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Funções exponencial e logarítmica

[Considere e = 2,72 quando necessário]

Lei exponencial de declínio.

Alguns medicamentos, após entrarem no corpo humano, vão sendo eliminados naturalmente de tal modo que a quantidade activa M, do fármaco no organismo, segue uma lei exponencial de declínio da forma

M = M0 e-kt

em que k é uma constante positiva e t a variável tempo.

a)  Qual é o significado de M0?

b)  Se a quantidade ativa de um remédio se reduz a metade ao fim de uma hora, a quanto se reduzem 500 mg ao fim de 8 horas?

c)  Qual é o valor de k para o remédio citado em b) ?

d) Outro remédio elimina-se segundo a lei M = M0e-0,25t. Qual é a «semivida» deste remédio? (tempo que leva a reduzir-se a metade)

e)  Prova que a «semivida» T se relaciona com k pela formula T = ln 2/k. 

Juros Compostos

Deposita-se num banco um capital C,

a) à taxa anual de 16%. Exprime, em função de t, a quantia total Q acumulado em t anos, com juro composto.

b)  à taxa semestral de 8%, mostra que Q1, quantia total acumulada em t anos, é Q1 = C 1,082t (juro composto).

c)  Mostra que Q1 > Q, para o mesmo tempo t.

A fórmula da aprendizagem de símbolos

Um psicólogo desenvolveu uma fórmula que relaciona o número  n   de símbolos que uma pessoa pode memorizar no tempo  t , em minutos.

A fórmula é:  f(t) = 30 . (1 - e -t/3)

a) Calcule, de acordo com a função  f  e com aproximação às unidades, quantos símbolos uma pessoa pode memorizar em 4 minutos.

b) Uma pessoa memorizou 26 símbolos.

    Quanto tempo precisou, aproximadamente, para realizar tal tarefa?      

A pressão atmosférica

A pressão atmosférica, P,  em polegadas de mercúrio (1 polegada = 25,4 mm ), é dada por: P(h) = 30 x 10-0,09h

onde h é a altura, em milhas  (1 milha = 1609 metros) , acima do nível do mar.

Calcule:

a) a pressão atmosférica 3 km acima do nível do mar;

b) com erro inferior a  0,1 milhas , determine a altura de uma montanha sabendo que no cume a pressão atmosférica é de 505 mm de mercúrio.

 Biologia : Crescimento de uma população

De um modo geral, a população, ou seja, o numero de bactérias, mosquitos, etc,  existentes num instante t é dado por uma lei exponencial do tipo P= P0 e kt ,

onde k é uma constante positiva, chamada constante de proporcionalidade, e P0 é a população inicial ( população no instante t = 0).

Suponhamos então uma situação concreta em que o número P de mosquitos é dado pela expressão: P = P0 e 0,01t,

onde o tempo t é expresso em dias.

Determine a população inicial P0, sabendo que depois de 30 dias a população é de 400 000 mosquitos.

O capital acumulado a prazo ao fim de n anos, quando capitalizado de forma continua , pode ser calculada através da função C = C0 e tn ,

em que C0 representa a quantia depositada e t a taxa de juro anual (na forma decimal). Supondo C0 = 10 000 euros e t = 8%, determina:

a) a quantia acumulada ao fim de um, de dois e de oito anos e meio.

b) aproximadamente ao fim de quanto tempo duplica o capital?

A quantidade, em gramas, de substância radioactiva de uma amostra decresce segundo a fórmula Q(t) = Q0 e - 0,0001t,

em que t representa o número de anos. Ao fim de 5 000 anos restavam 3 gramas de substância radioactiva na amostra. Quantas gramas existiam inicialmente?

Ruídos

Um  som de nível A de decibéis está relacionado com a sua intensidade i pela equação A = 10 log i (com i > 0)

Com i expressa em unidades adequadas.

a) Um som com 1 000 unidades de intensidade atinge quantos decibéis?

b) De um local próximo os níveis de ruído provocados por um camião e por um avião a jacto são, respectivamente, 100 e 120 decibéis.

Qual é a razão entre a intensidade de ruído provocado pelo avião a jacto e a do ruído do camião?

c) Exprima i  em função de A.

 

Exercícios

 Se log4 a = x calcula, em função de x:

    a)  log4 4a ;            b)  log4 (a/2) ;

    c)  log4 a3 ;            d)  log4 8√a ;

    e)  log4 (1/a) ;

 Calcula, sem calculadora:

    a)  log0,1 10;       b)  log10 0,1;      c)  log√2 4;      d)  log0,5 4;        e)  log√2 4√2 ;

Simplifique as expressões:

    a) elog x + e 3log x;                b) e x log (log e);

    c) e3 + log x - e3 - log x;            d) log (e2 + x)x - log e(x^2)

Resolva as equações em x:

    a) logx 100 = -2;       b) log8 x = 3;       c) log2 3x = -1;        d) 2x = 1/8;        e) 32x-1 = 1;

Seja g(x) = 3 + log(x + 1).

     Determinar o domínio e o contradomínio de g e caracterize a função inversa.

É dada a função f(x) = 2 - 2e1-x

    a) Determine o domínio e o contradomínio de f.

   b) Calcule o valor de x Df, tal que:

       i) f(x) = f(1);                         ii) f(x) > 0.

Escreva a expressão seguinte sem usar o símbolo log: exlog2 + elogx-2logy + 5(-2log53),    (x > 0,  y > 0).

Determine o conjunto de solução, em lR de cada uma das condições seguintes:

    a) e 3+2logx = (3x -2) . e3

     b) log (x - 2) > log (x - 3) - log 3

 

Das seguintes afirmações, diga, justificando, quais são falsas.

    a) A função   f(x) = (-3)x   é uma função exponencial.

    b) A função    f(x) = x2    é uma função exponencial.

    c) A função    f(x) = 3x     é uma função invertível.

    d) Se   3x = - 1 / 27,   então   x = -3.

    e) Se   f(x) = ex ,  então   f(0,5) = √e.

    f) A função exponencial f(x) = ax, a > 0 e a 1 é uma função decrescente.

    g) Se f(x) = log2 (x) , então  f-1(x) = 2x.

    h) eln(x) = x.

    i) A função f(x) = 2x + 2-x  é idêntica à função g(x) = 20.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

    a)  (3-√2 x 3-1/3) : (3-√3)1/3  =  3,7    (1 c. d.).

    b) log2 64 = - x   <=>  x = 1/6.

    c) 3( log3 27 ) + e( loge 4 ) = 31.

    d) 6 ( x2 - 7x + 10 ) = 1  <=>  x  = 5.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

    a)  log (9 + log (9 + log x)) - 1  =  0  <=>  x = e .

    b) log9 ( 3x + 8 ) = x + 1   é  uma equação impossível.

    c) logx 100 -  logx 25  =  2  é uma equação indeterminada.

    d) ln (x + 1) - ln (x - 1) - ln (1 + 1/x) + ln (1 - 1/x)  =  0, se x > 1.

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lista de exercícios

1. Os números naturais de 1 a 10 foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, o valor mais provável da soma dos números sorteados é igual a:

A) 9      B) 10      C) 11 x      D) 12      E) 13

 

2. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.

A) 25% x      B) 50%      C) 35%      D) 70%      E) 20%

 

3. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.

A) 1/3      B) 1/5      C) 2/5      D) 3/10  x      E) 7/10

 

4. Escolhem-se ao acaso dois números naturais distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar?

A) 9/38  x      B) 1/2      C) 9/20      D) 1/4      E) 8/25

 

5. Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é:

A) 3/51      B) 5/53      C) 5/676      D) 1/13  x      E) 5/689  

 

6. Três pessoas A, B e C vão participar de um concurso num programa de televisão. O apresentador faz um sorteio entre A e B e, em seguida, faz um sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se em cada sorteio as duas pessoas têm a mesma "chance" de ganhar, qual é a probabilidade de A iniciar o concurso?

