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1° Grau

EQUAÇÕES

A primeira referência histórica que temos sobre equações refere-se ao papiro de Rhind, um dos documentos matemáticos dos antigos egípcios.

Sabe-se que os egípcios não utilizavam a notação algébrica, o que tornava a solução de equações cansativas e complexas.

Já os gregos resolviam equações através da Geometria. Na obra Os Elementos, de Euclides, encontramos soluções geométricas de equações do segundo grau.

Sem dúvida, foram os árabes que promoveram o grande desenvolvimento no estudo e resolução de equações. Destaca-se o trabalho do árabe Al-Khowarizmi que, no século IX, resolveu e discutiu vários tipos de equações. Ele é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX. Por isso é chamado de "pai da Álgebra".

 

EQUAÇÕES DO 1º GRAU - DEFINIÇÃO

Definição: Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma ou mais letras que representem números, é denomidada equação. Cada letra que representa este número desconhecido é chamada de variável ou incógnita.

A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da equação (ou igualdade).

A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade (ou equação).

Durante nossas aulas, você aprendeu a resolver algumas equações bem simples. Portanto, é preciso que você saiba o significado de:

. equação

. incógnita de uma equação

. membros de uma equação

. termos de uma equação

A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos problemas. Vejamos:

 

EXEMPLO 1

Dois pacotes juntos pesam 22 kg . Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor?

Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas usando a álgebra. Nesse caso, temos:

pacote menor = x

pacote maior = x + 6

Onde x representa o peso do pacote menor.

Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22

Efetuando as devidas equações:

x + (x + 6) = 22 Eliminar os parênteses

x + x + 6 = 22 Somar os termos semelhantes

2x + 6 = 22

2x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros

2x = 16

2x/2 = 16/2 Efetuar uma divisão por 2, nos dois membros

x = 8 Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg e do pacote maior é de 8 + 6 = 14 kg .

 

EXEMPLO 2

Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número.

Um número: x

Quádruplo do número: 4x

Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6

Resolução:

4x + 9 = x + 6

4x - x = 6 - 9 passar + 9 para o segundo membro (fica-9) e + x para o primeiro membro (fica - x).

3x = - 3 como a operação inversa de :3 é x3,temos: x = - 3/3

x = - 1 Portanto, o número procurado é -1.

 

A verificação da solução

A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja:

4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1

4 (-1) + 9 = (- 1) + 6

- 4 + 9 = - 1 + 6

5 = 5

Logo, x = -1 é um valor que torna a equação 4x - 9 = x – 6 verdadeira.Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o que acontece.

 

A raiz de uma equação

A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação.

x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6 Veja:

 

EXEMPLO 3

Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?

Equacionando o problema:

Preço da cadeira: x

Preço da estante: 3x

Equação correspondente: x + 3x = 64

Resolução:

x + 3x = 64

4x = 64 _ x = 64/4 = 16 _ x = 16

Verificação da raiz:

16 + 3 . 16 = 64

16 + 48 = 64

64 = 64

A estante custa R$ 48,00.

 

Exercício 1

Resolva as equações:

a) 4x + 8 = 3x - 5

b) 3a - 4 = a + 1

c) 9y - 11 = - 2

d) 5x - 1 = 8x + 5

 

Exercício 2

Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x - 1

 

Exercício 3

Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2x - 3 = 16

 

Exercício 4

Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova?

 

Exercício 5

Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?

 

Exercício 6

Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?

 

Exercício 7

Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?

 

Exercício 8

Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?

 

Exercício 9

Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?

 

Inequações de 1° grau

Introdução: Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, como a e b reais (a ≠ 0).

Exemplos:

2x – 7 ≥0 (3x/5) – 7/2 < 0 2x – 1/2 ≤ 0

 

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis

Método prático

· Substituímos a desigualdade por uma igualdade.

· Traçamos a reta no plano cartesiano.

· Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial.

Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.

Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

· Representa graficamente a inequação 2x + y ≤ 4

Tabela

x

y

(x, y)

0

4

(0, 4)

2

0

(2, 0)

 

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4

Verificamos:

2.0 + 0 ≤ 4

0 ≤ 4 (afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)

A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

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Teoria dos conjuntos


  

Relação de pertinência

Cada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula. Assim, ao falarmos neste conjunto estabelecemos a possibilidade de averiguar se uma pessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo Î. As letras minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é: V = {a, e, i, o, u}

→ A relação de pertinência é expressa por: a Î V, pois o elemento a pertence ao conjunto V.

→ A relação de não-pertinência é expressa por: b Î V, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.

 

Formação de um conjunto

Um conjunto pode ser definido de duas maneiras:

→ Enumerando todos os elementos do conjunto: S = {1, 3, 5, 7, 9}

→ Expressando uma ou mais propriedades que se verificam para todos os seus elementos e somente para eles:

S = {números ímpares de um algarismo} Podemos representá-lo assim:

B = {x Î S / x tem a propriedade P}; (lê-se: x pertence ao conjunto S tal que x possui a propriedade P).

