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Trigonometria no triângulo retângulo 1

1) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x

a)         b)  

02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do  mundo.

Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo?

(dados: sen 74º = 0,96¸  cos 74º = 0,28   e    tg74º = 3,4) 

a) 55 m      b) 15 m     c) 45 m     d) 42 m     e) 51 m

03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir  uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4Ö3 m e o vão entre elas é de 12 m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.

04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.

05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x                       

     

      AD = x      DC = x - 38      BD = y           

06) Com base na figura abaixo é correto afirmar:


      01. h = Ö2 m

02. h = Ö3 m

04. a = (1 + Ö3) m

08. O triângulo ACD é isósceles

16. O lado AC mede 6 m

07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento,  um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.

Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa?

(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)

08) Determine o valor de x e y na figura abaixo: 

     

09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

       
a)  b cos a        b) a cos a          c) a sen a      d) b tg a       e) b sen a

10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

  
       01. AC = 10 km

       02. AD = 2,5 km

       04. BC = 5Ö3 km

       08. O ângulo BÂD mede 60°

       16. A velocidade média do barco é de 15 km/h

11) (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = 9 cm, o segmento DF mede,  em cm:

   

      a) 5      b) 4      c) 8      d) 7      e) 6

12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos2α)x2 – (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

 

Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente:

a) p/8 e 3p/8     b) p/6 e p/3      c) p/4 e p/4       d) p/3 e p/6      e) 3p/8 e p/8

13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:

14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75o e o ângulo ACB mede 75o. Determine a largura do rio.

15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da figura. Conhecendo-se o  ângulo a, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é:

h = 12Ö3 cm y = 21 cm  a = 30°

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Trigonometria no triângulo retângulo 2

1. Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos agudos são A e B, a hipotenusa mede 5cm e sen B = 2sen A, encontre as medidas dos catetos.

2. Dado um triângulo ABC onde C = Ö2, o ângulo A = 60º e C= 45º. Calcule os lado a e b.

3. Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo de 60º por um observador com 1,80m de altura que se encontra a 10m do poste. 

4. Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira se eleva verticalmente de quanto?

5. Dados AB = 4 cm, BH = Ö12 cm e AC = (2Ö12)/3 cm, calcule a tangente do ângulo B e C.

   

6. Sabendo que AB = 3cm, ângulo A = 30º e B = 60º, determine h.

   

7. Seja um quadrado ABCD, cujo lado mede L e a diagonal d. Calcule o valor da diagonal por trigonometria.

8. Uma escada está encostada na parte superior de um prédio de 50m de altura, e forma com o solo um ângulo de 60º.

Determine o comprimento da escada.

9. Um navio encontra-se a 100 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do navio sob um ângulo de 30º e desprezando a altura do navio, calcule a altura do farol.

10. Para alcançarmos o 1º andar de um edifício, subimos uma rampa de 6 m que forma com o solo um ângulo de 45º. Qual é a altura desse 1º andar?

11. Calcule o valor de x e y em cada item.

                                    

12. Se a base de um triângulo isósceles mede 14 cm e seu lado mede 25 cm, quanto mede sua altura?

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Trigonometria num triângulo qualquer

01) Em cada figura abaixo, determine o valor do lado desconhecido:

a)     b) 

02) (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75Ö2 cm. A medida, em cm, do lado AB será:

     

03) Na figura, a medida do lado AC é 5Ö2 m. A medida, em cm, do lado AB será:

    

04) (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3Ö2 cm e 5 cm e formam um ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede:

a) 4     b) Ö11    c) 3       d) Ö13     e) 4Ö2

05) (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:

a) 5/6         b) 4/5          c) 3/4           d) 2/3          e) 1/8

06) O triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O e raio R. Dado que AC = 2Ö3 cm,  determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:

       

01. O triângulo ABC é eqüilátero

02. o raio da circunferência vale 2cm

04. = 2Ö2 cm

08. O comprimento da circunferência é 4p cm

07) (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:

a)   1/2        b) 2/3       c) 3/4       d) 4/5       e) 5/6

08) (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BÂC mede:

a)   15°      b) 30°      c) 36°      d) 45°      e) 60°

09) (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e mede o ângulo LÂC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC = 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B?

a)   2Ö2      b) Ö3       c) 2Ö3      d) 3Ö2       e) 4Ö2

10) (UFPR) Num triângulo ABC, o ângulo A = 30° é oposto ao lado a = 15cm. Sabendo que sen B + sen C = 4/3, calcular, em cm, o perímetro do triângulo.

11) (FUVEST) ABC é um triângulo equilátero de lado 4; AM = MC = 2, AP = 3 e PB = 1.