A) 12,5%      B) 25%  x      C) 50%      D) 75%      E) 95%

 

7. (UFJF) Uma prova de certo concurso contém 5 questões com 3 alternativas de resposta para cada uma, sendo somente uma dessas alternativas a resposta correta. Em cada questão, o candidato deve escolher uma das três alternativas como resposta. Certo candidato que participa desse concurso decidiu fazer essas escolhas aleatoriamente. A probabilidade, desse candidato, escolher todas as respostas corretas nessa prova é igual a:

A) 3/5      B) 1/3      C) 1/15      D) 1/125      E) 1/243  x

 

8. (UFJF) Um soldado do esquadrão anti-bombas tenta desativar certo artefato explosivo que possui 5 fios expostos. Para desativá-lo, o soldado precisa cortar 2 fios específicos, um de cada vez, em uma determinada ordem. Se cortar um fio errado ou na ordem errada, o artefato explodirá. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do artefato não explodir ao cortá-los é igual a:

A) 2/25      B) 1/20  x      C) 2/5      D) 1/10      E) 9/20

 

9. (PUC) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão?

A) 1/10  x      B) 1/12      C) 5/24      D) 1/3      E) 2/9

 

10. (FGV) Um jogador aposta que, em três lançamentos de uma moeda honesta, obterá duas caras e uma coroa. A probabilidade de que ele ganhe a aposta é:

A) 1/3      B) 2/3      C) 1/8      D) 3/8  x      E) 5/8

 

11. (UFV) Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é:

A)   60%      B) 70%      C)   80%      D) 90%        E) 50%

 

12. (PUC) Considere uma família numerosa tal que:

• cada filho do sexo masculino tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos;

• cada filho do sexo feminino tem um número de irmãs igual ao de irmãos acrescido de 2 unidades;

Ao escolher-se ao acaso 2 filhos dessa família, a probabilidade de eles serem de sexos opostos é:

A) 4/13     B) 20/39  x      C) 7/12     D) 11/13     E) 11/12

 

13. (FUVEST) Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, chamadas a, b, c, d. Em cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, no acaso,18 pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta a?

A) 3/10  x     B) 1/10     C) 3/20     D) 1/20     E) 1/30

 

14. (UFSCAR-SP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contatar os pais é:

A) 0,20     B) 0,48      C) 0,64      D) 0,86      E) 0,92

 

15. Numa caixa são colocados vários cartões, alguns amarelos, alguns verdes e os restantes pretos. Sabe-se que 50% dos cartões são pretos, e que, para cada três cartões verdes, há 5 cartões pretos. Retirando-se ao acaso um desses cartões, a probabilidade de que este seja amarelo é de:

A) 10%      B) 15%      C) 20% x     D) 25%     E) 40%

 

16. (UFSP) Tomam-se 20 bolas idênticas (a menos da cor), sendo 10 azuis e dez brancas. Acondicionam-se as azuis numa urna A e as brancas numa urna B. Transportam-se 5 bolas da urna B para a urna A e, em seguida, transportam-se 5 bolas da urna A para a urna B. Sejam p a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola azul da urna B. Então:

A) p = q  x    B) p = 2/10  e  q = 3/10    C) p = 3/10  e  q = 2/10    D) p = 1/10  e  q = 4/10    E) p = 4/10  e  q = 1/10

 

17. (PUC) Serão sorteados 4 prêmios iguais entre os 20 melhores alunos de um colégio, dentre os quais estão Tales e Euler. Se cada aluno pode receber apenas um prêmio, a probabilidade de que Tales ou Euler façam parte do grupo sorteado é:

A) 3/95      B) 1/19     C) 3/19     D) 7/19  x     E) 38/95

 

18. (UNESP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois jogadores serem escalados é:

A) 0,06      B) 0,14     C) 0,24     D) 0,56 x     E) 0,72

 

19. (FUVEST) Dois triângulos congruentes, com lados coloridos, são indistinguíveis se podem ser sobrepostos de tal modo que as cores dos lados coincidentes sejam as mesmas. Dados dois triângulos equiláteros congruentes, cada um de seus lados é pintado com uma cor escolhida dentre duas possíveis, com igual probabilidade. A probabilidade de que esses triângulos sejam indistinguíveis é de:

A) 1/2      B) 3/4     C) 9/16     D) 5/16  x      E) 15/32

20. (FGV-SP) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo sabor é:

A) 18/65      B) 19/66 x     C) 20/67     D) 21/68     E) 22/69

 

21. (FGV-SP) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km². Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade cuja superfície tem área igual a 102 km²?

A) 2.10–9      B) 2.10–8       C) 2.10–7       D) 2.10–6  x     E) 2.10–5

 

22. (PUC) De uma turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão?

A) 1/10 x      B) 1/12     C) 5/24     D) 1/3     E) 2/9

 

23. As cartas de um baralho são amontoadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também? O baralho é formado por 52 cartas de 4 naipes diferentes (13 de cada naipe).

A) 1/17  x     B) 1/25     C) 1/27      D) 1/36     E) 9/45 

 

24. Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é:

A) 1/2      B) 1/3     C) 1/4 x     D) 1/6     E) 1/8

 

25. Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja 5 é:

A) 1/15  x     B) 2/21     C) 1/12     D) 1/11     E) 1/9

 

26. Em um município, uma pesquisa revelou que 5% dos domicílios são de pessoas que vivem sós e, dessas, 52% são homens. Com base nessas informações, escolhendo-se ao acaso uma pessoa desse município, a probabilidade de que ela viva só e seja mulher é igual a:

A) 0,530      B) 0,240      C) 0,053     D) 0,048     E) 0,024  x

 

27. Dois números inteiros são selecionados aleatoriamente de 1 a 9. Se a soma é par, a probabilidade de os números serem ímpares é:

A) 0,3      B) 2/5      C) 1/5      D) 0,32     E) 5/8 x

 

28. Seja o conjunto A = {1,2,3,4,5,6} . Escolhendo-se três elementos distintos de A , a probabilidade de que eles representem as medidas dos lados de um triângulo é:

A) 0,35     B) 0,45     C) 0,55     D) 0,65     E) 0,25

 

29. Inteiramente ao acaso, 14 alunos dividiram-se em 3 grupos de estudos. O primeiro, para estudar Matemática, o segundo, Física, e o terceiro, Química. Se em cada um dos grupos há pelo menos 4 alunos, a probabilidade de haver exatamente 5 alunos no grupo que estuda Matemática é de:

A) 1/3  x      B) 2/3     C) 3/4     D) 5/6     E) 1

 

30. Para acessar o sistema de computadores da empresa, cada funcionário digita sua senha pessoal, formada por 4 letras distintas do nosso alfabeto (que possui 23 letras), numa ordem preestabelecida. Certa vez, um funcionário esqueceu a respectiva senha, lembrando apenas que ela começava com X e terminava com F. A probabilidade de ele ter acertado a senha ao acaso, numa única tentativa, é:

A) 1/326     B) 1/529     C) 1/253     D) 1/420

 

31. "Blocos Lógicos" é uma coleção de peças utilizada no ensino de Matemática. São 48 peças construídas combinando-se 3 cores (azul, vermelha e amarela), 4 formas (triangular, quadrada, retangular e circular), 2 tamanhos (grande e pequeno) e 2 espessuras (grossa e fina). Cada peça tem apenas uma cor, uma forma, um tamanho e uma espessura. Se uma criança pegar uma peça, aleatoriamente, a probabilidade dessa peça ser amarela e grande é:

A) 1/12     B) 1/6  x     C) 1/3     D) 1/2

 

32. José, João, Manoel, Lúcia, Maria e Ana foram ao cinema e sentaram-se lado a lado, aleatoriamente, numa mesma fila. A probabilidade de José ficar entre Ana e Lúcia (ou Lúcia e Ana), lado a lado, é:

A) 1/2      B) 14/15     C) 1/30     D) 1/15  x

 

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lista de exercícios

1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas obtida. Qual o espaço amostral do experimento.

2) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra bola. Dê uma espaço amostral para o experimento.

3) Três times A, B e C disputam um torneio de futebol. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Enumere os resultados do espaço amostral: resultados possíveis do torneio.

