Fatoração: Tipos e como identificar

Conceitos básicos da matemática
ExercíciosTeoria
21/08/2024
Daniel Duarte

Fatoração ou decomposição, é um método de simplificação de expressões matemáticas. Este processo pode parecer complicado no início, mas uma vez aprendido, se torna uma importante ferramenta que lhe poupará muito tempo nos cálculos.

O que é fatoração?

Fatorar (decompor) um número ou polinômio significa transformar em uma multiplicação de dois ou mais fatores menores, esses fatores podem ser números ou expressões mais simples. Por exemplo, o número $12$ pode ser escrito como $2 \times 2 \times 3$ , ou seja, transformei um único termo em uma multiplicação de vários fatores. No caso dos polinômios, transformamos expressões mais complexas em expressões mais simples.

Exemplo:

$𝑥 2 - 9 = (𝑥 - 3) (𝑥 + 3)$

Um ponto importante a ser considerado, é que ao reescrever a expressão, eu não estou alterando seu valor, pois a forma fatorada é uma representação equivalente, ou seja, tanto faz escrever de um jeito ou de outro.

Pré-requisitos para aprender a fatorar:

Antes de nos aprofundarmos na fatoração, é essencial que você tenha o conhecimento sobre os seguintes assuntos, para que não fique confuso o entendimento de alguns termos e métodos utilizados: Expressões matemáticas, equações de primeiro e segundo graus, produtos notáveis, radiciação e potenciação e saber o que é um polinômio.

Técnicas de fatoração

Dependendo da expressão, haverá um tipo específico de fatoração para cada caso, saber identificar a hora de usar um ou outro é muito importante.

Fatoração com números primos:

Há várias formas de fatorar um número, entre elas se destaca a fatoração por números primos (números naturais que só são divisíveis por eles mesmos e por $1$ ). Qualquer número maior que $1$ , pode ser transformado em uma multiplicação de números primos.

Exemplos:

1) $6 = 2 \times 3$

2) $30 = 3 \times 5 \times 2$

3) $75 = 3 \times 5 \times 5$

Também é possível transformar um número em dois ou mais números que não são primos, se multiplicando, como por exemplo o $12$ que é a mesma coisa que $4.3$ .

Fator comum em evidência:

Sendo a técnica mais utilizada na fatoração de polinômios, ela consiste em procuramos por um fator comum em todos os termos de um polinômio (podendo ser um número ou uma letra). Uma vez encontrado o fator que se repete, reescrevemos a expressão com ele multiplicando os termos que antes ele pertencia, exemplo:

$2 𝑥 + 2$

Na expressão acima, o $2$ está presente tanto no termo $2 𝑥$ , quanto no termo $2$ , ou seja, ele é um fator em comum, portanto, podemos colocar ele em evidência. Mas se apenas adicionarmos um $2$ multiplicando todo mundo, alteraremos o valor da expressão, tomemos como exemplo o número $10$ , concorda comigo que se o multiplicarmos por $2$ , ele deixará de ser o número $10$ e passará a ser $20$ ? Então, para não mexermos no valor dela, precisamos dividir os termos que tinham o $2$ , pelo próprio $2$ , pois como a divisão é o inverso da multiplicação, ao dividirmos um termo pelo mesmo número que ele foi multiplicado, é como se anulássemos ambas as operações e não tivéssemos mexido em nada.

$2 𝑥 + 2 = 2 . (2 𝑥 2 + 22)$

Podemos simplificar a expressão, e obtermos sua forma fatorada

$2 . (2 𝑥 2 + 22) = 2 . (𝑥 + 1)$

Transformamos $2 𝑥 + 2$ na multiplicação de $2$ por $𝑥 + 1$ , ou seja, fatoramos a expressão.