O perímetro do triângulo APM é:


a) 5 + Ö7       b) 5 + Ö10      c)   5 + Ö19          d)  5 +       e)   5 +

 

12) (VUNESP-SP) Os lados de um triângulo medem 2Ö3, Ö6 e 3 + Ö3. Determine o ângulo oposto ao lado que mede Ö6.

a)    30°      b) 45°      c) 60°      d) 90°      e) 120°

13) (FUVEST-SP) Os lados de um triângulo medem Ö5, Ö10 e 5. Calcule:

a)  a medida da projeção do lado menor sobre o lado maior;

b)  o comprimento da altura relativa ao lado maior.

14) Num triângulo ABC, AB = 5 cm, AC = 7 cm e BC = 6 cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.

15) (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, A C = 60° e ABC = 90°.

     

O perímetro do quadrilátero, em cm, é:

a)  11        b) 12       c) 13       d) 14       e) 15

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lista de exercícios

1)   Dados o comprimento  l  do arco AB e o raio da circunferência; calcule a medida do arco em radianos.

a) l = 0,5m e r = 0,25m                               R: 2 rd

b) l = 2 cm e r = 0,04 m                              R:  0,5 rd

c) l = 6 cm e r = 2 cm                                 R:  3 rd

d) l = 0,105 cm e r = 042 cm                       R: 0,25 rd

e) l = p cm e r = 1 cm                                 R: p rd

 f) l = 30 cm e r = 120mm                            R: 2,5 rd 

2)   Determine em cada caso, o raio da circunferência  em que o arco tem medida  m (rd)  e medida  l (cm).     

a) m = 6 rd  e  l = 2 cm                                R: 1/ 3  cm

b) m = p rd  e  l = 3,14 cm                           R: 3,14 / p cm

c) m = 5,4 rd  e  l = 8,1 cm                          R: 1,5 cm

d) m = 5p / 6 rd  e  l = 1 cm                         R: 0,38 cm 

3) Converta em radianos: 

a) 45º                                                         R:  p / 4

b) 120º                                                       R: 2p / 3

c) 210º                                                       R: 7p / 6

d) 15°                                                         R: p / 12

e) 150º                                                       R: 5p / 6

f) 315º                                                        R: 7p / 4

g) 330º                                                       R: 11p / 6

h) 310º                                                       R: 31p / 18

4) Converta em graus:

a) 4p / 3                                                     R: 240

b) p / 8                                                       R: 22,5º

c) 5p / 3                                                     R: 300º

d) 7p / 6                                                     R: 210º

e) 4p / 6                                                     R: 120º

f) p / 12                                                      R: 15º

g) 7p / 8                                                     R: 157,5º

h) 3p / 4                                                     R: 135º

5) Qual a medida em graus de um arco de 1 rd, considerando p = 3,14?

R: 57,32 graus

6) Determine o valor do seno, cosseno e tangente de cada arco:

a) 135°                                                       R: s = Ö2 / 2, c = - Ö2 /2, t = -1

b) 5p / 4                                                     R: s = - Ö2 / 2, c = -Ö2 /2 , t = 1

c) 5p                                                          R: s = 0, c = -1 , t = 0

d) 300º                                                       R: s = - Ö3 / 2, c = 1/2, t = -Ö3

e) 315º                                                        R: s = - Ö2 / 2,  c = Ö2/2, t = -1

f) 4080º                                                       R: s = Ö3 / 2, c = -1/2, t = -Ö3

g) 13p / 6                                                    R: s = 1 / 2, c = Ö3/2, t = Ö3/3

7) Calcule o valor de  n  em cada caso:

a) n =  4. sen p/6 + 2. sen p/2 - 3. sen 5p/3                             R: (8 + 3Ö3)/2

b) n = (sen p/6 + sen p/3) / (sen p - sen p/4)                            R: - (Ö2 +Ö6)/2

c) n = [sen 1080º + sen (-315º)] / (sen 405º - sen 11p)               R: 1

d) n = 3.cos p/3  - 4.cos p/2  -  6.cos 7p/6                                R: (3 + 6Ö3)/2

e) n = (cos p/4  + cos p/3) / (1+ cos 2p)                                   R: (Ö2 + 1)/4

f)  n = 4.tg p/4  -  2.tg 5p/3  +  3.tg 11p/6                                  R: 4 - Ö3

g) n = (tg 3p/4  -  tg p/6) / (1 + tg 5p/3)                                     R:   (3 + 2Ö3)/3

h) n = (tg 4p  - tg 11p/6) / (2 - tg 7p/4)                                      R: Ö3 / 9 

