Alguma vez no ensino fundamental ou quando estudou para a prova de algum concurso, deves ter visto as palavras “razão e proporção”, elas andam juntas tanto quanto as palavras “frio e calculista”, pois os conceitos de ambas se relacionam.
O que é uma razão?
Razão na matemática é sinônimo para divisão, e a representação de uma razão é uma fração, cujo número de cima é chamado de “antecedente” e o número de baixo é o “consequente”.
$$\frac{a}{b};b\neq0$$
$a$ – Antecedente
$b$ – Consequente
Relacionamos dois valores em uma razão quando queremos comparar eles, para saber quantas vezes um é maior que outro ou qual a porcentagem que um dos valores representa em relação ao outro. Uma aplicação disso é na comparação entre grandezas, com a observação de que elas devem possuir a mesma unidade de medida.
Exemplo:
Qual é a razão entre $30$ e $60$?
Para resolvermos essa questão, montarmos uma divisão, onde o antecedente (valor que ficará no numerador da fração) será o primeiro valor a ser mencionado no enunciado e o consequente será o $60$
$$\frac{30}{60}$$
E então realizamos a divisão ou simplificamos ao máximo a fração
$$\frac{30}{60}=\frac{30\div30}{60\div30}=\frac{1}{2}$$
O que esse resultado significa? Que $30$ é a metade de $60$, a relação entre os valores é de $1$ para $2$. E se o resultado desse $3$? Significaria que o antecedente é o triplo do consequente.
Caso uma razão possua consequente (valor de baixo) igual à $100$, dizemos que essa razão é centesimal, podendo ser representada em forma de porcentagem ou decimal, por exemplo:
$$\frac{20}{100}=20%=0,2$$
O que é uma proporção?
Basicamente, a proporção é quando temos uma igualdade entre duas razões, ou seja, quando há duas frações cujo resultado é igual.
Exemplos de proporções:
1) $\frac{10}{5}=\frac{20}{10}$
2) $\frac{3}{6}=\frac{15}{30}$
3) $\frac{30}{2}=\frac{15}{1}$
Um detalhe importante a ser considerado é que nenhum dos valores em ambas as razões pode ser igual à zero. Utilizamos a proporção entre razões para calcularmos valores desconhecidos, mas só conseguimos fazer isso por causa das propriedades e de manipulações que incluem conceitos da matemática básica.
Propriedades da proporção
Há algumas formas de mexer na proporção sem violar a igualdade, ou seja, mantendo um lado igual ao outro, irei abordar as duas principais e uma terceira que pode ser útil em algum momento.
Produtos dos meios pelos extremos:
Em uma proporção, podemos multiplicar o antecedente de uma razão pelo consequente da outra, ou seja, multiplicar o valor de cima pelo de baixo, e vice-versa, possibilitando que montemos a seguinte relação (tomemos como exemplo duas razões genéricas):
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
Multiplicando de forma cruzada, “os meios pelos extremos”, em outras palavras, os antecedentes pelos consequentes, teremos:
$$a.d=c.b$$
Essa é a propriedade que mais nos ajudará a resolver exercícios.
Troca dos meios pelos extremos:
É possível trocar de lugar os valores que estiverem em posições opostas nas razões, ou seja, trocar o valor que estiver em cima de uma razão, pelo que está em baixo na outra
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
A proporção acima é equivalente a essas outras:
$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$
$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$
A igualdade é mantida, então, não estamos fazendo nada errado matematicamente falando, e só é possível realizar essas manipulações por causa da igualdade ($=$). Irei utilizar um exemplo com número caso tenha ficado confuso.