No entanto, as vezes o termo em comum não estará explícito, e para visualizá-lo, precisaremos manipular a expressão, como veremos no exemplo a seguir:

$3 𝑥 3 + 6 𝑥 2 + 9 𝑥$

O $𝑥$ aparece em todos os termos do polinômio acima, no entanto, ele não está sozinho nessa, o $3$ também é um fator em comum, não consegue visualizar? Vamos lá, o $6$ é a mesma coisa que $2 \times 3$ e o $9$ pode ser escrito como $3 \times 3$ , então, podemos reescrever a expressão assim:

$3 𝑥 3 + 2.3 𝑥 2 + 3.3 𝑥$

Olha o $3$ aí, utilizamos a fatoração por números primos para fazer aparecer o $3$ e agora colocaremos todo o $3 𝑥$ em evidência. E para não alterarmos nada, dividimos os termos pelo fator em comum

$3 𝑥 3 + 2.3 𝑥 2 + 3.3 𝑥 = 3 𝑥 (3 𝑥 3 3 𝑥 + 2.3 𝑥 2 3 𝑥 + 3.3 𝑥 3 𝑥)$

Por fim, simplificamos o que for possível

$3 𝑥 (3 𝑥 3 3 𝑥 + 2.3 𝑥 2 3 𝑥 + 3.3 𝑥 3 𝑥) = 3 𝑥 (𝑥 2 + 2 𝑥 + 3)$

Não é necessário fazer todo esse processo ao fatorar, é importante fazer passo à passo quando estiveres praticando, mas conforme fizeres vários exercícios, você naturalmente começará a perceber os termos em comum, mesmo que eles estejam “escondidos”.

Fatoração por agrupamento:

Pode-se dizer que esse método consiste em colocar termos em evidência mais de uma vez, observemos a fatoração a seguir.

Exemplo:

Considere o polinômio $𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑥 + 𝑏 𝑦$ , reescreva-o na forma fatorada

Apesar de só termos letras, o processo será o mesmo, pois anote aí: tudo, exatamente TUDO que é possível fazer com números, também podemos fazer com letras, a única diferença é que mexer com letras pode ser mais trabalhoso às vezes. Temos o fator $𝑎$ , e o fator $𝑏$ se repetindo, podemos colocar ambos em evidência

$𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑎 . (𝑥 + 𝑦) + 𝑏 . (𝑥 + 𝑦)$

Que curioso, ao colocarmos os termos em evidência, surgiu um novo termo que se repete na expressão, então, podemos colocá-lo em evidência também

$𝑎 . (𝑥 + 𝑦) + 𝑏 . (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) (𝑎 + 𝑏)$

Percebe que agora temos duas expressões menores formando “dois grupos” de letras? Daí vem o nome “agrupamento”.

Diferença de dois quadrados:

Essa é a mais fácil de se identificar, caso tenhamos dois termos se subtraindo, podemos transformá-los em uma multiplicação. Faremos o contrário do produto notável “produto da soma pela diferença”, pois transformaremos uma subtração de dois termos em uma multiplicação deles se somando por eles se subtraindo:

$𝑎 2 - 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)$

Sendo $𝑎$ e $𝑏$ dois termos quaisquer (tanto podem ser letras, números ou ambos)

Exemplo 1:

Fatore a expressão $𝑥 2 - 9$

Temos dois termos se subtraindo, então, podemos fatorar pelo método da “diferença de dois quadrados”, mas como faremos isso? Primeiramente, tiramos a raiz quadrada de ambos os termos

1) $\sqrt 𝑥 2 = 𝑥$

2) $\sqrt 9 = 3$

Agora escrevemos na forma $(𝑎 + 𝑏) (𝑎 - 𝑏)$ , onde $𝑎$ é $𝑥$ e $𝑏$ é $3$

$𝑥 2 - 9 = (𝑥 + 3) . (𝑥 - 3)$

Está fatorado!

Exemplo 2:

Fatore a expressão $4 𝑦 8 𝑥 2 - 𝑎 2$

Apesar de parecer complicado, não se preocupe, temos dois termos se subtraindo? Sim, então faremos o mesmo processo, só que dessa vez o primeiro termo será $4 𝑦 8 𝑥 2$ e o segundo termo será $𝑎 2$

1) $\sqrt 4 𝑦 8 𝑥 2 = 2 𝑦 4 𝑥$

2) $\sqrt 𝑎 2 = 𝑎$

3) $4 𝑦 8 𝑥 2 - 𝑎 2 = (2 𝑦 4 𝑥 + 𝑎) . (2 𝑦 4 𝑥 - 𝑎)$

Trinômio quadrado perfeito:

As três últimas técnicas citadas nesse artigo, se aplicam a polinômios de segundo grau. Sabe o produto notável “quadrado da soma de dois termos” e o seu irmão “quadrado da diferença de dois termos”? Pois é, essa fatoração se aplica a forma expandida desses produtos notáveis. Basicamente, faremos o caminho contrário, ao invés de realizarmos as multiplicações, transformando dois polinômios menores em uma expressão maior, transformaremos um polinômio mais complexo em dois polinômios mais simples, se multiplicando

Em outras palavras, transformaremos algo assim:

$𝑎 2 + 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 2$

Nisso:

$(𝑎 + 𝑏) . (𝑎 + 𝑏)$

Mas como identificamos que um polinômio é um trinômio quadrado perfeito? Basta tirarmos a raiz quadrada de dois termos e multiplicá-los entre si e por $2$ , se o resultado for o terceiro termo, então ele é quem procuramos.

Exemplo 1:

Fatore a expressão $𝑥 2 + 8 𝑥 + 16$

Vamos lá, geralmente, os termos que precisaremos tirar a raiz quadrada, serão os que estão nas pontas da expressão, mas nem sempre será assim, então é necessária uma certa prática para identificar mais facilmente quem devemos verificar. Tiraremos a raiz quadrada de $𝑥 2$ e $16$ , depois, multiplicaremos os resultados entre si e por $2$ , e se chegarmos em $8 𝑥$ , a expressão é um trinômio quadrado perfeito e poderemos fatorar

1) $\sqrt 𝑥 2 = 𝑥$

2) $\sqrt 16 = 4$

3) $2 . 𝑥 . 4 = 8 𝑥$

Chegamos no termo do meio, no caso, o $8 𝑥$ , então podemos fatorar utilizando esse método. Vamos olhar para o produto notável do quadrado da soma de dois termos:

$(𝑎 + 𝑏) . (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) 2 = 𝑎 2 + 2 𝑎 𝑏 + 𝑏 2$

Inicialmente temos dois valores, $𝑎$ e $𝑏$ , elevados ao quadrado, e uma vez que expandimos isso, chegamos em um polinômio. Nessa questão, temos um polinômio que é um trinômio quadrado perfeito (forma expandida do produto notável que mencionei), e precisamos fatorar ele, quem serão os termos $𝑎$ e $𝑏$ ? Serão exatamente, os resultados das raízes quadradas, o $𝑥$ e o $4$ , portanto, podemos escrever o polinômio, como sendo $𝑥$ mais $4$ , tudo isso ao quadrado

$𝑥 2 + 8 𝑥 + 16 = (𝑥 + 4) 2$

Que por sua vez, é o mesmo que dois fatores se multiplicando

$𝑥 2 + 8 𝑥 + 16 = (𝑥 + 4) 2 = (𝑥 + 4) . (𝑥 + 4)$

Caso um dos termos seja negativo, ele pode ser a forma expandida do “quadrado da diferença de dois termos”, o método para verificar se ele é um trinômio quadrado perfeito é o mesmo, só que será mais fácil, pois tiraremos a raiz quadrada dos termos que forem positivos.

Exemplo 2:

Fatore a expressão $- 12 𝑥 3 + 𝑥 6 + 36$

Dessa vez, o polinômio não está com os termos na ordem convencional, mas um deles é negativo, portanto, para fazermos a verificação, tiraremos a raiz quadrada dos que são positivos

1) $\sqrt 𝑥 6 = 𝑥 3$

2) $\sqrt 36 = 6$

Só que, diferente da questão anterior, multiplicaremos os resultados por $- 2$ , não por $2$

$- 2.6 . 𝑥 3 = - 12 𝑥 3$

E está comprovado, temos um trinômio quadrado perfeito, agora escrevemos ele como sendo $𝑥 3$ menos $6$ , tudo isso, ao quadrado.

$- 12 𝑥 3 + 𝑥 6 + 36 = (𝑥 3 - 6) 2 = (𝑥 3 - 6) . (𝑥 3 - 6)$

Fatoração por equação de 2° grau:

Por último, mas não menos importante, podemos fatorar qualquer polinômio de segundo grau que estiver na forma $𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐$ (podendo estar incompleto, sem o $𝑏$ ou $𝑐$ ), utilizando a boa e velha fórmula de Bháskara, pois toda expressão nesse formato pode ser escrita desse jeito:

$𝑎 . (𝑥 - 𝑥') . (𝑥 - 𝑥 ″)$

Sendo $𝑥'$ e $𝑥 ″$ raízes do polinômio, ou seja, valores que ao substituirmos no lugar da variável e realizarmos as operações, o resultado será zero, e $𝑎$ é o coeficiente de $𝑥 2$ .