4) Uma moeda e um dado são lançados. Dê o espaço amostral correspondente.

5) Considerando dois eventos I e O de um mesmo espaço amostral S, expresse em termos de operações entre eventos:

5.1) A ocorre mas O não ocorre;

5.2) Exatamente um dos eventos ocorre;

5.3) Nenhum dos eventos ocorre.

6) Dois dados são lançados. Define-se os eventos: I = soma dos pontos obtidos igual a 9, e O = o ponto do primeiro dado é maior ou igual a 4. Determine os eventos I e O e ainda os eventos: I È O, I Ç O e Ī.

7) Uma urna contém 12 moedas de igual tamanho, sendo 7 douradas e 5 prateadas. O experimento consiste em retirar, sem reposição e ao acaso, duas moedas desta urna. Calcular a probabilidade de que saiam:

7.1) Uma moeda dourada e uma prateada, nesta ordem.

7.2) Uma moeda dourada e uma prateada.

7.3.) Duas moedas douradas.

7.4) Duas moedas de mesma cor.

8) Resolva o exercício sete considerando a retirada das moedas com reposição.

9) Sejam P(O) = 0,3, P(I) = 0,8 e P(O Ç I) = 0,15.

9.1) A e I são mutuamente exclusivos? Justifique.

9.2) Qual a P(Ī)?

9.3) Determine (a) P(O U I)      (b) P(O Ç Ī)       (c) P(Ō Ç Ī)        (d) P(Ō Ç I)

10) Suponha que O e I sejam eventos tais que P(O) = x, P(I) = y e P(O Ç I) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de “x”, “y” e “z”.

10.1) P(O U I)         10.2) P(Ō)          10.3) P(Ī)          10.4) P(O / I)          10.5) P(Ō U Ī)

10.6) P(Ō U I)       10.7) P(Ō Ç I)     10.8) P(O Ç Ī)     10.9) P(Ō Ç Ī)       10.10) P(Ō / Ī)

11) Uma amostra de 140 investidores de um banco revelou que 80 investem em poupança, 30 investem no fundão e 10 investem na poupança e no fundão. Selecionado um destes investidores ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha investimentos na poupança ou no fundão?

12) A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é 0,80, enquanto que a do aluno B é 0,60. Qual a probabilidade de que a questão seja resolvida se os dois alunos tentarem resolvê-la independentemente.

13) Um atirador A tem probabilidade de 1/4 de acertar um alvo. Já um atirador B tem probabilidade de 2/5 de acertar o mesmo alvo. Se ambos atirarem simultaneamente e independentemente, qual a probabilidade de que:

13.1) Ao menos um deles acerto o alvo e      13.2) Ambos acertem o alvo?

14) Sejam A e B dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade de ocorrência de ao menos um destes eventos é 0,52 e a probabilidade de A não ocorrer é 0,60. Calcule a probabilidade de B ocorrer?

15) Sejam: P(A) = 0,50; P(B) = 0,40 e P(AUB) = 0,70.

15.1) A e B são eventos mutuamente excludentes? Por que?

15.2) Qual o valor de P(AÇB).

15.3) A e B são eventos independentes? Por que?

15.4) Quais os valores de P(A/B) e P(B/A).

16) Uma turma é composta de 9 alunos de Economia, 14 de Administração e 21 de Contábeis. Deseja-se eleger ao acaso uma comissão de dois alunos dessa turma. Calcule a probabilidade de que esta comissão seja formada por:

16.1) Alunos só da Economia.

16.2) Um aluno da Economia e outro de outro curso.

16.3) Um aluno da Economia e outro da Contábeis.

16.4) Dois alunos da Administração ou dois da Contábeis.

17) Um produtor de parafusos verificou que em uma amostra de 100 parafusos 5 eram defeituosos. Numa segunda amostra de 200 parafusos ele encontrou 9 defeituosos. Você diria que a probabilidade de o próximo parafuso a ser produzido ter defeito é 0,05? Ou 0,045? Explique?

18) Se o jogo um da loteria esportiva for marcado na coluna dois, então é possível afirmar que a probabilidade de acertar este jogo é de 1/3? Por que?

19) Dois números são escolhidos ao acaso e sem reposição, dentre 6 números positivos e 8 negativos, e então multiplicados. Calcule a probabilidade de que o produto seja positivo.

20) Os lugares de 6 pessoas em uma mesa circular são determinados por sorteio. Qual a probabilidade de Aristeu e Fariseu se sentem lado a lado?

21) Suponha-se que são retiradas duas bolas, sem reposição, de uma caixa contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Determine:

21.1) Todos os resultados possíveis e suas respectivas probabilidades.

21.2) Todos os resultados possíveis e suas probabilidades supondo a extração com reposição da primeira bola retirada.

22) Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita?

23) Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo o ponto 4 é duas vezes mais provável do que o ponto dois). Calcular:

23.1) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar.

23.2) A probabilidade de sair um número par, sabendo que saiu um número maior do que 3.

24) A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade de que:

       24.1) Nenhum destes eventos ocorra.                 (24.2) Pelo menos um destes eventos ocorra

25) Calcular a P(A) sabendo que: P(AÇB) = 0, 72 e P(AÇ ) = 0,18.

26) Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa e um prato à base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada; 30% das mulheres escolhem carne; 75% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos:

H: o freguês é homem                                 A: O freguês prefere salada

M: O freguês é mulher                                B: O freguês prefere carne

Calcular:

26.1) P(H)                        26.2) P(A/H)                    26.3) P(B/M)                     26.4) P(AÇH)

26.5) P(AÈH)                  26.6) P(M/A)

27) Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000 segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela:


 

Homens

Mulheres

Usaram o hospital

100

150

Não usaram o hospital

900

850

27.1) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?

27.2) O uso do hospital independe do sexo do segurado?

28) As probabilidades de 3 motoristas serem capazes de dirigir até em casa com segurança, depois de beber, são: 1/3, 1/4 e 1/5. Se decidirem (erradamente) dirigir até em casa, depois de beber numa festa, qual a probabilidade de todos os 3 motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de que ao menos um chegue em casa a salvo?

29) Duas lâmpadas queimadas foram misturadas acidentalmente com 6 lâmpadas boas. Se as lâmpadas forem sendo testadas, uma a uma, até encontrar as duas queimadas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja encontrada no quarto teste?

30) Num teste com duas marcas que lhe são apresentadas em ordem aleatória, um experimentador de vinhos faz três identificações corretas em três tentativas.

30.1) Qual a probabilidade disto ocorrer, se na realidade ele não possui habilidade alguma para distinguir?

30.2) E se a probabilidade de distinguir corretamente é de 90% em cada tentativa?

31) Dados que dois acontecimentos A e B ocorrem independentemente com probabilidades p e q respectivamente, determine a probabilidade da ocorrência de um e somente um destes acontecimentos.

32) Dois aparelhos de alarme funcionam de forma independente, detectando problemas com probabilidades de 0,95 e 0,90. Determinar a probabilidade de que dado um problema, este seja detectado por somente um dos aparelhos.

33) Sejam A e B dois eventos. Suponha que P(A) = 0,40, enquanto P(AÈB) = 0,70. Seja P(B) = p.

33.1) Para que valor de “p”, A e B serão mutuamente excludentes?

33.2) Para que valor de “p”, A e B serão independentes?

34) Um aparelho é escolhido ao acaso dentre 10 aparelhos, sendo que destes 6 funcionam sem falhas com uma probabilidade de 80% e os outros quatro funcionam sem falhas com uma probabilidade de 95%. Determinar a probabilidade de que o aparelho escolhido funcione sem falhas.

35) Três máquinas A, B e C apresentam respectivamente: 10%, 20% e 30% de defeituosos na sua produção. Se a três máquinas produzem igual quantidade de peças e retiramos duas peças ao acaso da produção global qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?

36) Dentre 5 máquinas existem 3 de maior precisão que garantem um acerto de 95% e as duas restantes garantem um acerto de 75%. Escolhida uma máquina ao acaso qual a probabilidade de acerto?

