Fatoração ou decomposição, é um método de simplificação de expressões matemáticas. Este processo pode parecer complicado no início, mas uma vez aprendido, se torna uma importante ferramenta que lhe poupará muito tempo nos cálculos.
O que é fatoração?
Fatorar (decompor) um número ou polinômio significa transformar em uma multiplicação de dois ou mais fatores menores, esses fatores podem ser números ou expressões mais simples. Por exemplo, o número
Exemplo:
Um ponto importante a ser considerado, é que ao reescrever a expressão, eu não estou alterando seu valor, pois a forma fatorada é uma representação equivalente, ou seja, tanto faz escrever de um jeito ou de outro.
Pré-requisitos para aprender a fatorar:
Antes de nos aprofundarmos na fatoração, é essencial que você tenha o conhecimento sobre os seguintes assuntos, para que não fique confuso o entendimento de alguns termos e métodos utilizados: Expressões matemáticas, equações de primeiro e segundo graus, produtos notáveis, radiciação e potenciação e saber o que é um polinômio.
Técnicas de fatoração
Dependendo da expressão, haverá um tipo específico de fatoração para cada caso, saber identificar a hora de usar um ou outro é muito importante.
Fatoração com números primos:
Há várias formas de fatorar um número, entre elas se destaca a fatoração por números primos (números naturais que só são divisíveis por eles mesmos e por
Exemplos:
1)
2)
3)
Também é possível transformar um número em dois ou mais números que não são primos, se multiplicando, como por exemplo o
Fator comum em evidência:
Sendo a técnica mais utilizada na fatoração de polinômios, ela consiste em procuramos por um fator comum em todos os termos de um polinômio (podendo ser um número ou uma letra). Uma vez encontrado o fator que se repete, reescrevemos a expressão com ele multiplicando os termos que antes ele pertencia, exemplo:
Na expressão acima, o
Podemos simplificar a expressão, e obtermos sua forma fatorada
Transformamos
No entanto, as vezes o termo em comum não estará explícito, e para visualizá-lo, precisaremos manipular a expressão, como veremos no exemplo a seguir:
O
Olha o
Por fim, simplificamos o que for possível
Não é necessário fazer todo esse processo ao fatorar, é importante fazer passo à passo quando estiveres praticando, mas conforme fizeres vários exercícios, você naturalmente começará a perceber os termos em comum, mesmo que eles estejam “escondidos”.
Fatoração por agrupamento:
Pode-se dizer que esse método consiste em colocar termos em evidência mais de uma vez, observemos a fatoração a seguir.
Exemplo:
Considere o polinômio
Apesar de só termos letras, o processo será o mesmo, pois anote aí: tudo, exatamente TUDO que é possível fazer com números, também podemos fazer com letras, a única diferença é que mexer com letras pode ser mais trabalhoso às vezes. Temos o fator
Que curioso, ao colocarmos os termos em evidência, surgiu um novo termo que se repete na expressão, então, podemos colocá-lo em evidência também
Percebe que agora temos duas expressões menores formando “dois grupos” de letras? Daí vem o nome “agrupamento”.
Diferença de dois quadrados:
Essa é a mais fácil de se identificar, caso tenhamos dois termos se subtraindo, podemos transformá-los em uma multiplicação. Faremos o contrário do produto notável “produto da soma pela diferença”, pois transformaremos uma subtração de dois termos em uma multiplicação deles se somando por eles se subtraindo:
Sendo
Exemplo 1:
Fatore a expressão
Temos dois termos se subtraindo, então, podemos fatorar pelo método da “diferença de dois quadrados”, mas como faremos isso? Primeiramente, tiramos a raiz quadrada de ambos os termos
1)
2)
Agora escrevemos na forma
Está fatorado!