Exemplo:
Reescreva a proporção abaixo de pelo menos duas formas
$$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$
Podemos trocar os números que estão em posições opostas em suas razões, por exemplo, trocar o $5$ que está em cima na razão da esquerda, pelo $2$ que está em baixo na outra razão
$$\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$
Agora, que tal trocarmos o $10$ pelo $1$? Podemos fazer isso, a igualdade continuará sendo verdadeira, ou seja, em valor ambas as razões continuarão sendo iguais.
$$\frac{2}{1}=\frac{10}{5}$$
Soma e subtração das razões:
Se pegarmos as duas razões e somarmos (ou subtrairmos) antecedente com antecedente e consequente com consequente, chegaremos em uma nova razão que pode ser igualada as outras duas, ou seja, será proporcional às razões originais.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$$
Utilizarei um exemplo numérico para mostrar essa propriedade em ação.
$$\frac{12}{6}=\frac{4}{2}=\frac{12+4}{6+2}=\frac{12-4}{6-2}$$
$$\frac{12}{6}=\frac{4}{2}=\frac{16}{8}=\frac{8}{4}$$
$$2=2=2=2$$
Como aplicar razão e proporção em exercícios?
Sabendo que a razão entre dois valores é igual à divisão dos mesmos e conhecendo as propriedades de proporção, resolver exercícios envolvendo esses assuntos consiste em aplicar o que foi aprendido.
Exemplo 1:
Qual é a razão entre $25$ e $5$
Lembrando do que vimos anteriormente, montaremos uma fração onde o antecedente será o primeiro número mencionado, nesse caso o $25$ e o consequente será o outro valor ($5$)
$$\frac{25}{5}$$
Agora resolvemos a divisão
$$\frac{25}{5}=5$$
Resolvida a questão, simples, não acha?
Exemplo 2:
Determine o valor de $x$ para que a proporção abaixo seja verdadeira
$$\frac{5}{3}=\frac{10}{x}$$
Temos uma equação racional, mas independentemente do tipo de equação, precisamos isolar a letra (variável) para resolvê-la e como faremos isso? Aplicando a primeira propriedade de proporção, multiplicando de forma cruzada antecedentes e consequentes (meios pelos extremos)
$$\frac{5}{3}=\frac{10}{x}$$
$$5x=3.10$$
$$5x=30$$
Por fim, resolvemos a equação de 1° grau
$$5x=30$$
$$x=\frac{30}{5}$$
$$x=6$$
Vamos conferir se a proporção ficará correta ao substituirmos o valor que encontramos
$$\frac{5}{3}=\frac{10}{x}$$
$$\frac{5}{3}=\frac{10}{6}$$
$$\frac{5}{3}=\frac{10\div2}{6\div2}$$
$$\frac{5}{3}=\frac{5}{3}$$
Exercícios resolvidos de razão e proporção
1. Numa cidade hipotética com 200 mil habitantes, com território estimado em 100 quilômetros quadrados, qual seria a relação de habitantes por $km^2$?
Quando uma questão pede a relação entre dois valores, na verdade ela está pedindo a razão entre eles, nessa questão o antecedente será o número de habitantes da cidade (primeira grandeza mencionada) e o consequente será a área em $km^2$. Observação: É essencial que respeitemos as unidades de medida quando mexemos com grandezas.
$$\frac{N°\;de\;habitantes}{Área}=\frac{200000}{100}$$
Agora simplificamos a razão para termos o dado que a questão pede
$$\frac{200000}{100}=\frac{2000}{1}$$
O valor que encontramos nos diz que nessa cidade hipotética, há em média $2000$ habitantes por cada quilômetro quadrado de território.
2. Monte uma razão cujo antecedente é $18$ e o resultado da divisão seja $6$
Já que não conhecemos o consequente, colocaremos uma letra para representá-lo
$$\frac{18}{x}$$
A questão nos disse que ao realizarmos a divisão, o resultado será $6$, portanto, podemos montar uma equação para nos ajudar a descobrir quem é o consequente
$$\frac{18}{x}=6$$
Podemos transformar isso em uma proporção, pois todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, uma vez que dividir um número por $1$ não alterará seu valor
$$\frac{18}{x}=6$$
$$\frac{18}{x}=\frac{6}{1}$$
Agora, utilizamos a propriedade que nos permite multiplicar os meios pelos extremos
$$\frac{18}{x}=\frac{6}{1}$$
$$6x=18.1$$
$$6x=18$$
Resolvemos a equação
$$6x=18$$
$$x=\frac{18}{6}$$
$$x=3$$
Por fim, substituímos na razão e encontramos o que a questão pediu, uma razão cujo valor é $6$
$$\frac{18}{x}=\frac{18}{3}=6$$