37) Das peças fornecidas por duas máquinas automáticas 60% e 84%, respectivamente, são de alta qualidade. A produtividade da primeira máquina é o dobro do que a da segunda máquina. Retirada uma peça ao acaso de um lote produzido pelas duas máquinas verificou-se que ela era de alta qualidade. Determinar a probabilidade de que tenha sido produzida pela primeira máquina.

38) Uma caixa contém quatro moedas, uma das quais com duas caras. Uma moeda foi tomada ao acaso e jogada duas vezes, obtendo-se duas caras. Qual a probabilidade de que seja a moeda com duas caras?

39) Cada objeto manufaturado é examinado com probabilidade 0,55 por um fiscal e com probabilidade 0,45 por outro fiscal. A probabilidade de passar no exame de acordo com os fiscais é de 0,90 e de 0,98 respectivamente. Achar a probabilidade de que um objeto aceito tenha sido examinado pelo segundo fiscal.

40) Um carro pode parar por defeito elétrico ou mecânico. Se há defeito elétrico o carro para na proporção de 1 para 5 e, se mecânico, 1 para 20. Em 10% das viagens há defeito elétrico e em 20% mecânico, não ocorrendo mais de um defeito na mesma viagem, igual ou de tipo diferente. Se o carro para, qual a probabilidade de ser por defeito elétrico?

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Conjuntos

1) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:

 

a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia?

b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas?

c) Quantos não consumiram a cerveja S?

d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S?

2)   Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos candidatos masculinos não fumam?

3)   Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:

N = {0,1,2,3,4,...}

P = {x Є |N / 6  ≤ x ≤ 20}

A = {x Є P / x é par}

B = {6, 8, 12, 16}

C = {x Є P / x é múltiplo de 5}

O número de elementos do conjunto (A – B) C é:

a) 2       b) 3      c) 4       d) 5

4)   Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A B) = 8, n(B C) = 9, n(A C) = 4 e n(A B C) = 3. Assim sendo, o valor de n((A U B) C) é:

a) 3       b) 10       c) 20       d) 21

5)   Considere os conjuntos representados abaixo:

   

Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos:

a) P, Q e R

b) (P Q) - R

c) (P U Q) R

d) (P U  R) - P

e) (Q R) U P

6)   A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 elementos, A B tem 10 elementos e AU B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B – A  é:

a) 8   b) 10  c) 12    d) 18

7)   Na figura abaixo têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos.

A região sombreada representa o conjunto.

 

8)   Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados:

- 600 entrevistados lêem o jornal A.

- 825 entrevistados lêem o jornal B.

- 525 entrevistados lêem o jornal C.

- 180 entrevistados lêem os jornais A e B.

- 225 entrevistados lêem os jornais A e C.

- 285 entrevistados lêem os jornais B e C.

- 105 entrevistados lêem os três jornais.

- 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais.

Considerando-se esses dados, é CORRETO afirmar que o número total de entrevistados foi:

9)   Você permite que seus clientes paguem suas contas com periodicidade mensal ou bimestral. Além disso, o pagamento pode ser feito com cartão de crédito, com cheque ou em dinheiro. Você precisa reduzir suas opções de pagamento, mas para isso é importante saber como tal procedimento pode afetar a satisfação de seus clientes. Resolve então fazer um levantamento dos últimos pagamentos efetuados por 300 clientes, e agrupa os resultados nos subconjuntos abaixo:

Responda, com base na tabela:

a) Quantas pessoas pagam com cartão de crédito? E com cheque? E em dinheiro?

b) Quantas pessoas pagam por bimestre? E por mês?

c) Quantas pessoas pagam mensalmente em dinheiro?

d) Quantas pessoas pagam por mês ou em dinheiro?

10) Estamos acompanhando a vacinação de 200 crianças em uma creche. Analisando as carteiras de vacinação, verificamos que 132 receberam a vacina Sabin, 100 receberam a vacina contra sarampo e 46 receberam as duas vacinas. Vamos orientar os pais das crianças, enviando uma carta para cada um, relatando a vacina faltante.

a) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina Sabin?

b) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina contra sarampo?

c) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam as duas vacinas?

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Operações com números

1)     Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o estudante A havia gasto 4/5 do total de sua Bolsa, o estudante B havia gasto 5/6 do total de sua Bolsa sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais que o estudante B.

a) Qual era o valor da Bolsa?

b) Quantos reais economizou cada um dos estudantes, naquele mês?

2)    Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 144 s, 120 s e 96 s para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada.

 Nesse momento, o atleta MAIS VELOZ estará completando.

 a) 12 voltas.       b) 15 voltas.       c) 18 voltas.       d) 10 voltas.

3)     Se A = (x – y)/xy, x = 2/5 e y = 1/2, então determine o valor de A.

4)     Determine  2/3 + (4/5)(1/3)

5)     Determine o valor numérico da expressão a – [(ax – x2)/(x + a)] para a = 3/5 e x = 4/5.

6)     Efetue as operações:

          

7)     Como um planejador de transporte coletivo urbano, você deve prever quantas pessoas viajam de trem, no percurso entre duas cidades interioranas. De acordo com um estudo recente, verificamos o seguinte resultado: 1/5 dos passageiros viajam na classe A; 2/3 dos passageiros viajam na classe B; e 1/10 dos passageiros viajam na classe C, os 30.000 habitantes restantes não viajam. Quantos são os passageiros deste trem?

8)     Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem, e em seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com R$ 350,00. Quanto tinha inicialmente?

a) R$ 400,00      b) R$ 700,00      c) R$ 1400,00      d) R$ 2100,00

9)   Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos:

Sol - planeta - Lua A, ocorre a cada 18 anos e

Sol - planeta - Lua B, ocorre a cada 48 anos.

Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta - Lua A - Lua B, então o fenômeno se repetirá daqui á:

a) 48 anos      b) 66 anos      c) 96 anos      d) 144 anos

10)   Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.

O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:

a) 150      b) 160      c) 190      d) 200

11) Sônia coleciona papéis de carta. Sabendo que 2/7 das folhas ela ganhou de sua mãe, 3/5 ela ganhou de suas avós e outras 4 folhas restantes ela ganhou de suas amigas, determine o número de folhas da coleção de Sônia.

12)   O valor de (1/2) + (1/3) + (1/6) é:

a) 1/11.      b) 3/11.      c) 5/11.      d) 1.

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Razão e proporção

1)   A Confederação Brasileira de Futebol resolveu distribuir prêmios num total de R$ 640.000,00 para os quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor desempenho no ataque durante a Copa do Mundo. O critério adotado foi premiar aqueles que fizeram o maior número de gols, conforme o número de gols marcados por cada jogador. Os jogadores selecionados foram os que fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador?

2)    A gerência da Concessionária de Automóveis XYZ resolveu distribuir prêmios num total de R$ 180.000,00 para os três vendedores que tiveram o melhor desempenho durante o trimestre passado. O critério adotado foi premiar aqueles que tenham vendido a maior quantidade de certo modelo de automóveis. Os vendedores selecionados foram os que venderam 20, 9 e 7 automóveis. Quanto recebeu cada vendedor?

3)    Durante o período da ouvidoria, a gerência de contas correntes de uma empresa resolveu distribuir prêmios num total de R$ 100.000,00 para os três empregados da área de processamento de contas que tiveram o melhor desempenho durante o ano passado (objeto da ouvidoria). O critério adotado foi premiar proporcionalmente aqueles que tiveram a menor quantidade de erros no processamento das contas (supondo que os 14 empregados da área processaram a mesma quantidade de contas). Os empregados selecionados foram os que tiveram 2, 4 e 7 erros durante o ano. Quanto recebeu cada empregado?

4)    As demissões de três homens (X, Y e Z) implicaram o pagamento de uma verba rescisória na importância total de R$ 36.000,00, que deveria ser repartida por eles, de modo que fossem diretamente proporcionais ao número de meses trabalhados. Quanto deve receber cada um desses três homens (X, Y, Z), se respectivamente trabalharam 50, 70 e 60 meses?

