»

Guia de estudos para o vestibular 2010: 10 temas essenciais em matemática

Raciocínio e interpretação de texto são habilidades fundamentais até mesmo na prova de matemática. "É comum cair nos exames problemas que exigem do candidato apenas a capacidade de transformar em linguagem matemática o que está descrito no enunciado".

Questões envolvendo situações do cotidiano também aparecem sempre nos grandes vestibulares. "Essa é a tendência da matemática: mostrar a aplicação em problemas práticos".

O MATEMATIQUÊS sintetiza pra você os assuntos mais recorrentes nos grandes processos seletivos:

1) Função: "Todo ano a Fuvest traz um gráfico de função do segundo grau", diz Corrêa. "É importante que o aluno saiba obter os zeros da função e o valor máximo ou o valor mínimo dela", explica Jamal.

2) Porcentagem: "É comum cair problemas envolvendo situações práticas para o aluno fazer cálculos de porcentagem. Isso pode aparecer associado a equações de primeiro grau", diz Jamal. Corrêa explica que para resolver esse tipo de problema é preciso apenas entender o conceito básico de porcentagem e prestar a atenção na interpretação de texto.

3) Logaritmo: esse tópico costuma aparecer em problemas envolvendo, por exemplo, cálculo populacional. "No enunciado costuma ser dado o log do número em questão", diz. A dica ao vestibulando é entender a definição e as propriedades de logaritmo.

4) Triângulos: "Situações que pedem o cálculo de um determinado comprimento, como a largura de um rio, por exemplo, aparecem para serem resolvidas através de semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras ou teorema dos cossenos", explica Jamal.

5) PA e PG: Seqüências numérica foi um ponto que esteve presente nos últimos quatro anos no vestibular da Fuvest, conta o professor Corrêa. É importante saber a soma dos termos de uma progressão aritmética e dos infinitos termos de uma progressão geométrica.

6) Cálculo de área: problemas de geometria plana que envolvem cálculo de área das figuras são comuns. Mais uma vez, os especialistas apontam a preferência pelo triângulo: "quando se conhece dois lados de um triângulo e o ângulo formado entre eles, o melhor jeito de resolver é através da fórmula: ½.bc.sen A (multiplicação dos dois lados conhecidos pelo seno do ângulo, divididos por dois)", indica Jamal.

7) Sólidos geométricos: "Paralelepípedo e cilindro costumam cair nas provas", diz Jamal. A dica do professor para o candidato é estudar a relação das dimensões da figura geométrica com as raízes de uma equação polinomial. Corrêa acredita que o vestibulando deva ficar de olho também nos prismas e pirâmides.

8) Análise combinatória e probabilidade: "Esse é um assunto meio ingrato, mas costuma aparecer nos exames", diz Corrêa. Para Jamal, a dica é focar no princípio fundamental de contagem, problemas de combinação e no produto das probabilidades de dois eventos independentes.

9) Lei dos senos e lei dos cossenos: "O importante aqui é saber as fórmulas [dos senos e dos cossenos] e suas devidas aplicações", diz Corrêa.

10) Retas e circunferências: "Ênfase na tangência da reta com a circunferência, em que se usa a fórmula da distância de ponto a reta", diz Jamal.

» Leia mais e Envie seus comentários


o Matematiquês: a linguagem Matemática

1) Passe para a linguagem algébrica das palavras:

a) 4 subtraído do quíntuplo de um número.

b) A terça parte de um número.

c) João andou, hoje, 5 km a mais do que o seu habitual.

d) A idade de Roberto é o sêxtuplo da de Marcos acrescido de 3.

e) O sucessor de um número.

 

2) Represente na linguagem figurada:

a) Um número mais três.

b) Um número menos quatro.

c) O antecessor de um número.

d) O consecutivo par de um número (também par).

e) Três números consecutivos.

f) A minha idade, há seis anos.

 

3) Represente com a simbologia de Viète:

a) Um número acrescido de cinco.

b) A quinta parte de um número.

c) O dobro do cubo de um número.

d) O quadrado de um número somado ao seu triplo.

