letra em comum, podemos simplificá-los dividindo-os por esse divisor em comum.

Exemplo 1:

Simplifique a expressão abaixo

$\frac{15 x}{10}$

Tanto o $15$ do termo que está no numerador e o $10$ são divisíveis por $5$ , então, podemos simplificar ambos dividindo-os por $5$

$\frac{15 x}{10} = \frac{3 x}{2}$

Exemplo 2:

Simplifique a expressão abaixo

$\frac{8 x^{2} - 4 x}{2 x}$

Todos os termos são divisíveis tanto por $2$ , quanto por $x$ , então podemos dividir todo mundo por $2 x$

$\frac{8 x^{2} - 4 x}{2 x} = \frac{4 x - 2}{1} = 4 x - 2$

Simplificação por fatoração:

A fatoração é um artifício que nos permite transformar uma expressão algébrica complexa na multiplicação entre expressões mais simples, e uma vez que tenhamos termos iguais se dividindo, podemos simplificá-los, “eliminando um com o outro”, pois algo dividido por ele mesmo resulta em $1$ e multiplicar o resto da expressão por $1$ não altera em nada seu valor, então é como se eles sumissem. Mas isso só é possível quando todos os termos estiverem se multiplicando no numerador e/ou denominador.

Exemplo 1:

Simplifique a expressão abaixo

$\frac{x^{2} - 64}{(x + 8) (x - 2)}$

Temos uma expressão bem famosa no numerador, uma “diferença de dois quadrados”, podemos fatorar ela, transformando-a no produto de uma soma pela diferença entre os termos $x$ e $8$ . Faremos isso para que apareça um fator que possamos simplificar com um dos fatores do denominador

$\frac{x^{2} - 64}{(x + 8) (x - 2)} = \frac{(x + 8) (x - 8)}{(x + 8) (x - 2)}$

Olha só quem apareceu, o $x + 8$ está aparecendo no numerador e no denominador da fração e já que todo mundo está se multiplicando, podemos simplificá-los

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{(x + 8) (x - 2)} = \frac{x - 8}{x - 2}$

Mesmo que haja $x$ em cima e em baixo, não podemos simplificar, pois há subtrações entre os termos.

Exemplo 2:

Simplifique a expressão abaixo

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 4}$

Caso já tenhas feitos alguns exercícios de fatoração, irá perceber que temos um trinômio quadrado perfeito no denominador dessa fração, então, podemos o fatorar

$\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Apesar de haver uma subtração entre $x$ e $2$ no numerador, considerar todo o $x - 2$ como um único termo e simplificar com o $x - 2$ do denominador

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{1}{x + 2}$

A fatoração é especialmente útil para simplificar expressões quadráticas e polinômios.

Simplificação por produtos notáveis:

Não tão comum quanto a fatoração, mas tão úteis quanto, utilizar produtos notáveis pode nos ajudar a simplificar determinadas expressões.

Exemplo:

Simplifique a expressão abaixo

$\frac{(y + 7) (y - 7)}{y^{2} - 49}$

Nessa questão, há um produto entre dois termos se somando e eles mesmos se subtraindo, no caso o $x$ e o $7$ , e esse é um produto notável, cuja resposta é ambos os termos elevados ao quadrado se subtraindo

$\frac{(y + 7) (y - 7)}{y^{2} - 49} = \frac{y^{2} - 49}{y^{2} - 49}$

Alguma coisa dividida por ela mesma é $1$ , portanto, podemos simplificar ainda mais a fração

$\frac{y^{2} - 49}{y^{2} - 49} = 1$

Como identificar que posso simplificar uma expressão?

A forma mais eficiente de se aprender a simplificar os mais diferentes tipos de expressões algébricas, é fazendo vários exercícios, pois há uma infinidade de possibilidades de questões com diferentes tipos de termos, então, à medida que você for resolvendo questões, naturalmente, irás aprender a melhor forma de simplificar e quando é possível simplificar algo.

Exercícios resolvidos de simplificação de expressões algébricas

1. Dada a expressão $8 x - 2 (4 x - 7) - 20$ , simplifique-a

Antes de tentarmos simplificar algo, vamos aplicar a propriedade distributiva para liberar os termos que estão dentro dos parênteses

$8 x - 2 (4 x - 10) - 20 = 8 x - 8 x + 20 - 20$

Agora juntamos os termos semelhantes e efetuamos as operações com os números

$8 x - 8 x + 20 - 20 = 0 + 0 = 0$

2. Simplifique ao máximo a expressão abaixo

$\frac{(a^{2} b + a b^{2})^{2}}{a^{2} b^{2}}$

Do jeito que está, não conseguimos simplificar nada, mas temos o “quadrado da soma de dois termos” no numerador, então vamos expandir o produto notável

$\frac{(a^{2} b + a b^{2})^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{4} b^{2} + 2 a^{3} b^{3} + a^{2} b^{4}}{a^{2} b^{2}}$

Temos $a^{2} b^{2}$ como fator comum em todos os termos do numerador, então vamos colocá-lo em evidência

$\frac{a^{4} b^{2} + 2 a^{3} b^{3} + a^{2} b^{4}}{a^{2} b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2} (a^{2} + 2 a b + b^{2})}{a^{2} b^{2}}$

Por fim, podemos simplificar o $a^{2} b^{2}$ , no numerador e denominador

$\frac{a^{2} b^{2} (a^{2} + 2 a b + b^{2})}{a^{2} b^{2}} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Importância de aprender a simplificar expressões algébricas

Simplificar expressões é essencial para resolver equações mais facilmente e para tornar problemas matemáticos menos complexos, além de nos ajudar a identificar determinados termos que inicialmente estão implícitos nas expressões.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

Sobre nós

O Matematiquês é um blog dedicado ao aprendizado de matemática, e nosso objetivo é tornar o ensino mais acessível e envolvente através de conteúdos de alta qualidade e gratuitos para alunos e professores em todo o Brasil. Buscamos simplificar conceitos complexos com uma abordagem clara e direta, priorizando transparência, diversidade, clareza, qualidade, inovação e compromisso social. Nosso blog oferece conteúdos fundamentados por especialistas, revisados com rigor e atualizados.

Categorias

Posts mais recentes

All Post
Curiosidades
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
Notícias

Back
Cinemática
Dinâmica
Conceitos básicos da física

Back
Conceitos básicos da matemática
Frações
Potenciação
Radiciação
Geometria plana
Logaritmo

Back
Funções
Equações
Conjuntos numéricos
Geometria espacial
Inequações
Módulo
Progressões matemáticas
Física
Trigonometria
Cinemática
Dinâmica
Conceitos básicos da física

Back
Limites
Derivadas
Integrais
Equações Diferenciais
Vetores e Geometria Analítica

Simplificação de expressões algébricas: O que é e como fazer

Tipos de simplificações

Juntar termos semelhantes:

Divisor em comum:

Simplificação por fatoração:

Simplificação por produtos notáveis:

Como identificar que posso simplificar uma expressão?

Exercícios resolvidos de simplificação de expressões algébricas

Importância de aprender a simplificar expressões algébricas

Sobre nós

Categorias

Posts mais recentes

Udesc abre inscrições para vestibular de inverno 2025!

Integrais por partes: Onde e como usar o método

Inscrições para Vestibular da Univesp Estão Para Acabar!

Tags

Matematiquês © 2024. Todos os direitos reservados.