5)    Um prêmio de R$ 2.000,00 deve ser dividido entre os três primeiros colocados em um concurso, de forma proporcional à pontuação obtida. Se o 1° colocado obteve 90 pontos, o 2°colocado 83 pontos e o 3° colocado 77 pontos, determine a diferença, em reais, entre os prêmios a que tem direito o 1° e o 2°colocado.

6)   Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia         R$ 5.000,00 a mais. Calcular a importância.

7)    Em um mapa rodoviário, uma distância de 1 centímetro representa uma distância de 150 km na realidade.  Qual a distância real entre duas cidades A e B, se no mapa a distância indicada entre elas é de 4,25 cm?

8)    Uma turma de 25 alunos teve como média de nota em uma prova 72,6 pontos. Após uma revisão de notas três notas foram alteradas: Marcos teve sua nota alterada de 70 para 80 pontos, Bruno teve sua nota alterada de 82 para 85 pontos e Paulo teve sua nota alterada de 72 para 64 pontos.Com estas alterações determine a nova média da turma.

9)    Histórico: Pesquisa realizada em uma amostra de 63 das maiores empresas de capital estrangeiro que atuam no Brasil revelou aspectos importantes sobre os processos de fusão e aquisição pelos quais passaram essas empresas a partir dos anos 90. No Brasil, as empresas estão passando por grandes modificações devido à globalização e a transformação das economias.

      Diante deste processo de modificação nas grandes corporações, temos uma alteração no processo de produção: uma máquina que coloca ar em garrafas “pet” foi responsável pela produção de 2.500 garrafas durante 6 dias, funcionando por 10 horas diárias. Para colocar ar em 25.000 garrafas, durante 30 dias, quantas horas diárias a máquina deve trabalhar?

10) Um produtor resolveu investir no plantio de berinjelas e deparou-se com a seguinte situação: Para colocar 6.000 berinjelas em um caminhão e transportá-las por uma distância de 24 km, 3 homens demoraram 8 horas. O produtor deseja saber agora: quantos homens serão necessários para colocar 15.000 berinjelas em um caminhão e transportá-los por uma distância igual, em 5 horas?

11) Considere o problema seguinte:

      Dividir R$ 448,00 entre duas crianças, uma com 7 anos e a outra com 9 anos. Cada uma delas deverá receber uma quantia diretamente proporcional à sua respectiva idade.

12) O Sr. Lopes e o Sr. Garcia são parceiros. Lopes investiu inicialmente R$22.000,00 e Garcia investiu inicialmente R$ 48.000,00 para montarem um negócio. Eles combinam dividir os lucros, que totalizaram  R$89.600,00 no primeiro semestre de atividade, em proporção a seus investimentos iniciais. Que parte do lucro total do negócio receberá cada um deles?

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Porcentagens e Juros simples

1)     Um artista foi contratado para uma festa em uma cidade. Você é o tesoureiro e, portanto, o responsável pela emissão dos recibos e fechamento do caixa. O valor cobrado pelo artista foi de R$ 16.000,00. Somando-se os impostos, o percentual a ser descontado totalizou 35%. Com estas informações, responda:

a) Qual o valor a ser declarado no recibo?

b) E o valor a ser pago em impostos?

2)     Você quer adquirir um carro no final do ano. Para isso está contando com R$ 20.000,00, dinheiro que foi aplicado, no início do ano, da seguinte maneira:

ü  45% em caderneta de poupança

ü  25 % foi emprestado a uma taxa simples de 1% ao mês para seu irmão.

ü  30% você aplicou na bolsa de valores.

No final do ano, você verificou que:

ü   A caderneta de poupança rendeu 6% ao final de um ano de aplicação.

ü   Seu irmão devolveu o dinheiro mais os juros.

ü   A bolsa teve uma queda de 5%.

Qual o valor que você conseguiu resgatar para a compra de seu carro?

3)    Com o objetivo de desenvolver seu raciocínio para enfrentar o solicitado a toda transação comercial que faz parte de sua vida prática, efetue o solicitado abaixo:

a)  R$ 38,00 correspondem a quanto por cento de R$ 70,00?

b)  R$ 80,00 são 23% de quanto?

c)  Um produto passou de R$ 1,23 para R$ 1,35. De quanto foi o aumento percentual?

d)  Um produto que custava R$ 23,50 teve aumento de 29,8%. Qual é o novo preço?

e)  Um produto custava R$ 50,00 em Janeiro. Em Fevereiro seu preço subiu 8%, em Março o preço caiu 6%, em Abril o preço subiu 3% e em Maio o preço subiu 6%. Qual é o preço desse produto de mês a mês, de Janeiro a Maio?

4)  Fizemos uma pesquisa, onde relacionamos os valores de aluguéis pagos em 20 imóveis rurais e 20 imóveis urbanos. O resultado aparece na tabela abaixo.

Utilize seus conhecimentos e compare os aluguéis da zona urbana e da zona rural. Responda:

a)   Qual o percentual de residências urbanas que têm aluguel maior ou igual a R$ 400,00?

b)   Quantos por cento das residências da zona urbana pagam R$ 600,00 ou mais?

c)   Quantos por cento das residências rurais pagam menos que R$ 600,00? 

5)   Ao vender um eletrodoméstico por R$ 4.255,00, um comerciante lucra 15%. Determine o custo desse aparelho para o comerciante.

6)   Uma prova de triatlo compreende três etapas: natação, ciclismo e corrida. Em uma dessas provas, dos 170 atletas que iniciaram a competição, dez a abandonaram na etapa de natação; dos que continuaram, 25% desistiu ao longo da etapa de ciclismo; e, dos que começaram a terceira e última etapa, 20% abandonaram a corrida.Quantos atletas terminaram a corrida?

7)    A população de pobres de um país, em 1981, era de 4.400.000, correspondendo a 22% da população total. Em 2001, este número aumentou para 5.400.000, correspondendo a 20% da população total. Indique a variação percentual da população do país no período.

8)    Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e 65% das mulheres têm mais de 20 anos. Quantas mulheres ainda não comemoraram seu 20° aniversário?

10) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de R$ 74,20. Determine a taxa mensal de juros cobrada.

11) Manoel compra 100 caixas de laranjas por R$ 2.000,00. Havendo um aumento de 25% no preço de cada caixa, quantas caixas ele poderá comprar com a mesma quantia?

12) O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em reais, o preço deste aparelho elétrico, sem este desconto.

13) Uma pessoa pagou 20% de uma dívida. Se R$ 4.368,00 correspondem a 35% do restante a ser pago, determine a dívida total.

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Juros compostos

1)     Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros simples de 9,5% ao ano, tendo rendido R$ 2.470,00. Durante quanto tempo ele ficou aplicado?

2)     Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$ 2.000,00, a 2% ao mês, no sistema de juros simples, para produzir um montante de               R$ 3.400,00?

3)     Um agiota empresta R$ 20.000,00 a uma taxa de juros capitalizados de 20% ao mês. Calcule o total de juros a serem pagos, quitando-se a dívida após 3 meses.

4)     Um comprador pagou uma mercadoria em duas parcelas, sendo uma no ato da compra e a outra, trinta dias depois. Se o preço à vista era de R$ 430,00, o valor da primeira parcela foi R$ 230,00 e se lhe foi cobrada uma taxa de juros de 15% ao mês, determine o valor da segunda  parcela.

 5)     A população de uma cidade, no final de 1998, era de 150 000 habitantes. Ela cresce 2% ao ano. Calcule o aumento da população dessa cidade do final de 1997 até o final do ano 2000.

6)     O capital de R$ 2.000,00 aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros mensal?

7)      

                                    Tabela do Imposto de Renda

Base de cálculo em R$

Alíquota

Parcela a deduzir em R$

Até 900,00

-

Isento

De 900,00 até 1800,00

15%

135,00

Acima 1.800,00

27,5%

360,00

 De acordo com a tabela acima determine o imposto pago pelos respectivos valores:

a)   R$ 650,00      b)   R$ 1.285,00      c)   R$ 3.200,00      d)   R$ 15.000,00 

8) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que a vista sai por R$ 7.000,00 no cartão sairá por?