 

4) Passe para a linguagem simbólica:

a) Um número que pertence ao conjunto dos números naturais tal que é maior que 9 e menor ou igual a 11.

b) Um número que pertence ao conjunto dos números inteiros tal que é maior que ­5 e menor que 1.

c) Um número que pertence ao conjunto dos números racionais tal que é maior que ­1 e menor ou igual a 5.

d) Um número que pertence ao conjunto dos números reais tal que é maior ou igual a ­9 e menor ou igual a 0,3.

e) As idades de João, Cláudia e Rogério estão na seguinte ordem: João é nove vezes mais velho que Rogério; e Cláudia tem um ano a menos que João; indique a soma de suas idades.

f) Eugênio precisa cortar um sarrafo em três pedaços de forma que o segundo seja o dobro do primeiro e o terceiro tenha 20 cm há mais que o segundo; escreva o comprimento do sarrafo.

g) Escreva a soma de três números consecutivos.

h) As idades de Isabel, Wagner e Gil são números ímpares consecutivos. Escreva a soma do dobro da idade de  Wagner com o triplo da idade de Gil da qual é subtraído o quádruplo da idade de Isabel.

» Leia mais e Envie seus comentários


o Matematiquês: a linguagem matemática

1) Passe para a linguagem algébrica das palavras:

a) 4 subtraído do quíntuplo de um número.

b) A terça parte de um número.

c) João andou, hoje, 5 km a mais do que o seu habitual.

d) A idade de Roberto é o sêxtuplo da de Marcos acrescido de 3.

e) O sucessor de um número.

 

2) Represente na linguagem figurada:

a) Um número mais três.

b) Um número menos quatro.

c) O antecessor de um número.

d) O consecutivo par de um número (também par).

e) Três números consecutivos.

f) A minha idade, há seis anos.

 

3) Represente com a simbologia de Viète:

a) Um número acrescido de cinco.

b) A quinta parte de um número.

c) O dobro do cubo de um número.

d) O quadrado de um número somado ao seu triplo.

 

4) Passe para a linguagem simbólica:

a) Um número que pertence ao conjunto dos números naturais tal que é maior que 9 e menor ou igual a 11.

b) Um número que pertence ao conjunto dos números inteiros tal que é maior que ­5 e menor que 1.

c) Um número que pertence ao conjunto dos números racionais tal que é maior que ­1 e menor ou igual a 5.

d) Um número que pertence ao conjunto dos números reais tal que é maior ou igual a ­9 e menor ou igual a 0,3.

e) As idades de João, Cláudia e Rogério estão na seguinte ordem: João é nove vezes mais velho que Rogério; e Cláudia tem um ano a menos que João; indique a soma de suas idades.

f) Eugênio precisa cortar um sarrafo em três pedaços de forma que o segundo seja o dobro do primeiro e o terceiro tenha 20 cm há mais que o segundo; escreva o comprimento do sarrafo.

g) Escreva a soma de três números consecutivos.

h) As idades de Isabel, Wagner e Gil são números ímpares consecutivos. Escreva a soma do dobro da idade de  Wagner com o triplo da idade de Gil da qual é subtraído o quádruplo da idade de Isabel.

» Leia mais e Envie seus comentários


Exercícios de permutações simples

1.       Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.

2.       De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?

3.       De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?

4.       Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?

5.       Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.

6.       Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.

7.       Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?

8.       Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?

9.       Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?

10.   Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?

11.   Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por ABC?

12.   Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma das letras A, B ou C?

13.   Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando pelas três letras do grupo ABC?

14.   Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma vogal e terminando por uma consoante?

15.   Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?

» Leia mais e Envie seus comentários


Exercícios de permutações com repetição

16.   Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA?

17.   Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES?

18.   Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U?

19.   Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES terminando por S?

20.   Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U e terminando por S?

21.   Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA?

22.   Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMAR?

23.   Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra ARARUNA?

24.   O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é indicado por 3141592653. Quantas são as permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos

25.   Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?