Exemplo 1:

Fatore a expressão $𝑥 2 - 3 𝑥 + 2$

Temos uma expressão de segundo grau no formato $𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐$ , então podemos fatorar por Bháskara, e antes de fazermos isso, montaremos uma equação com essa expressão, ao igualarmos ela à zero

$𝑥 2 - 3 𝑥 + 2 = 0$

Identificamos então os coeficientes e resolvemos a equação de $2 °$ grau

$𝑎 = 1, 𝑏 = - 3, 𝑐 = 2$

$𝑥 = - 𝑏 \pm \sqrt 𝑏 2 - 4 . 𝑎 . 𝑐 2 𝑎$

$𝑥 = - (- 3) \pm \sqrt (- 3) 2 - 4.1 . 2 2.1$

$𝑥 = 3 \pm \sqrt 1 2$

$𝑥 = 3 \pm 1 2$

Agora, achamos as raízes da equação

$𝑥 1 = 3 + 1 2 = 42 = 2$

$𝑥 2 = 3 - 1 2 = 22 = 1$

Por fim, escrevemos na forma fatorada

$𝑎 . (𝑥 - 𝑥') . (𝑥 - 𝑥 ″) = 1 . (𝑥 - 2) . (𝑥 - 1) = (𝑥 - 2) . (𝑥 - 1)$

Caso queira conferir se acertou a fatoração, basta multiplicar os fatores e se chegares na expressão original (antes de ser fatorada), então está correto

$(𝑥 - 2) . (𝑥 - 1) = 𝑥 2 - 2 𝑥 - 𝑥 + 2 = 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2$

Esse método de verificar se a resposta está correta, funciona para todas as formas fatoradas, independentemente do método que foi utilizado para decompor a expressão.

Exemplo 2:

Fatore a expressão $𝑥 2 - 9$

Olha só quem apareceu de novo, apesar de não parecer, esse polinômio pode ser fatorado por Bháskara, pois ele está em sua forma incompleta, e antes de decompormos, igualaremos a expressão à zero

$𝑥 2 - 9 = 0$

$𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = - 9$

$𝑥 = - 𝑏 \pm \sqrt 𝑏 2 - 4 . 𝑎 . 𝑐 2 𝑎$

$𝑥 = - 0 \pm \sqrt (0) 2 - 4.1 . (- 9) 2.1$

$𝑥 = \sqrt 36 2$

$𝑥 = 62 = 3$

Nesse caso, temos uma única raiz, como escreveremos a forma fatorada? Basta repetirmos o fator:

$𝑎 . (𝑥 - 𝑥') . (𝑥 - 𝑥') = 1 . (𝑥 - 3) . (𝑥 - 3) = (𝑥 - 3) . (𝑥 - 3) = (𝑥 - 3) 2$

Aplicações da fatoração

A fatoração é uma ferramenta valiosa, que pode ser utilizada de diversas maneiras em diferentes assuntos, a seguir mostrarei suas principais aplicações.

Solução de equações:

Podemos resolver equações, especialmente as quadráticas, por exemplo: ao fatorar uma equação do tipo $𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0$ , podemos identificar suas raízes facilmente, como verificamos nas questões resolvidas anteriormente.

Simplificação de expressões algébricas:

Podemos transformar expressões algébricas mais complexas em expressões mais simples se multiplicando, nos permitindo eliminar termos em uma fração, por exemplo:

$𝑥 2 - 16 𝑥 - 4 = (𝑥 + 4) . (𝑥 - 4) (𝑥 - 4) = 𝑥 + 4$

Também aplicamos a fatoração para simplificar expressões com raízes e expoentes, algo muito comum em cálculos na álgebra e na matéria cálculo (matéria de ensino superior)

Exercícios resolvidos de fatoração

1. Fatore o número $14400$ ao máximo

Temos um número, então, podemos o decompor de várias maneiras, só que como o enunciado pede que fatoremos ao máximo, o único jeito de fazermos isso é o transformando em multiplicações de números primos. Primeiro, vamos reescrevê-lo como sendo $144$ vezes $100$