9) A quantia de R$ 15.000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se JUROS COMPOSTOS, determine o valor que deverá ser pago para a quitação da dívida, três meses depois.

10) Um investidor aplicou R$ 500,00 em caderneta de poupança. As taxas de juros foram de 25% no primeiro mês e 28% no segundo mês.

Nessas condições, determine o valor acumulado, ao final desses dois meses.

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Equações e funções

1)     Maria Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de carvão, pagando R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos de carne e um pacote de carvão, pagando R$ 23,10. Se os preços não sofreram alterações no período em que Maria Helena fez as compras, determine o preço do quilo da carne que ela comprou.

2)     Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento de diárias.  Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária de R$ 30,00.  Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse caso determine quanto este estudante reservou para o pagamento de diárias. 

3)     O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função C(n) = n3- 30n2 + 500n + 200. Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto.

4)     Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00?

5)     Um restaurante vende dois tipos de refeição:

- P.F. ( Prato Feito)® R$ 4,00.

- Self-Service (Sem Balança)® R$ 7,00.

Num determinado dia, foram vendidas 80 refeições e arrecadou-se R$ 470,00. Determine a quantidade de PF e Self-Service que foram vendidas.

6)     A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades        de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro.

7)     Um motorista de táxi, cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine:

a)  o preço da corrida em função da distância;

b)  o preço de uma corrida de 8 km;

c)  a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida.

8)     Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30. Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano B menos vantajoso do que o     plano A. 

9)     Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por DVD, para não haver prejuízo?

10) Calcule as raízes e esboce os gráficos das seguintes funções:

a)    y = 3x - 1

b)   y = -x + 5

c)    y = 2x2 – 5x + 3

d)   y = -x2 + x + 6

e)   y = -x2 + 10x + 25

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Gráficos e funções

1)   Escrever a equação da reta que passa pelo ponto P com coeficiente angular a.

a)   P(1, 1); a = 1

b)   P(-1, 1); a = -1

2)   Escrever a equação da reta que passa pelos dois pontos dados.

a)   P(0, 0) e Q(2, 3)

b)   P(1, 1) e Q(2, 1)

3)   O gráfico representa a função y = f(x) = ax + b

   

    a)   Calcule a e b.

    b)   Determine as coordenadas dos pontos x e y, em que a reta corta os eixos coordenados.

4)   Calcule as raízes e esboce os gráficos das seguintes funções:

a)  y = 3x - 1

b)    y = -x + 5

c)  y = 3x/2 + 4

d)    y = 2x2 – 5x + 3

e)    y = - x2 + x + 6

f)      y = 25 + 10x + x2

5)   Determine os valores da função f(x), definida por duas partes, para x = -1, x = 0, x = 3 e x = 20.

     f(x) = 1/(x-1), se x < 1 e

     f(x) = 3x2+1   se x > 1

6)   Faça o gráfico da função linear por partes:

     y = f(x) = 2x +1     para x < 1    e

     y = f(x) = x            para x > 1

7)   Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = – 3x² + 60x onde x é a distância e y é a altura da bala do canhão. Determine:

a)   a altura máxima atingida pela bala;

b)   o alcance do disparo.

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lista de exercícios

 

01)   Numa PG  a1 + a2 = 3 e  a4 + a5 = 24, a razão da PG é 

a) 2        b) 3        c) 4        d) 5        e) 6

02) A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é igual a:

a) 2        b) 6        c) 18      d) 5        e) nda.

03) Calcule x, sendo:   5x + x/2 + x/4 + x/8 + ... = 60

a) 45      b) 50      c) 10      d) 9       e) 4

04) A soma dos 9 primeiros termos da seqüência (1, 2, 4, 8,...) é igual a:

a)   63      b) 127     c) 128     d)  255     e) 511

05) A soma dos infinitos termos da P.G. (1/3, 1/6, 1/12, ...) é igual a:

a) 2        b) 1/3        c) 2/3        d) 1/6        e) 1

06) Calcule o valor da seguinte soma:  ( 2 + 3 + 4 + ....+ 99 + 100 + 101)

a) 5050        b) 5051        c) 5049        d) 5055        e) nda

07) O produto dos 25 primeiros termos da PG ( 2, 4, 8, 16, 32, ...) é melhor representado pela alternativa:

a) 2325        b) 225        c) 250        d) 2105        e) nda

08) A sequência ( 1, a, ...) é uma progressão geométrica. O nono termo desta progressão é 256. Encontre um possível valor para a.

09) (FUVEST) Numa progressão geométrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.

10) (MACKENZIE-2000) A seqüência de números reais e positivos dada por (x – 2, (x2 + 11)1/2, 2x + 2,...) é uma progressão geométrica cujo sétimo termo vale:

a) 96     b) 192     c) 484    d) 252    e) 384

11) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 21/2. Se o produto dos termos dessa progressão é  239, então o número de termos é igual a:

a) 12       b) 13       c) 14     d) 15       e) 16

12) Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 0,13232323232....

13) (MACK) – Se f(n), n Î N é uma seqüência definida por:

f(0) = 1

f(n + 1) = f(n) + 3, então f(200) é:

a) 597     b) 600   c) 601    d) 604    e) 607

14) (FUVEST) – Na figura, A1B1 = 3, B1A2 = 2  e os triângulos formados são retângulos. Calcule a soma dos infinitos segmentos:

A1B1 + B1A2 + A2B2 + B2A3  + ....

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lista de exercícios

1)   Escreva o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas:

a)   (1, 2, 4, ...)

b)   (3/5, 3, 15, ...)

c)   (2.21/2, 4, 421/2, ...)

d)   (–3, 18, –108, ...)

 

2)   Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a1 = 3 e q = 2.

 

3)   Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos consecutivos de uma P.G., calcule x de modo que eles sejam positivos.

 

4)   Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G. crescente, determine x.

 

5)   A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o produto, 216. Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule esses números.

 

6)   Classifique em crescente, decrescente ou oscilante as progressões geométricas:

a)   (1000, 100, 10, 1, 1/10)

b)   (1/16, 1/4, 1, 1, 4, 16)

c)   (2, –4, 8, –16)

 

7)   Numa P.G. tem-se a1 = 3 e a8 = 384. Calcule:

a)   a razão;

b)   o terceiro termo.

 

8)   O primeiro termo de uma P.G. é 5.21/2, a razão é 21/2 e o último termo é 80. Calcule:

a)   quantos termos tem essa P.G.;

b)   o seu quinto termo.

 

9)   Considere esta seqüência de figuras. 

 

       Na figura 1, há 1 triângulo.

       Na figura 2, o número de triângulos menores é 4.

       Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e assim por diante.

       Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos triângulos menores na figura 7?

 

10)     O oitavo e o décimo termos de uma seqüência numérica são, respectivamente, 640 e 2.560. Determine o nono termo, no caso de:

a)    a seqüência ser uma progressão aritmética;

b)    a seqüência ser uma progressão geométrica;

 

11)     O segundo termo de uma P.G. decrescente é 9/8 e o quarto é 1/2. Calcule o oitavo termo.

 

12)     Em uma P.G. de razão positiva sabe-se que a4 + a6 = -320 e a4 - a6 = 192

       Determine o quinto termo dessa P.G.

 

13)     Sabendo-se que em uma P.G. a2 + a4 = 60 e a3 + a5 = 180, calcule a6.

 

14)     Calcule:

a)    a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, –6, 18, ...);

b)    a soma dos seis primeiros termos da P.G. (3.31/2, 9, 9. 31/2);

c)    a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16, ...).

d)    Determine a soma dos 6 termos da P.G. crescente em que os extremos são 1/9 e 27.

 

15)     Calcule a soma dos termos da P.G. (2, 2. 51/2, 10, 10. 51/2, 50, 50. 51/2, 250).

 

16)     Escreva a P.G. cuja razão é 3/2 e a soma dos cinco primeiros termos é 422.

 

17)     Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse aceito a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?