» Leia mais e Envie seus comentários


Exercícios de permutações circulares

26.   De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?

27.   De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?

» Leia mais e Envie seus comentários


Exercícios de combinações simples

28.   Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?

29.   Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?

30.   Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?

31.   Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?

Conceito: Combinação

32.   Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?

33.   Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?

34.   Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?

35.   Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?

36.   Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?

37.   Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

38.   Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).

39.   Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?

40.   Quantos quadriláteros convexos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?

41.   Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar:

a.   com 4 homens e 2 mulheres?

b.   contendo H mas não M?

c.   contendo M mas não H?

d.   contendo H e M?

e.   contendo somente H ou somente M?

42.   Quantos números diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construídos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:

a.   que cada algarismo aparece somente uma vez?

b.   que cada algarismo pode repetir até 3 vezes?

c.   os números pares sem repetição?

d.   os números ímpares sem repetição?

e.   os números pares com repetição?

f.     os números ímpares com repetição?

43.   Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?

44.   Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 1 professor?

45.   Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 2 professores?

46.   Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 2 professores?

47.   Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 3 professores?

48.   Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?

49.   Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?

50.   Quatro pontos são postos num plano, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de triângulos construídos com esses pontos?

51.   Qual é o número de diagonais de um polígono regular de n lados?

52.   Qual é o número de diagonais de um cubo?

53.   Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados?

54.   Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados?

55.   Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados?

56.   Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que contém todas as combinações tomadas 2 a 2.

57.   Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o número das permutações possíveis que começam por ABC.

58.   Quantas digonais possui um dodecágono?

59.   Quantas digonais possui o tetraedro regular?

60.   Quantas digonais possui um prisma triangular regular?

» Leia mais e Envie seus comentários


Exercícios de combinações com repetição

61.   Determinar o número de combinações com 4 elementos tomados com repetição de 7 livros.

62.   Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 2 a 2.

» Leia mais e Envie seus comentários


Exercícios de arranjos simples

63.   Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

64.   Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

65.   Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

66.   Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

67.   Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

68.   No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?

69.   Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.

70.   Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?

71.   Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?

72.   Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?

73.   Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?

74.   Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas.

a.   Quantos pares distintos podem ser formados?

b.   Quantas trincas distintas podem ser formados?

c.   Quantas quadras distintas podem ser formados?

d.   Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"?

e.   Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um "Rei"?

f.     Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"?

g.   Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um "Rei"?

» Leia mais e Envie seus comentários


um pouco de teoria

Introdução: Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, como a e b reais (a ≠ 0). Exemplos:

2x – 7 ≥0                      (3x/5) – 7/2 < 0             2x – 1/2 ≤ 0

 

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis

Método prático

·     Substituímos a desigualdade por uma igualdade.

·     Traçamos a reta no plano cartesiano.

·     Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial.

Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.

Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

·     Represente graficamente a inequação 2x + y   4 

Tabela

x

y

(x, y)

0

4

(0, 4)

2

0

(2, 0)

 

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação  2x + y   4

Verificamos:

2.0 + 0 ≤ 4

0 ≤ 4 (afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)

A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

» Leia mais e Envie seus comentários


exercícios de fixação

1) Resolva as equações:

a) 4x + 8 = 3x - 5

b) 3a - 4 = a + 1

c) 9y - 11 = - 2

d) 5x - 1 = 8x + 5

 

2) Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x - 1

 

3) Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2x - 3 = 16

 

4) Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova?

 

5) Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?

 

6) Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?

 

7) Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?

 

8) Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?

 

9) Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?

 

10) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

    

11) Resolva as equações a seguir:

a) 18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

 

12) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

     

13) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x ¹ 0)            b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

» Leia mais e Envie seus comentários


exercícios de fixação

1) Deseja-se construir um reservatório de água na forma de uma semi-esfera, em um terreno de dimensões 30 m por 40 m. O reservatório deverá ocupar 30% da área deste terreno. Calcule o volume de água em litros que poderão ser armazenados neste reservatório.

 

2) Calcule o volume de uma esfera inscrita em um cubo de área lateral igual a 64 m².

