Alguma vez no ensino fundamental ou quando estudou para a prova de algum concurso, deves ter visto as palavras “razão e proporção”, elas andam juntas tanto quanto as palavras “frio e calculista”, pois os conceitos de ambas se relacionam.
O que é uma razão?
Razão na matemática é sinônimo para divisão, e a representação de uma razão é uma fração, cujo número de cima é chamado de “antecedente” e o número de baixo é o “consequente”.
Relacionamos dois valores em uma razão quando queremos comparar eles, para saber quantas vezes um é maior que outro ou qual a porcentagem que um dos valores representa em relação ao outro. Uma aplicação disso é na comparação entre grandezas, com a observação de que elas devem possuir a mesma unidade de medida.
Exemplo:
Qual é a razão entre
Para resolvermos essa questão, montarmos uma divisão, onde o antecedente (valor que ficará no numerador da fração) será o primeiro valor a ser mencionado no enunciado e o consequente será o
E então realizamos a divisão ou simplificamos ao máximo a fração
O que esse resultado significa? Que
Caso uma razão possua consequente (valor de baixo) igual à
O que é uma proporção?
Basicamente, a proporção é quando temos uma igualdade entre duas razões, ou seja, quando há duas frações cujo resultado é igual.
Exemplos de proporções:
1)
2)
3)
Um detalhe importante a ser considerado é que nenhum dos valores em ambas as razões pode ser igual à zero. Utilizamos a proporção entre razões para calcularmos valores desconhecidos, mas só conseguimos fazer isso por causa das propriedades e de manipulações que incluem conceitos da matemática básica.
Propriedades da proporção
Há algumas formas de mexer na proporção sem violar a igualdade, ou seja, mantendo um lado igual ao outro, irei abordar as duas principais e uma terceira que pode ser útil em algum momento.
Produtos dos meios pelos extremos:
Em uma proporção, podemos multiplicar o antecedente de uma razão pelo consequente da outra, ou seja, multiplicar o valor de cima pelo de baixo, e vice-versa, possibilitando que montemos a seguinte relação (tomemos como exemplo duas razões genéricas):
Multiplicando de forma cruzada, “os meios pelos extremos”, em outras palavras, os antecedentes pelos consequentes, teremos:
Essa é a propriedade que mais nos ajudará a resolver exercícios.
Troca dos meios pelos extremos:
É possível trocar de lugar os valores que estiverem em posições opostas nas razões, ou seja, trocar o valor que estiver em cima de uma razão, pelo que está em baixo na outra
A proporção acima é equivalente a essas outras:
A igualdade é mantida, então, não estamos fazendo nada errado matematicamente falando, e só é possível realizar essas manipulações por causa da igualdade (
Exemplo:
Reescreva a proporção abaixo de pelo menos duas formas
Podemos trocar os números que estão em posições opostas em suas razões, por exemplo, trocar o
Agora, que tal trocarmos o
Soma e subtração das razões:
Se pegarmos as duas razões e somarmos (ou subtrairmos) antecedente com antecedente e consequente com consequente, chegaremos em uma nova razão que pode ser igualada as outras duas, ou seja, será proporcional às razões originais.
Utilizarei um exemplo numérico para mostrar essa propriedade em ação.
Como aplicar razão e proporção em exercícios?
Sabendo que a razão entre dois valores é igual à divisão dos mesmos e conhecendo as propriedades de proporção, resolver exercícios envolvendo esses assuntos consiste em aplicar o que foi aprendido.
Exemplo 1:
Qual é a razão entre
Lembrando do que vimos anteriormente, montaremos uma fração onde o antecedente será o primeiro número mencionado, nesse caso o
Agora resolvemos a divisão
Resolvida a questão, simples, não acha?
Exemplo 2:
Determine o valor de
Temos uma equação racional, mas independentemente do tipo de equação, precisamos isolar a letra (variável) para resolvê-la e como faremos isso? Aplicando a primeira propriedade de proporção, multiplicando de forma cruzada antecedentes e consequentes (meios pelos extremos)
Por fim, resolvemos a equação de 1° grau
Vamos conferir se a proporção ficará correta ao substituirmos o valor que encontramos
Exercícios resolvidos de razão e proporção
1. Numa cidade hipotética com 200 mil habitantes, com território estimado em 100 quilômetros quadrados, qual seria a relação de habitantes por
Quando uma questão pede a relação entre dois valores, na verdade ela está pedindo a razão entre eles, nessa questão o antecedente será o número de habitantes da cidade (primeira grandeza mencionada) e o consequente será a área em
Agora simplificamos a razão para termos o dado que a questão pede
O valor que encontramos nos diz que nessa cidade hipotética, há em média
2. Monte uma razão cujo antecedente é
Já que não conhecemos o consequente, colocaremos uma letra para representá-lo
A questão nos disse que ao realizarmos a divisão, o resultado será
Podemos transformar isso em uma proporção, pois todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, uma vez que dividir um número por
Agora, utilizamos a propriedade que nos permite multiplicar os meios pelos extremos
Resolvemos a equação
Por fim, substituímos na razão e encontramos o que a questão pediu, uma razão cujo valor é
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