O conjunto B é formado por todos os elementos de S que possuem a propriedade P.

Exemplo: B = {x Î IN / x < 8} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

 

Conjunto vazio: Ø ou { }

É aquele que não contém nenhum elemento.

 

Subconjuntos de um conjunto

Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:

A é um subconjunto de B, ou então que ... A é uma parte de B, ou então que ... A está incluído em B e escrevemos A Î B.

Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, diremos então que A não está incluído em B e escreveremos A Ë B.

 

Conjunto das partes de um conjunto

Se tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F, o conjunto das partes de F será aquele formado por todos os possíveis subconjuntos de F e será representado por P(F).

Se o conjunto F tem n elementos, então o conjunto das partes de F, P(F), terá 2n elementos.

Exemplo: Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis subconjuntos de F:

→ com nenhum elemento Ø

→ com 1 elemento {3}, {5}, {9}

→ com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}

→ com 3 elementos {3, 5, 9}

Podemos então escrever: P(F) = { Ø, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3, 5, 9} }

O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do conjunto e é indicado por n(F).

Repare que no exemplo acima n(F) = 3 e n (P(F)) = 23 = 8

 

Relação de inclusão

A relação de inclusão possui 3 propriedades:

→ Propriedade reflexiva: A Î A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.

→ Propriedade anti-simétrica: se A Î B e B Î A, então A = B.

→ Propriedade transitiva: se A Î B e B Î C, então A Î C.

 

Conjunto complementar

Complementar de A com respeito a R e é representada por CRA = R - A.

No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos ausentes à aula.

 

União e intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A U B.

Formalmente temos que: A U B = {x / x Î A ou x Î B}

A união de conjuntos obedece às seguintes propriedades:

→ Propriedade comutativa: A U B = B U A

→ Propriedade associativa: A U (B U C) = (A U B) U C

→ Elemento Neutro: A U Ø = A

Utilizando os diagramas de Venn (Figura abaixo), verificamos algumas das propriedades acima.

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B

Formalmente temos que: A ∩ B = {x| xÎA e xÎB}

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B

Formalmente temos que: A ∩ B = {x| xÎA  e xÎB}

A intersecção de dois conjuntos obedece às seguintes propriedades:

→ Propriedade comutativa: A ∩ B = B ∩ A

→ Propriedade associativa: A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C

→ Propriedade de idempotência: A ∩ A = A

→ A ∩ Ø = Ø

Relacionando união e intersecção, surgem duas outras propriedades interessantes:

→ Propriedade distributiva da união com relação à intersecção: A U (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC);

→ Propriedade distributiva da intersecção com relação à união: A ∩ (BUC) = (A∩B) U (A∩C).

 

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A x B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.

Simbolicamente, podemos escrever:

A X B = {(a, b)| a Î A, b Î B}

Se A = {1, 2} e B = {x, y, z}, então: A X B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}

O conjunto A x B tem 2 x 3 = 6 elementos.

Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A x B tem a x b elementos, isto é:

se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A x B) = a x b.

É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que é fundamental a ordem na qual se apresentam.

No exemplo, o par (1, x) pertence a A x B. Mas o mesmo não acontece com o par (x, 1), que pertenceria ao produto B x A.

É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Ele pode ser representado de várias formas:

→ Com um diagrama de flechas.

→ Com um diagrama cartesiano.

→ Com um diagrama em árvore.

As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:

→ Propriedade associativa: (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C

→ A x Ø = Ø

→ A x B = Ø se, e somente se, A = Ø ou B = Ø

→ Se C ≠ Ø e A x C = B x C, então: A = B

 

Os conjuntos numéricos

A expansão contínua do campo numérico chegou, no final do século XIX, de forma totalmente desordenada. Os matemáticos estruturaram, então, uma teoria de conjuntos numéricos que, de certa forma, seguiu a lógica do processo histórico de criação do número.

O conjunto dos números naturais IN

O mais simples. Por ser um conjunto discreto, pode ter uma representação explícita:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

 

O conjunto dos números inteiros Z

É o que resulta da expansão de IN na integração dos números negativos. Por ser um conjunto discreto, pode ter representação explícita: Z = {... ­-3, ­-2, ­-1, 0, 1, 2, 3,...}.

 

O conjunto dos números racionais Q

É a expansão do conjunto Z, na qual o campo numérico passa a ocupar a parte racional da continuidade.

Por não ocupá-la completamente, é considerado um conjunto denso, sem representação explícita. Pode existir na reta, desde que se indiquem os espaços vazios da descontinuidade, que correspondem aos números irracionais, também à esquerda de zero.