 

3) Encontre a relação entre o raio de uma esfera e a altura de um cilindro eqüilátero sabendo  que a área total do cilindro é igual à da esfera.

 

4) Calcular a área de uma esfera sabendo que o perímetro do hexágono regular inscrito em um de seus círculos máximos mede 30 cm.

 

5) Calcular o volume de uma esfera circunscrita a um cone eqüilátero cuja altura mede 16 dm.

 

6) Um cilindro circular reto tem sua superfície total equivalente à superfície lateral de um prisma oblíquo cuja secção reta é um pentágono regular de lado igual a 3 m e a aresta lateral, 4p/3 m. Sabe-se que o perímetro da secção meridiana do cilindro vale 14 m. Qual o raio da base do cilindro?

      

7) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x>y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos.

  

8) Uma esfera de raio 10 cm é interceptada por um plano que dista 6cm de seu centro. Qual o comprimento da circunferência gerada pela interseção?

 

9) Uma laranja de 12 gomos iguais assemelha-se a uma esfera de raio R. Qual a área da superfície total de cada gomo?

 

10) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r.

 

11) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível. Calcule a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas.

 

12) Determine a razão entre os volume de uma esfera de raio R e o de um cubo nela inscrito.

» Leia mais e Envie seus comentários


circunferência

1. Em relação à circunferência x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0, e à parábola y = –x2 + 6x – 8, assinale o que for correto:

1-

A reta que passa pelo centro da circunferência e pelo vértice da parábola tem equação 3x – 2y – 7 = 0.  x

2 -

A parábola e a circunferência não se interceptam.

4-

A parábola passa pelo centro da circunferência.

8 -

A circunferência é tangente ao eixo x.  x

16-

A circunferência intercepta o eixo y em dois pontos distintos.  x

2. Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, a equação de uma circunferência C é x2 + y2 – 2y – 7 = 0. Sabe-se que as retas r e s são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto (2, 3), e que r contém o centro da circunferência C. Assim, é correto afirmar:

A)

O ponto (2, 3) pertence à circunferência C.  x

B)

A reta s é tangente à circunferência C.  x

C)

A circunferência C intercepta o eixo y nos pontos de ordenadas 1 + 2 √2 e 1 - 2 √2 .  x

D)

A reta s tem coeficiente angular menor que –1.

E)

A reta t, paralela à reta s e que passa pela origem do sistema de coordenadas, não intercepta a circunferência C.

3. O ponto A(–4, 3) é equidistante dos pontos P(–10, 1) e Q(x, y). Nessas condições, pode-se afirmar que Q está sobre a circunferência de equação:

A)

(x + 4)² + (y – 3)² = 40  x

B)

(x – 4)² + (y + 3)² = 40

C)

(x + 4)² + (y – 3)² = 2 √10

D)

(x – 4)² + (y + 3)² = 2 √10

E)

(x + 4)² + (y – 3)² = 32

4. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere as circunferências dadas pelas equações

(6x – 25)² + 36y² = 25²

64x² + (8y – 25)² = 25²

A equação da reta determinada pelos centros dessas circunferências é:

A)

25x + 25y = 25²

B)

64x + 36y = 25²

C)

36x + 64y = 25²

D)

8x + 6y = 25

E)

6x + 8y = 25   x

5. Considere a circunferência C: (x – 4)² + (y – 3)²= 16 e a reta r: 4x + 3y – 10 = 0. Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s):

1-

.r ∩ C = Ø

2-

O centro de C é o ponto (3,4).

4-

A circunferência C intercepta o eixo das abscissas em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto.  x

8-

A distância da reta r ao centro de C é menor do que 4.  x

16-

A função y dada pela equação da reta r é decrescente.  x

6. Em relação à circunferência (A) x² + y² – 10x – 10y + 25 = 0, assinale o que for correto:

1-

A soma das coordenadas dos pontos onde (A) tangencia os eixos coordenados é igual a 10.  x

2-

A reta suporte do diâmetro da circunferência (A), que é perpendicular à reta y = x, tem equação x + y – 10 = 0. x

4-

A área do triângulo cujos vértices são os pontos de interseção de (A) com os eixos coordenados e o centro da circunferência é 25 u.a.

