Produtos notáveis: Principais tipos e aplicações

Conceitos básicos da matemática
ExercíciosTeoria
22/08/2024
Daniel Duarte

Apesar de não serem muito convidativos, os produtos notáveis são muito úteis para realizar determinados cálculos mais rapidamente, além de ajudarem a entender os tipos de fatoração.

O que são produtos notáveis?

Resumidamente, são resultados de multiplicações entre dois polinômios, que pela grande quantidade de vezes que aparecem, foram dados nomes especiais a cada um deles. Eles servem para realizar as multiplicações de forma instantânea, sem precisar aplicar a propriedade distributiva.

Fórmulas e aplicações

Assim como todos os assuntos da matemática, somente com a realização de vários exercícios será possível aprender qual tipo de produto notável usar em determinada situação. Para facilitar o entendimento de termos que serão usados ao longo do artigo, é muito importante que tenhas conhecimento sobre as quatro operações básicas da matemática, exponenciação, expressões algébricas e polinômios. Vamos conhecer os cinco principais tipos de produtos notáveis.

Quadrado da soma e da diferença:

Quando tivermos dois termos (podendo ser números, letras ou ambos), se somando e toda essa soma estiver sendo elevada ao quadrado, poderemos expandir essa expressão da seguinte forma:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Ou seja, ao invés de termos que separar o binômio em dois fatores e aplicar a propriedade distributiva:

$(a + b)^{2} = (a + b) . (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2}$

Podemos escrever o resultado dessa multiplicação como sendo “o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o segundo termo ao quadrado”. Esse produto notável é chamado “quadrado da soma de dois termos”.

Exemplo 1:

Expanda a expressão $(x + 3)^{2}$

Primeiramente, vamos identificar quem são nossos termos, o primeiro termo é $x$ e o segundo termo é $3$ (poderia ser o contrário, fica a seu critério), então aplicamos o produto notável

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 2. x .3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

Caso queira conferir, podes transformar o binômio em uma multiplicação de dois fatores iguais e aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, caso você chegue na mesma expressão, então o produto notável foi aplicado corretamente

$(x + 3)^{2} = (x + 3) . (x + 3) = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$

Exemplo 2:

Expanda a expressão $(3 x^{2} + y^{3})^{2}$

Apesar de termos letras e números misturados, o processo será o mesmo, só que há algo importante a ser mencionado, o primeiro termo é todo o $3 x^{2}$ , não somente o $3$ e muito menos o $x^{2}$ , já o segundo termo é $y^{3}$

$(3 x^{2} + y^{3})^{2} = (3 x^{2})^{2} + 2.3 x^{2} . y^{3} + (y^{3})^{2}$

$9 x^{4} + 6 x^{2} y^{3} + y^{6}$

Muito parecido com o primeiro produto notável, quando tivermos dois termos, se subtraindo e tudo isso estiver sendo elevado ao quadrado, poderemos expandir essa expressão da seguinte forma:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

A única diferença é que agora multiplicamos os termos por $- 2$ , ao invés de $2$ : “o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o segundo termo ao quadrado”. Esse é o produto notável chamado “quadrado da diferença de dois termos”.

Exemplo 1:

Expanda a expressão $(y - 2)^{2}$

Nosso primeiro termo é o $y$ e o segundo termo é o $2$ , isso mesmo, o $2$ , não levamos em conta o seu sinal na hora de identificarmos os termos do produto notável. Então, é só expandirmos ele

$(y - 2)^{2} = y^{2} - 2. y .2 + 2^{2} = y^{2} - 4 y + 4$

Exemplo 2:

Expanda a expressão $(\sqrt{2 x} - \frac{5}{y})^{2}$

Temos uma fração, isso mudará algo? De forma alguma! Nosso primeiro termo será $\sqrt{2 x}$ e o segundo termo será toda a fração $\frac{5}{y}$

$(\sqrt{2 x} - \frac{5}{y})^{2} = (\sqrt{2 x})^{2} - 2. \sqrt{2 x} . \frac{5}{y} + (\frac{5}{y})^{2}$

$2 x - \frac{10 \sqrt{2 x}}{y} + \frac{25}{y^{2}}$

Uma dica para não errar a aplicação dos produtos notáveis, é identificar cada termo cuidadosamente e realizar o processo passo a passo, e não se preocupe, com a prática, você irá aplicar diretamente, sem os passos intermediários. A resposta desses dois produtos notáveis é chamada “trinômio quadrado perfeito”, essa informação será muito útil na hora de estudar um assunto chamado fatoração.

Cubo da soma e da diferença:

Digamos que os dois próximos produtos notáveis, são versões expandidas dos dois anteriores. Caso tenhamos dois termos se somando e tudo isso estiver sendo elevado ao cubo, podemos escrever a resposta diretamente, da seguinte maneira:

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

Esse produto é denominado “cubo da soma de dois termos”.

Exemplo:

Expanda a expressão $(x + 4)^{3}$

Temos dois termos se somando, elevados ao cubo, então podemos expandi-lo usando a propriedade acima

$(x + 4)^{3} = x^{3} + 3. x^{2} .4 + 3. x {.4}^{2} + 4^{3}$

$x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64$

E se tivermos dois termos se subtraindo e tudo isso estiver sendo elevado ao cubo? É possível expandir essa expressão e deixá-la assim:

$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Esse produto é carinhosamente apelidado de “cubo da diferença de dois termos”.