$14400 = 144.100$

Agora fatoramos ambos, o $144$ é a mesmo que $12.12$ e o $100$ é $10$ vezes $10$

$14400 = 12.12 . 10 . 10$

O $12$ pode ser reescrito como $3.4$ , e o $10$ como $5.2$

$12.12 . 10 . 10 = 4.3 . 4 . 3 . 2 . 5 . 2 . 5$

Por fim, ainda podemos fatorar o $4$ em $2.2$

$4.3 . 4 . 3 . 2 . 5 . 2 . 5 = 2.2 . 3 . 2 . 2 . 3 . 2 . 5 . 2 . 5$

Só temos fatores primos se multiplicando, então, fatoramos ao máximo o número $14400$

2. Fatore a expressão $3 𝑦 2 - 12 𝑦$

Podemos constatar que o fator $𝑦$ está presente em ambos os termos da expressão, então, podemos colocá-lo em evidência, no entanto, o $3$ também é um fator em comum

$3 𝑦 2 - 12 𝑦 = 3 . 𝑦 . 𝑦 - 4.3 . 𝑦 = 3 𝑦 (𝑦 - 4)$

3. Fatore a expressão $𝑦 2 - 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 - 6 𝑥$

Nesse caso, temos mais de um fator que pode ser posto em evidência, o $𝑦$ e o $- 3 𝑥$

$𝑦 2 - 3 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 - 6 𝑥 = 𝑦 . (𝑦 + 2) - 3 𝑥 . (𝑦 + 2)$

Surgiu um novo termo que podemos colocar em evidência

$𝑦 . (𝑦 + 2) - 3 𝑥 . (𝑦 + 2) = (𝑦 + 2) . (𝑦 - 3 𝑥)$

E fatoramos, pelo método do “agrupamento”.

4. Fatore a expressão $𝑥 2 𝑦 - 64 𝑧 2$

Bom, não temos fatores que se repetem, no entanto, temos dois termos se subtraindo, então podemos fatorar utilizando o método do “quadrado da diferença”.

1) $\sqrt 𝑥 2 𝑦 = 𝑥 \sqrt 𝑦$

2) $\sqrt 64 𝑧 2 = 8 𝑧$

Achadas as raízes, escrevemos na forma fatorada

$𝑥 2 𝑦 - 64 𝑧 2 = (𝑥 \sqrt 𝑦 + 8 𝑧) . (𝑥 \sqrt 𝑦 - 8 𝑧)$

5. Fatore a expressão $𝑥 2 - 2 𝑥 + 1$

Temos uma expressão de segundo grau no formato $𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐$ , podemos fatorar utilizando Bháskara ou verificamos se é um trinômio quadrado perfeito, resolverei de ambas as formas. Primeiro, irei tirar as raízes dos termos positivos

1) $\sqrt 𝑥 2 = 𝑥$

2) $\sqrt 1 = 1$

Agora multiplicamos as respostas entre si e por $- 2$

$- 2 . 𝑥 . 1 = - 2 𝑥$

Resultou no terceiro termo, então podemos escrever na forma $(𝑎 - 𝑏) 2$ , onde $𝑎$ é $𝑥$ e $𝑏$ é $1$

$(𝑥 - 1) 2$

Na matemática, independentemente do método que você utilize para achar determinado valor, os resultados devem ser o mesmo, portanto, irei resolver por Bháskara para ilustrar isso. Antes de tudo, vamos igualar a expressão à zero, transformando-a em uma equação de segundo grau, para aí sim identificarmos os coeficientes e substituirmos na fórmula de Bháskara

$𝑥 2 - 2 𝑥 + 1 = 0$

$𝑎 = 1, 𝑏 = - 2, 𝑐 = 1$

$𝑥 = - 𝑏 \pm \sqrt 𝑏 2 - 4 . 𝑎 . 𝑐 2 𝑎$

$𝑥 = - (- 2) \pm \sqrt (- 2) 2 - 4.1 . 1 2.1$

$𝑥 = 2 \pm \sqrt 0 2$

$𝑥 = 2 \pm 0 2$

$𝑥 = 22 = 1$

Escrevemos então na forma fatorada da equação de segundo grau

$1 . (𝑥 - 1) . (𝑥 - 1) = (𝑥 - 1) . (𝑥 - 1) = (𝑥 - 1) 2$

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN.

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