 

18)     Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram; no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o total de aves dessa criação?

 

19)     Determine a soma dos termos das seguintes progressões geométricas infinitas:

a)    (10, 4, 8/5, ...)

b)    (3/5, 3/10, 3/20,...)

c)    (100, –10, 1, ...)

d)    (2/10, 2/100, 2/1000,...)

 

20)     A soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita é 128 e a razão é 1/4. Calcule o segundo termo.

 

21)     Uma forte chuva começa a cair na faculdade formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?

 

22)     O primeiro termo e a soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita são, respectivamente,
4 e 12. escrever essa P.G.

 

23)     Resolva as equações em IR:

a)    x + x/3 + x/9 + ... = 9

b)    x + 4x/5 + 16x/25 + ... = 20

 

24)     Determine a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas:

a)    0,4141...

b)    2,333...

c)    1,4333...

 

25)     Um cachorro persegue um coelho. A velocidade do coelho é 1/10 da velocidade do cachorro.
A distância que os separa é de 100 metros. Nessas condições, quando o cachorro vencer os 100 metros, o coelho terá corrido 1/10 do que percorreu o cachorro e ficará 10 metros a sua frente. Quando o cachorro correr esses 10 metros, o coelho terá percorrido 1/10 dessa distância e estará 1 metro a sua frente. Quando o cachorro correr esse metro, o coelho terá corrido 10 centímetros, e assim por diante. Esse raciocínio pode levar muita gente a pensar que o cachorro nunca alcançará o coelho. Assim também pensou o coelho. Azar dele.

Com os recursos estudados é possível determinar em que ponto o cachorro alcançará o coelho. E, então, quantos metros ele deverá correr para alcançar o coelho?

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lista de exercícios

01) Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao longo da mesma rodovia e entre estes quilômetros, pretende-se instalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão situados a uma mesma distância, qual é esta distância, em quilômetros?

 

02) Interpole três meios aritméticos entre 4 e 24:

 

03) Em uma PA, a1 = 5 e r = 4, calcule o vigésimo termo e a soma dos 20 primeiros termos desta PA:

 

04) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos. Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de:

A) 241.       B) 238.       C) 237.      D) 233.     E) 232.

 

05) Um balão viaja a uma altitude de cruzeiro de 6.600 m. Para atingir esta altitude, ele ascende 1.000 m na primeira hora e, em cada hora seguinte, sobe uma altura 50 m menor que a anterior.

Quantas horas leva o balonista para atingir a altitude de vôo?

A) 112 horas       B) 33 horas       C) 8 horas      D) 20 horas    E) 21 horas

 

06) Três números estão em progressão aritmética. A soma dos três números é 21. Assinale a opção que apresenta o valor correto do termo do meio.

A) 2.       B) 6.        C) 7.       D) 5.      E) 9.

 

07) Numa P.A., cujo 20 termo é igual a 5 e o 60 termo é igual a 13, o 200 termo é igual a:

A) 13       B) 40       C) 41       D) 42       E) nda.

 

08) Qual é a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 101?

A) 250       B) 2050       C) 2555       D) 2550       E) zero

 

09) Os números  10/x, x – 3 e x + 3 são os 3 primeiros termos de uma P.A., de termos positivos, sendo x ¹ 0. O décimo termo desta P.A. é igual a:

A) 50       B) 53       C) 54       D) 57       E) 55

 

10) (FGV-2000).Numa progressão aritmética (a1, a2, a3, ..., an, ...), sabe-se que:

a17 = 4m +1

a18 = 15 – m/2

a19 = m2 + 5

Obtenha a razão desta progressão.

 

11) (FUVEST-2000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A(-a, 0), B(0, b) e C(c, 0), é igual a b, então o valor de b é:

A) 5        B) 4        C) 3         D) 2        E) 1

 

12) Os ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética e o menor deles é a metade do maior. O maior ângulo do triângulo mede:

A) 60o     B) 75o    C) 80o    D) 90o    E) 120o

 

13) (VUNESP-2000) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a  produção da fábrica A a partir de :

a) março.     b) maio.     c) julho.     d) setembro.     e) novembro.

 

14) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A., nessa ordem. O lado do quadrado mede:

A) 21/2          B) 2.21/2 - 1       C) 1 + 21/2        D) 4        E) 2. 21/2

 

15) (UFSC) Numa P.A. de n termos, a soma do primeiro com o de ordem n é 120. A soma do sexto termo com o de ordem n - 5 é :

A) 120          B) 60n         C) 90        D) [120(n + 1)]/n        E) 120n

 

16) A soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética (a1, a2, a3, ..., an, ...) é 176. Se a11 = a1 + 30 então, para qualquer n Î N* temos:

A) an = 3n - 2     B) an = 2n – 3      C) an = n + 3      D) an = 2n + 3      E) an = 3n + 2

 

17) A soma dos termos de uma P.A. é dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, .... Então o 10o termo da P.A. vale:

A) 18       B) 90      C) 8        D) 100       E) 9

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lista de exercícios

1.   (ITA) Sejam a,b e c constantes reais com a ¹ 0 formando, nesta ordem, uma progressão aritmética e tais que a soma das raízes da equação ax² + bx + c = 0 é -Ö2. Então uma relação válida entre b e c é:

a) c = b.2-1/2(21/2 – 1)      b) c = b(2 - 21/2)             c) c = b(21/2 – 1)      

d) c = b.21/2                    e) c = b/2.(4 - 21/2)

 

2.   (IME) Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são múltiplos de 6 ou de 14, mas não simultaneamente múltiplos de ambos.

 

3.   (ITA) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não divisíveis nem por 5 e nem por 7 ?

 

4.   (IME) Sejam a,b, c e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que logad, logbd, logcd, são termos consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que:

c2 = (ac)logab

 

5.   (IME) Classifique as séries abaixo em convergente ou divergente:

 

6.    (ITA) Provar que se uma PA é tal que a soma dos seus n primeiros termos é igual a n + 1 vezes a metade do enésimo termo então r = a1.

 

7.   (IME) A soma de três números que formam uma PA crescente é 36. Determine esses números, sabendo que se somarmos 6 unidades ao último, eles passam a constituir uma PG.

 

Gabarito

1) e      2) 20196           3) 6171             4) demonstração

5) a) divergente    b) convergente            c) convergente

6) Demonstração           7) (6,12,18)

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lista de exercícios

1) Nas funções que seguem, construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de f e f -1.

    a) f(x) = 2x + 1                                                   b) f(x) = 1/x

 

2) Obtenha a inversa da função f : IR ® IR, definida por f(x) = 2x + 3. 

 

3) Sejam f : IR ® IR, definida por f(x) = 2x + 3 e g : IR ® IR, definida por g(x) = 3x2 – 5, obtenha g o f  e f o g.  

 

4) Obtenha a inversa da  f : IR ® IR, dada por f(x) = x2 .

      

5) Se f é uma função de IR em IR tal que f(x) = 3x3 + x2, então f(0) + f(1) + f(–1) é igual a:

    a) 0                              b) 1                              c) 2                  d) 3                              e) 4

 

6) Obter a função inversa da f (x) = (2x + 4):(3x - 6).

 

7) Dada a função f(x) = x + 3, determine a função inversa e construa o gráfico de f e f -1.

 

8) (FEI) Se a função real f é definida por f(x) = 1 / (x + 1) para todo x > 0, então f -1 (x) é igual a:

    a) 1 - x          b) x + 1    c) x -1 - 1           d) x -1 + 1          e) 1 / (x + 1)

 

9) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (-3,4) e (3,0). Se f -1 é a função inversa de f, determine f -1(2).

 

10) Sejam os conjuntos A = {x Î R / x ³ 1} e B = {y Î R / y ³ 2} e a função f de A em B definida por f(x) = x2 – 2x - 3.

     Obtenha a função inversa de f.