Exemplo:

Expanda a expressão $(z^{3} - 2)^{3}$

O primeiro termo é $z^{3}$ e o segundo termo é $2$ , como temos uma subtração, utilizaremos “o cubo da diferença de dois termos”

$(z^{3} - 2)^{3} = (z^{3})^{3} - 3. (z^{3})^{2} .2 + 3. z^{3} {.2}^{2} - 2^{3}$

$z^{9} - 6 z^{6} + 12 z^{3} - 8$

Produto da soma pela diferença:

O último dos principais produtos notáveis se aplica quando temos dois termos se somando vezes os mesmos termos se subtraindo, ou seja, temos um “produto de uma soma por uma diferença”, daí vem o nome desse produto notável. Podemos reescrever a expressão como sendo uma subtração de um termo ao quadrado menos o outro termo ao quadrado, em outras palavras, uma “diferença de dois quadrados” (termo que dá nome a um tipo de fatoração de polinômios):

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Exemplo 1:

Aplique o produto notável correspondente a expressão $(x + 5) (x - 5)$

Temos dois termos se somando multiplicando a subtração entre eles mesmos, portanto, temos um produto de uma soma por uma diferença, podemos reescrever como sendo o $x$ ao quadrado menos $5$ ao quadrado

$(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 5^{2} = x^{2} - 25$

Exemplo 2:

Aplique o produto notável correspondente a expressão $(y^{2} + 4 x) (y^{2} - 4 x)$

Dessa vez, os termos são $y^{2}$ e $4 x$ , não $- 4 x$ , lembre-se que o que importa são os termos, não o sinal deles. O processo será o mesmo que a questão anterior

$(y^{2} + 4 x) (y^{2} - 4 x) = (y^{2})^{2} - (4 x)^{2} = y^{4} - 16 x^{2}$

O quadrado da soma de três termos:

Raramente usado, mas em concursos militares e em algumas ocasiões pode ser necessária a utilização de um outro produto notável, que se chama “quadrado da soma de três termos”:

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$

Exemplo:

Expanda a expressão $(x + 3 y + 2)^{2}$

Temos três termos se somando e toda essa expressão está sendo elevada à $2$ , portanto, podemos aplicar o produto notável que acabamos de ver

$(x + 3 y + 2)^{2} = x^{2} + (3 y)^{2} + 2^{2} + 2. x .3 y + 2. x .2 + 2.3 y .2$

$x^{2} + 9 y^{2} + 4 + 6 x y + 4 x + 12 y$

Casos especiais de produtos notáveis:

Há dois produtos, que não são necessariamente considerados produtos notáveis, mas caso precise utilizar algum deles, irei mostrá-los:

1) $(a + b) . (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

2) $(a - b) . (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$

Mas fica o aviso, não se preocupe em aprender essas duas expressões, pois é mais fácil cair dois raios em um mesmo lugar, do que aparecer uma situação que você precise utilizá-las.

Exercícios resolvidos de produtos notáveis

1. Dada a expressão $x^{2} - y^{2}$ , qual dos produtos notáveis abaixo a originou?

a) $(x + y)^{2}$

b) $(x + y) (x - y)$

c) $(x + y)^{3}$

Podemos testar cada uma das opções, no entanto, como temos uma “diferença de dois quadrados”, podemos de cara, marcar a letra B, pois foi o produto da soma pela diferença entre $x$ e $y$ que resultou em $x^{2} - y^{2}$

$(x + y) (x - y) = x^{2} + x y - x y - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

2. Resolva a equação $(x + 2)^{2} - 1 = 0$

Essa equação tem um produto notável em um dos lados, então, para podermos isolar o $x$ , precisamos expandi-lo. Nesse caso, utilizaremos o “quadrado da diferença de dois termos”

$(x + 2)^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 4 - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 3 = 0$

Agora resolvemos a equação quadrática

$a = 1, b = 4, c = 3$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4. a . c}}{2 a}$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4.1 .3}}{2.1}$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

$x = \frac{- 4 \pm 2}{2}$

$x_{1} = \frac{- 4 + 2}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- 4 - 2}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Portanto, as respostas da equação são $x = - 1$ e $x = - 3$

3. Simplifique a expressão abaixo:

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 4}$

Uma das aplicações dos produtos notáveis é na simplificação de expressões algébricas, nesse caso, podemos utilizar o “quadrado da soma pela diferença”, para podermos simplificarmos numerador e denominador

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} = 1$

Importância de aprender produtos notáveis

Por mais que seja meio indigesto esse conteúdo, haverá situações em que expandir polinômios através dos produtos notáveis lhe poupará muitas linhas de cálculo e o que é mais precioso: o tempo. E para os universitários de plantão, saibam que em limites, esse conteúdo é bastante utilizado.

Daniel Duarte

Formado em Eletrotécnica pelo IFRN, além de ter cursos de Matemática Básica e Cálculo pela empresa Help Engenharia.

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