 

O conjunto dos números reais IR

É a expansão do conjunto Q na qual o campo numérico passa a ocupar toda a continuidade, graças à união dos campos racional e irracional. Por se tratar de um conjunto contínuo, não tem representação explícita. É um conjunto numérico que ocupa todos os pontos da reta, também à esquerda de zero.

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O consumo de combustível de um automóvel é medido pela quantidade de quilômetros que percorre gastando 1 litro do combustível (km/L).


O consumo depende, dentre outros fatores, da velocidade desenvolvida pelo automóvel. O gráfico abaixo indica o consumo, em km/L, em função da velocidade desenvolvida por certo automóvel, em km/h, em um determinado percurso.

A análise do gráfico mostra que, para velocidades entre 40 e 100 km/h:

A) o maior consumo se dá aos 60 km/h;
B) quanto maior a velocidade menor é o consumo;
C) o consumo é diretamente proporcional à velocidade;
D) o menor consumo se dá aos 60 km/h;
E) o consumo é inversamente proporcional à velocidade.

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A população de uma cidade daqui a t anos é estimada em P(t) = 30 - (4/t) milhares de pessoas. Durante o 5° ano, o crescimento da população será de:

A) 200 pessoas
B) 133 pessoas
C) 30 pessoas
D) 4 pessoas
E) 2 pessoas

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Observe a figura.


Ela representa o gráfico da função y = f (x), que está definida no intervalo [ -3, 6 ].

A respeito dessa função, é INCORRETO afirmar que

A) f (3) > f (4).
B) f ( f (2) ) > 1,5.
C) f (x) < 5,5 para todo x no intervalo [ -3, 6 ].
D) o conjunto { -3 < x < 6 / f (x) = 1,6 } contém exatamente dois elementos.

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Thales quer arrumar um emprego de modo que, do total do salário que receber, possa gastar 1/4 com alimentação, 2/5 com aluguel e R$ 300,00 em roupas e lazer. Se, descontadas todas essas despesas, el

A) R$ 950,00
B) R$ 980,00
C) R$ 1 000,00
D) R$ 1 100,00
E) R$ 1 500,00

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Observe a figura.


Essa figura contém o gráfico da função y = f(x) definida em A = { x Î R / -7 ≤ x ≤ 8 }.
Todas as afirmativas sobre a figura são corretas, exceto

A) A soma de todas as raízes distintas de f(x) é negativa.
B) f(-5) < f(6)
C) f(-4) + f(2) < 1.
D) A soma de todos os valores distintos de x, x A, tais que f(x) = 3 é um número positivo.
E) f(3) - f(-2) < 0.

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A figura representa a função y = ax + b. O valor da função no ponto x = - 1/3 é:


A) 2,8
B) 2,6
C) 2,5
D) 1,6
E) 1,7

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A impressão de livros tem um custo fixo de R$ 20,00, para qualquer quantidade de exemplares, e um custo variável, por unidade de R$ 3,00. A expressão que representa o custo total para a impressão de

A) C(x) = 3x + 20
B) C(x) = 3x – 11
C) C(x) = 3x + 10
D) C(x) = 3x + 11

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Uma chácara de área z foi dividida em 10 lotes, todos de forma quadrada de lado x e área y. Escreva a fórmula matemática que expresse:

a) y em função de x
b) z em função de y
c) z em função de x

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Se f(x) = a + 1 e g(x) = 2x + 1, então g(f(x)) vale:

A) 2a + 2
B) a + 4
C) 2a – 3
D) 2a + 3
E) a + 3

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Dadas as funções f(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x – 4, determine o valor da equação f-1(g(x)) = 0:

a) 5/6
b) 0,5
c) 6/5
d) 5,6
e) 6,5

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Considere f(x) = x – 3 e f[g(x)] = 3x – 4. O valor de g(3) é:

A) 6
B) 8
C) 10
D) 13
E) 16

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Se f(x) = 3 e g(x) = x², então f(g(x)) é igual a:

A) 9
B) 3
C) 3x²
D) 9x²
E) x²

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Se f: IR ® IR é da forma f(x) = ax + b e verifica f(f(x)) = x + 1 para todo x real, então a e b valem, respectivamente:

A) 1 e 1/2
B) – 1 e 1/2
C) 1 e 2
D) 1 e – 2
E) 1 e 1

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Dadas as funções f(x) = x² – 5x + 6 e g(x) = x + 1, pede-se:

A) Calcular f(g(x)).
B) Achar x de modo que f(g(x)) = 0.

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Seja a função f(x) = ax³ + b. Se f(-1) = 2 e f(1) = 4, então a e b valem, respectivamente:

A) –1 e –3
B) –1 e 3
C) 1 e 3
D) 3 e –1
E) 3 e 1

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Dada a função:


A) Determine o seu domínio.
B) Qual o valor de f(-1)?
C) Determine o valor de .
D) Calcule x para que f(x) = 3/2.

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Na função f(x) = (x + 1)1/2, f(a) = 3, o valor de a é:

A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8

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