8-

O ponto de ordenada máxima da circunferência (A) é (5, 10).  x

16-

A área da região plana compreendida entre a circunferência (A) pe a circunferência (B) (x – 5)² + (y – 5)² = 4 é 21 u.a.  x

7. Considere as seguintes informações: C é uma circunferência de raio igual a 1 e centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares; um ponto estará no interior da circunferência C se a distância do ponto à origem do sistema for menor do que 1. Assim, é correto afirmar:

1-

A equação da circunferência C é x² + y² + 1 = 0.

2-

O ponto P(cos a , sen a) pertence à circunferência C, qualquer que seja o número real a.  x

4-

A reta y = x + 1 intercepta a circunferência C em dois pontos.  x

8-

A reta y + 1 = 0 é tangente à circunferência C.  x

16-

O ponto (1, 1) está no interior da circunferência C.

32-

O gráfico da função y = sen 2x intercepta o eixo x apenas uma vez no interior da circunferência C.  x

8. A circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A(0, 0), B(6, 0) e C(0, 8) tem uma equação na forma x² + y² + ax + by + c = 0. Nessas condições, a + b + c é igual a:

A)

-14  x

B)

-8

C)

2

D)

6

E)

8

9. Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada pela equação x² + y² – 4x – 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é:

A)

x – 2y + 3 = 0

B)

x + 2y – 5 = 0  x

C)

» Leia mais e Envie seus comentários

exercícios de fixação

01)  Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio?

 

02)  Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica.

 

03)  Tomando o raio da Terra 6400 km, calcule a área do “Globo” terrestre, em km2.

 

04)  Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera.

 

05)  Calcule o volume de uma esfera de 100p cm2 de área.

 

06)  Determine a área de uma esfera, sendo 2304p cm3 o seu volume.

 

07)  Uma esfera tem 25p cm2 de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio para que a área passe a ser 64p cm2?

 

08)  Qual é a área total e o volume de um recipiente semi-esférico de raio 3 cm?

09)  Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 324p cm2.

 

10)  Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144p cm2.

 

11)  Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1 cm?

 

12)  Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 cm e 2 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro cuja altura mede 3 cm. Obtenha a medida do raio da base do cilindro.

 

13)  Determinar o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo de 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.

 

14)  O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo de raio 45 cm. Determinar a distância do plano ao centro da esfera.

 

15)  Determinar o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de uma esfera de raio r.

 

16)  Determine o raio de uma esfera de superfície 36p cm2.

 

17)  Determinar a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 cm e 3 cm.

 

18)  Calcular a área de uma secção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37 cm de raio.

 

19)  Calcular a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro da esfera sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela secção plana, e que o raio da esfera mede 17 cm.

 

20)  O raio de uma esfera mede 41 cm. Determinar a razão entre as áreas das secções obtidas por dois planos, sendo de 40 cm e 16 cm a distâncias respectivas desses planos ao centro da esfera.

 

21)  Determinar a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.

 

22)  Calcular a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34 cm de diâmetro.

 

23)  Determinar o raio de uma esfera sendo 288p cm3 o seu volume.

 

24)  Determinar a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 1/5 do raio de outra esfera cujo volume é 4500p cm3.

 

25)  Determinar a medida do raio de um círculo máximo de uma esfera sabendo que o raio de um círculo menor desta mesma esfera mede 12 cm e que a distância polar deste círculo menor mede 15 cm.

 

26)  Determinar a medida do raio de uma esfera sabendo que o raio de um círculo menor mede 5 cm e que sua distância polar mede 13 cm.

 

27)  Uma bola de ouro de raio r se funde transformando-se em um cilindro de raio r. Determinar a altura do cilindro.

 

28)  Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 cm de diâmetro. Determinar a área lateral do cone sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes.

 

29)  Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual a superfície de uma esfera de raio 6 cm. Determinar a relação entre os volumes do sólido e da esfera.

 

30)  Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcular a área da secção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera.

