Neste artigo, explicarei o conceito de dízima, com foco em suas classificações como finitas ou infinitas. Irei abordar as condições que determinam a conversão de frações em dízimas finitas e a presença de dízimas infinitas periódicas, considerando a influência dos fatores primos dos denominadores. Além disso, discutiremos a relação entre frações decimais e suas representações no sistema decimal, incluindo curiosidades sobre números racionais e irracionais.
O que é uma dízima finita?
Também conhecida como decimal finito, é uma representação decimal que termina após um certo número de dígitos. Isso ocorre quando a divisão entre dois números resulta em um decimal exato. Por exemplo, $0,25$ é uma dízima finita, pois é a representação decimal da fração $\dfrac{1}{4}$, que possui um número finito de dígitos após a vírgula. Dízimas finitas ocorrem quando a fração pode ser simplificada para um denominador que possui apenas os fatores primos $2$ e/ou $5$, que são os fatores da base do sistema decimal.
O que é uma dízima infinita?
Diferentemente da dízima finita, é uma representação decimal que possui uma sequência de dígitos que se repete infinitamente. Isso acontece quando a divisão entre dois números não resulta em um decimal exato. Existem dois tipos de dízimas infinitas: periódicas e não periódicas. As dízimas periódicas têm uma sequência de dígitos que se repete indefinidamente, como em $0,666…$ (representação decimal de $\frac{2}{3}$). Caso uma fração tenha um denominador com pelo menos um fator primo diferente de $2$ e de $5$, ela não pode ser convertida em uma fração decimal e, consequentemente, se apresenta como uma dízima infinita periódica. Já as dízimas não periódicas, como a representação decimal do número π ($3,14159…$), não têm uma repetição regular de dígitos e são típicas dos números irracionais. Uma curiosidade interessante é que nenhuma dízima periódica possui um período (parte que se repete) igual à $9$.
Fração geratriz de uma dízima periódica
A fração geratriz de uma dízima periódica é a fração que, quando convertida em decimal, gera uma dízima periódica. A identificação da fração geratriz é um processo útil para transformar uma representação decimal periódica de volta à sua forma fracionária original, revelando a expressão exata do número.
Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.