8) Verdadeiro ou  Falso:

a) sen 45º = sen 225º                                                R: F

b) sen 45º = sen 135º                                                R: V

c) sen p/3 = - sen (-p/3)                                             R: V

d) sen (2p - x ) = sen x                                              R: F

e) sen(p + a) = - sen a                                               R: V

f) cos 30º = cos 150º                                                 R: F

g) cos p/6 = cos (2p - p/6)                                         R: V

h) cos 150º = sen 150º                                              R: F

i)  cos 11p/4 = sen 11p/4                                           R: F

j)  sen 70º = cos 20º                                                  R: V

k) tg 30º = tg 210º                                                     R: V

l)  tg (-60º) = - tg 60º                                                  R: V

m) tg 11p/6 = - tg p/6                                                 R: V

n) tg (2p - x) = tg x                                                     R: F

o) tg (p + x) = tg x                                                      R: V

p) tg (p - x) = - tg x                                                     R: V

q) tg (2p + x) = tg x                                                    R: V

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lista de exercícios

EQUAÇÕES  TRIGONOMÉTRICAS:

Dê o conjunto solução em  0 £ x < 2p:

SENO

9) sen x = - 1/2                                                                S = { 7p/6 , 11p/6 }

10) sen x = 2                                                                   S = {  }

11) 2 sen2x + sen x = 1                                                   S = {3p/2 , p/6 , 5p/6 }

12) 2 sen2x - sen x = 0                                                    S = { 0 , p , p/6 , 5p/6 }

13) 2 sen2x = Ö3 sen x                                                    S = { 0 , p , p/3 , 2p/3 }

14) Ö2 sen2x = sen x                                                       S = { 0 , p , p/4 , 3p/4 }

15) sen2x = 1/2 . sen x                                                    S = { 0 , p/6 , 5p/6 , p }

16)  sen x = 1/2                                                               S = { p/6 , 5p/6 }

17) sen x = Ö3/2                                                              S = { p/3 , 2p/3 }

18) 2sen2x - 3sen x + 1 = 0                                             S = { p/2 , p/6 , 5p/6 }

19) sen2x – 2 sen x + 1 = 0                                             S = { p / 2 }

20) 2 sen2x – 1 = 0                                                         S = [ p / 4 , 3p/ 4 , 5p/ 4 , 7p/ 4}

21) sen ( 3x  -   p / 6) = 0                                                S = { p/ 18 ,  7p/ 18 }

COSSENO

22) cos2x - 2 cos x = 0                                                     S = { p/2 , 3p/2 }

23) - 1/2 + cos2x = 0                                                         S = { p/4 , 3p/4 , 5p/4 , 7p/4 }

24) 2 cos2x - cos x = 0                                                     S = { p/2 , 3p/2 , p/3 , 5p/3 }

25) 4 cos2x - 2 = 0                                                           S = { p/4 , 7p/4 , 3p/4 , 5p/4 }

26) cos x = -1                                                                   S = { p }

27) cos2x = 1                                                                    S = { 0 , p }

28) 1 - 2cos x = 0                                                             S = { p/3 , 5p/3 }

29) 2 cos2x + cos x - 1 = 0                                               S = { p , p/3 , 5p/3 }

30) 2 cos2x - cos x - 1 = 0                                                S = { 0 , 2p/3 , 4p/3 }

31) cos2x - 4 cos x + 3 = 0                                               S = { 0 }

TANGENTE

32) tg2x = 1                                                                      S = { p/4 , 3p/4 , 5p/4 , 7p/4 }

33) 3tg x + 3Ö3 = 0                                                          S = { 2p/3 , 5p/3 }

34) tg2x + (1 - Ö3).tg x - Ö3 = 0 (1 - Ö3 = a, -Ö3 = a – 1, y = -1 ou Ö3)  S = {3p/4 , 7p/4 , p/3 , 4p/3}

35) tg x + 1 / tg x = 2                                                       S = { p/4 , 5p/4 }

36) tg x = Ö3/3                                                                 S = { p/6 , 7p/6 }

37) tg x = Ö3                                                                    S = { p/3 ,4p/3 }

38) tg x = -Ö3/3                                                                S = { 5p/6 , 11p/6 }

39) tg x = - Ö3                                                                  S = { 2p/3 , 5p/3 }

40) 4 tg2x -12 = 0                                                             S = { p/3 , 2p/3 , 4p/3 , 5p/3 }

41)  tg x = Ö3/3                                                                S = { p/6 , 7p/6 }

42) tg2x + tg x = 0                                                            S = { o , p , 3p/4 , 7p/4 }

43) 1 / tg x = - Ö3                                                             S = { 5p/6 , 11p/6 }

44) tg2x - Ö3.tg x = 0                                                        S = { 0 , p/3 , p , 4p/3 }

45) tg2x  = tg x                             &

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lista de exercícios

RELAÇÕES  DECORRENTES:

Simplifique cada uma das expressões:

67) (1 - sen2 x) / cós x                                    R: cos x

68) (cos2 x  - 1) / cotg x                                  R: (- sen3 x) / cos x

69) (sec2 x  - 1) . cotg x                                  R: tg x

70) (1 + tg2) / sec x                                         R: sec x

71) (sen x + tg x) / (cos x + 1)                        R: tg x

72) (sen x - 2 sen3 x)/(2.cos3 x - cos x (lembre-se: cos2x = 2cos2x –1 ou 1 – 2 sen2x)    R : tg x

73) (senx + cos x)/(sec x  + cossec x)            R: sen x . cos x

Verifique as Identidades:

74)  sen x . cos x . sec x . cossec x  =  1

75) tg x + cotg x  =  sec x . cossec x

76) cos x + tg x . sen x  = sec x

77) (tg x - cotg x)/( tg x + cotg x) =  2 sen2 x - 1

78) (1 - cos x) / sen x = sen x / (1 + cos x)

79)  cotg x + tg x  = cotg x . sec2 x

 

ADIÇÃO  E  SUBTRAÇÃO  DE  ARCOS

Calcule o valor:

80) cos 105º                                                                                           R: (Ö2 - Ö6)/4

81) sen 285º    (-sen75; 150+135; 225+60; 270+15; 360-75; 315-30)   R: (-Ö6 - Ö2)/4

82) tg 345º   (-tg15; tg165;  120+45)                                                      R: Ö3 - 2

83) cos 255º   ( -cos 75; 120 +135)                                                        R: (Ö2 - Ö6)/4

84) cos 75º                                                                                             R: (Ö6 - Ö2)/4              

85) cos 15º                                                                                             R: (Ö6 + Ö2)/4

80) sen 75º                                                                                             R: (Ö6 + Ö2)/4

86) sen 15º                                                                                             R: (Ö6 - Ö2)/4

87) tg 75º                                                                                                R: 2 + Ö3

88) tg 15º                                                                                                R: 2 - Ö3   

Sendo  sen x = 4/ 5   e cos y = 12/13 ,   em  0 £  x £  p/2 e  0 £ y £ p/2,  determine:    

89)  sen ( x + y )                                                              R: 63/ 65      cosx= 3/5

90) sen ( x - y )                                                                R: 33/65       seny = 5/13

91) cos ( x + y )                                                               R: 16/65       tgx = 4/3

92) cos ( x - y )                                                                R:  56/65      tgy = 5/12

93) tg ( x + y )                                                                  R:  63/16

94) tg ( x - y )                                                                   R:  33/56

Simplifique as expressões:

95) sen (x + y) + sen (x - y)                                             R: 2.sen x . cos y

96) sen (x - y) . cos y  + cos (x - y) . sen y                      R:  sen x

97) cos (x + y) . cos y  +  sen (x + y) . sen y                   R: cos x

98) cos (x + y) + cos (x - y)                                             R: 2. cos x . cos y

 

ARCOS DUPLOS

Em cada caso, determine os valores  de sen 2x, cos 2x, tg 2x  e o quadrante  ao   qual pertence  a extremidade do arco 2x:

99) sen x = 4/5 e  x Î 1º Quad.                        R: s = 24/25, c = -7/25, t = -24/7; 2x Î 2º Q

100) sen x = 5/13  e x Î 1º Q                           R: s = 120/169, c = 119/169,  t = 120/119; 2x Î 1º Q

101) cos x = - 4/5  e x e 3º Q                            R: s = 24/25, c = 7/25, t = 24/7;  2x Î 1º Q

102) cos x = - 3/5  e x Î 2º Q                           R: s = -24/25, c = -7/25, t = 24/7;  2x Î 3º Q

103) tg x = 4/3  e x Î 3º Q    senx=-4/5            R: s = 24/25, c = -7/25, t = -24/7; 2x Î 2º Q

                                             cosx= -3/5

104) tg x =  -3/4  e x Î 4º Q                             R: s = -24/25, c = 7/25, t = -24/7; 2x Î 4º Q

105) Sabendo  que sen x = 3/5, cos y = -5/13 e que  x  e  y  tem extremidades no 2º quadrante, determine o valor de  sen ( 2x + 2y ) .

         R : 2016 / 4225     cosx= -4/5 e seny = 12/13   sen2x= -24/25; sen2y = -120/169; cos2x = 7/25; cos2y = -119/169

                                       Sen2x = 2senx.cosx ; cos 2x= cos2x – sen2x    ( 25.169=4225 e 24.(-119)= -2856)

106) Sabendo que  cos x = -3/5 e que sen x  < 0, determine o valor de  tg ( 3p/4  + 2x ).

         R : 31 / 17       senx = -4/5  ; tgx = 4/3 ;   tg 2x= -24/7

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