Exemplo 2:
Fatore a expressão
Apesar de parecer complicado, não se preocupe, temos dois termos se subtraindo? Sim, então faremos o mesmo processo, só que dessa vez o primeiro termo será
1)
2)
3)
Trinômio quadrado perfeito:
As três últimas técnicas citadas nesse artigo, se aplicam a polinômios de segundo grau. Sabe o produto notável “quadrado da soma de dois termos” e o seu irmão “quadrado da diferença de dois termos”? Pois é, essa fatoração se aplica a forma expandida desses produtos notáveis. Basicamente, faremos o caminho contrário, ao invés de realizarmos as multiplicações, transformando dois polinômios menores em uma expressão maior, transformaremos um polinômio mais complexo em dois polinômios mais simples, se multiplicando
Em outras palavras, transformaremos algo assim:
Nisso:
Mas como identificamos que um polinômio é um trinômio quadrado perfeito? Basta tirarmos a raiz quadrada de dois termos e multiplicá-los entre si e por
Exemplo 1:
Fatore a expressão
Vamos lá, geralmente, os termos que precisaremos tirar a raiz quadrada, serão os que estão nas pontas da expressão, mas nem sempre será assim, então é necessária uma certa prática para identificar mais facilmente quem devemos verificar. Tiraremos a raiz quadrada de
1)
2)
3)
Chegamos no termo do meio, no caso, o
Inicialmente temos dois valores,
Que por sua vez, é o mesmo que dois fatores se multiplicando
Caso um dos termos seja negativo, ele pode ser a forma expandida do “quadrado da diferença de dois termos”, o método para verificar se ele é um trinômio quadrado perfeito é o mesmo, só que será mais fácil, pois tiraremos a raiz quadrada dos termos que forem positivos.
Exemplo 2:
Fatore a expressão
Dessa vez, o polinômio não está com os termos na ordem convencional, mas um deles é negativo, portanto, para fazermos a verificação, tiraremos a raiz quadrada dos que são positivos
1)
2)
Só que, diferente da questão anterior, multiplicaremos os resultados por
E está comprovado, temos um trinômio quadrado perfeito, agora escrevemos ele como sendo
Fatoração por equação de 2° grau:
Por último, mas não menos importante, podemos fatorar qualquer polinômio de segundo grau que estiver na forma
Sendo
Exemplo 1:
Fatore a expressão
Temos uma expressão de segundo grau no formato
Identificamos então os coeficientes e resolvemos a equação de
Agora, achamos as raízes da equação
Por fim, escrevemos na forma fatorada
Caso queira conferir se acertou a fatoração, basta multiplicar os fatores e se chegares na expressão original (antes de ser fatorada), então está correto
Esse método de verificar se a resposta está correta, funciona para todas as formas fatoradas, independentemente do método que foi utilizado para decompor a expressão.
Exemplo 2:
Fatore a expressão
Olha só quem apareceu de novo, apesar de não parecer, esse polinômio pode ser fatorado por Bháskara, pois ele está em sua forma incompleta, e antes de decompormos, igualaremos a expressão à zero
Nesse caso, temos uma única raiz, como escreveremos a forma fatorada? Basta repetirmos o fator:
Aplicações da fatoração
A fatoração é uma ferramenta valiosa, que pode ser utilizada de diversas maneiras em diferentes assuntos, a seguir mostrarei suas principais aplicações.
Solução de equações:
Podemos resolver equações, especialmente as quadráticas, por exemplo: ao fatorar uma equação do tipo
Simplificação de expressões algébricas:
Podemos transformar expressões algébricas mais complexas em expressões mais simples se multiplicando, nos permitindo eliminar termos em uma fração, por exemplo:
Também aplicamos a fatoração para simplificar expressões com raízes e expoentes, algo muito comum em cálculos na álgebra e na matéria cálculo (matéria de ensino superior)
Exercícios resolvidos de fatoração
1. Fatore o número
Temos um número, então, podemos o decompor de várias maneiras, só que como o enunciado pede que fatoremos ao máximo, o único jeito de fazermos isso é o transformando em multiplicações de números primos. Primeiro, vamos reescrevê-lo como sendo
Agora fatoramos ambos, o
O
Por fim, ainda podemos fatorar o
Só temos fatores primos se multiplicando, então, fatoramos ao máximo o número
2. Fatore a expressão
Podemos constatar que o fator
3. Fatore a expressão
Nesse caso, temos mais de um fator que pode ser posto em evidência, o
Surgiu um novo termo que podemos colocar em evidência
E fatoramos, pelo método do “agrupamento”.
4. Fatore a expressão
Bom, não temos fatores que se repetem, no entanto, temos dois termos se subtraindo, então podemos fatorar utilizando o método do “quadrado da diferença”.
1)
2)
Achadas as raízes, escrevemos na forma fatorada
5. Fatore a expressão
Temos uma expressão de segundo grau no formato
1)
2)
Agora multiplicamos as respostas entre si e por
Resultou no terceiro termo, então podemos escrever na forma
Na matemática, independentemente do método que você utilize para achar determinado valor, os resultados devem ser o mesmo, portanto, irei resolver por Bháskara para ilustrar isso. Antes de tudo, vamos igualar a expressão à zero, transformando-a em uma equação de segundo grau, para aí sim identificarmos os coeficientes e substituirmos na fórmula de Bháskara
Escrevemos então na forma fatorada da equação de segundo grau

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.