 

31)  Determinar o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 cm de diâmetro.

 

32)  Sabendo que o diâmetro de uma esfera é 3/5 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão entre as áreas dessas duas esferas.

 

33)  O que ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de seu raio? E quando triplicamos a medida do seu raio?



Regras de Derivação

A derivada pode ser interpretada Geométrica- mente como a inclinação de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variação. Como derivadas podem ser usadas para representar  tudo, desde a variação de taxas de juros até taxas em que peixes morrem e moléculas de gás se movimentam, elas têm implicações em todas as ciências.

 

Definição de derivada:

f’(x0) = limh®0 f(x0+h) – f(x0)

Notações utilizadas na operação de derivação

Dx f(x) = d/dx(f(x)) = f'(x)

Onde u(x) e v(x) são funções deriváveis de x.

 

Grupo I

1. A derivada de uma constante é zero.

   (c)’ = 0

2. A derivada de x em relação a x é um.

   (x)’ = 1

3. As constantes de ser colocadas para o lado

de fora do sinal de derivação.

   (a.u)’ = a.u’

4. Derivada da potência.

   (un)’ = n un-1. u’

5. A derivada da soma (subtração) é igual a

soma (subtração) das derivadas.

   (u + v)’ = u’ + v’

6. Derivada do produto.

   (u.v)’ = u’ . v + u.v’

   (r.s.t...z)' = r'.s.t...z + r.s'.t...z +...+ r.s.t...z'

7. Derivada da divisão.

   (u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v2

 

Grupo II

8. ( eu )’ = eu.u'

9. (ln u)’ = u' / u

10. (sen u)’ = cos u.u’

11. (cos u)’ = - sen u.u’

12. (tan u)’ = sec2u.u’

Grupo III

13. (au)’ = au . ln a . u’

14. (loga u)’ = u’(x) / u ln a

15. (cot u)’ = - csc2 u u’

16. (sec u)’ = sec u tan u u’

17. (csc u)’ = - csc u cot u u’

18. (sen-1u)’ = u’ / (1- u2 )1/2

19. (cos-1u)’ = - u’ / (1 - u)2 )1/2

20. (tan-1u)’ = u’ / (1 + u2 )

21. (cot-1u)’ = - u’ / (1 + u2)

22. (sec-1u)’ = u’ / |u|.(u2 – 1)1/2

23. (csc-1u)’ = - u’ / |u|.(f(x)2 – 1)1/2

 

Grupo IV - Hiperbólicas

24. (senh u)’ = cosh u.u'

25. (cosh u)’ = senh u.u'

26. (tanh u)’ = sech2u.u'

27. (coth u)’ = - csch2 u . u’

28. (sech u)’ = - sech u tanh u . u’

29. (csch u)’ = - csch u coth u . u’

30. (senh-1u)’ = u’ / (1 + u2 )1/2

31. (cosh-1u)’ = u’ / (u2 -1)1/2

32. (tanh-1u)’ = u’ / (1- u2 )

33. (coth u)’ = - u’ / (u2 -1)

34. Dx |u| = ( u Dx u) ) / |u|

 

Complementos:

 

A. Regra da cadeia. A derivada de g(u(x)) é a

derivada da função externa calculada na função

interna, vezes a derivada da função interna.

Dxv(u(x)) = Duv(u).Dxu(x)

 

B. (uv)' = v.uv-1.u' + uv. Ln u . v'



Integrais Indefinidas de Funções Simples




propriedades das funções indefinidas




integrais de funções racionais




integrais de funções logarítmicas




integrais de funções exponenciais




integrais de funções trigonométricas




integrais envolvendo r2 = a2 + x2




integrais envolvendo s2 = x2 - a2




integrais envolvendo t2 = a2 - x2




integrais envolvendo R = ax2 + bx + c




integrais envolvendo R = ax + b




integrais impróprias




par de planos concorrentes e uma reta




esfera




ellipsóide






página 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11

Copyright © 2003/2010 Todos os direitos reservados - amintas@matematiques.com.br