 

11) Nas funções que seguem, construa num mesmo plano cartesiano os gráficos de f e f -1.

      a) f: R ® R

           f(x) = 2x + 1

 

      b) f: R* ® R*

           f(x) = 1/x

 

12) (UFPA) O gráfico de uma função f(x) = ax + b é uma reta que corta os eixos coordenados nos  pontos (2, 0) e (0, -3).

     O valor de f (f -1(0)) é

     a) 15/2                     b) 0                          c) – 10/3                         d) 10/3                  e) -5/2

 

13) A função cujo gráfico está representado na figura 1 a seguir tem inversa. 

     

     O gráfico de sua inversa é:

    

14) A função inversa da função bijetora f : IR - {-4} ë IR - {2} definida por f(x) = (2x -3):(x + 4) é:

 

15) Seja f : IR ë IR, onde b Î IR e f(x) = (-x/2)+ b  Sabendo-se que fof (4) = 2, a lei que define f -1(x) é:

     a) y = (-x/2) + 2

     b) y = (-x/2) + 3

     c) y = -2x + 4

     d) y = -2x + 6

     e) y = -2x + 8

 

16) Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretária da Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de x por cento da população local era de, aproximadamente, y = 300x / (400 - x) milhares de reais. Nessa expressão, escrevendo-se x em função de y, obtém-se x igual a:

     a) 4/3

     b) 300y / (400 - y)

     c) 300y / (400 + y)

     d) 400y / (300 - y)

     e) 400y / (300 + y)

 

17) Seja f: IR ë IR uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos cartesianos A (1, 2) e B (2, 3), a função f -1(inversa de f ) é:

     a) f -1 (x) = x + 1

     b) f -1 (x) = -x +1

     c) f -1 (x) = x - 1

     d) f -1 (x) = x + 2.

     e) f -1 (x) = -x + 2.

 

18) Seja f a função de IR em IR dada por f(x)= -2x. Um esboço gráfico da função f -1(x), inversa de f, é:

     

19) Determine o valor real de a para que f(x) = (x + 1)/(2x + a) possua como inversa a função f -1(x) = (1 – 3x)/(2x - 1).

 

20) No esquema anterior, f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C. Então:

     a) g(x) = 6x + 5

     b) f(x) = 6x + 5

     c) g(x) = 3x + 2

     d) f(x) = 8x + 6

     e) g(x) = (x - 1)/2

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exercícios de fixação

1. (METODISTA) Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f( x ) = x/3 - 2, então :

a) g(x) = 9x - 15            b) g(x) = 9x + 15       c) g(x) = 15x - 9        d) g(x) = 15x + 9       e) g(x) = 9x – 5

 

2. (METODISTA) O domínio da função real f(g(x)), sabendo-se que f(x) = x1/2 e g(x) = (x2 + x)(x + 2)-1 é:

a) D = {x Î R / x1/2 ¹ -2}       b) D = {x Î R/ x ³ 0 e x ¹ -2}     c) D = {x Î R / -2 < x £ -1 ou x ³ 0}

d) D = {x Î R / -2 £ x £ -1 ou x  ³ 0 }         e) D = {x Î R / -2 < x < -1 ou x³ 0}

 

3. (CESGRANRIO) Para cada inteiro x > 0, f(x) é o número de divisores de x e g(x) é o resto da divisão de x por 5.

Então g(f(45)) é:

a) 4                  b) 3                  c) 2                  d) 1                  e) 0

 

4. (FGV) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 - 1. Então as raízes da equação f(g(x)) = 0 são:

a) inteiras         b)negativas       c)racionais        d)inversas         e)opostas

 

5. (ITA) Sejam f(x) = x2 + 1 e g(x) = x - 1 duas funções reais.

Definimos a função composta de f e g como sendo gof(x) = g(f(x)). Então gof(y - 1) é igual a:

a) y2 - 2y + 1     b) (y - 1)2 + 1     c) y2 + 2y - 2     d) y2 - 2y + 3     e) y2 – 1

 

6. (UEL) A função de R em R é definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então f(f(18)) é igual

a) -2                 b) -1                 c) 1                  d) 4                  e) 5

 

7. (FCG) As funções f e g, de R em R, são definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), então f(m) é um número:

a) primo            b) negativo        c) cubo perfeito       d) menor que 18      e)múltiplo de 12

 

8. (MACK) Seja f: R  R uma função definida por y = f(x).

Sabendo-se que f(0) = 3, f(1) = 2 e f(3) = 0, o valor de x tal que f(f(x+2)) = 3 é:

a) 0                  b) 1                  c) 2                  d) 3                  e) 4

 

9. (PUC-SP) Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:

a) -2                 b) 0                  c) 1                  d) 3                  e) 5

 

10. (MACK) Se f(g(x)) = 2x2 - 4x + 4 e f(x - 2) = x + 2, então o valor de g(2)  é:

a) -2                 b) 2                  c) 0                  d) 3                  e) 5

 

11. (ANGLO) Sendo f(x) = x2 - 1 e g(x) = x + 2, então o conjunto solução da equação f(g(x)) = 0 é:

a) {1, 3}            b) {-1, -3}          c) {1, -3}           d) {-1, 3}           e) { }

 

12. (ANGLO) Sendo f e g funções de R em R, tais que f(x) = 3x - 1 e g(x) = x2, o valor de f(g(f(1))) é:

a) 10                b) 11                c) 12                d) 13                e) 14

 

13. (MACK) Os gráficos das funções reais definidas por f(x) = x² - 1 e g(x) = kx, 1 ¹ k > 0, se interceptam num ponto de abscissa 3. Então o valor de f(g(k)) é:

a) 3                  b) 9                  c) 12                d) 15                e) 18

 

14. (MACK) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, então o valor de k tal que g(f(k)) = 4 é:

a) 1/4               b) 4/5               c) 2                  d) 3                  e) 7/6

 

15. (MACK) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possíveis valores de n é:

a) 6                  b) –12               c) –6                d) –18              e) 12

 

16-(MACK-02) Se x >1 e f (x) = x / (x – 1), então f(f(x + 1)) é igual a:

a) x + 1            b) 1 / (x – 1)       c) x – 1                       d) x / (x – 1)      e) (x + 1) / (x – 1)

 

17. (PUC) Se f e g são funções definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = x² + m x + n, com m ¹ 0 e n ¹ 0, então a soma das raízes de fog é

a) m                 b) – m              c) n                  d) – n               e) m.n

 

18. (UFV) Se f e g são funções reais tais que f(x) = 2x - 2 e f(g(x)) = x + 2, para todo xÎR, então g(f(2)) é igual a:

a) 4                  b) 1                  c) 0                  d) 2                  e) 3

 

19. (MACK) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = ax. O valor de g(g (-1)) + f(g(3)) é:

a) 1         b) 2         c) 3         d) 3/2         e) 5/2

 

20. (UFV) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = 2x + 1 e (fog)(x) = 2x³ - 4x+1.

Determine os valores de x para os quais g(x) > 0.

 

21. (PUCPR) Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [-3; 6] conforme indicado no gráfico.

Deste modo, o valor de f(f(2)) é:

a) 3          b) 0          c) -3         d) -1/2         e) 1

 

22. (UEL) Com respeito à função f: R ® R, cujo gráfico está representado abaixo, é correto afirmar:

a) (f o f)(-2) = 1              b) (f o f)(-1) = 2               c) (f o f)(-2) = -1            d) (f o f)(-1) = 0              e) f(-2) = 1

 

23. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condições ambientais de uma comunidade, com uma população p, em milhares de habitantes:

- C, a taxa média diária de monóxido de carbono no ar, em partes por milhão, corresponde a C(p) = 0,5 p + 1;

- em um determinado tempo t, em anos, p será igual a p(t) = 10 + 0,1 t2.

Em relação à taxa C,

a) expresse-a como uma função do tempo;

b) calcule em quantos anos essa taxa será de 13,2 partes por milhão.

24. (UFMG) Duas funções, f e g, são tais que f(x) = 3x - 1 e f[g(x)] = 2 - 6x. Nessas condições, o valor de g(-1) é:

a) 3                  b) 4                  c) 5                  d) 6

25. (PUC-SP) Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 1 - x². Relativamente ao gráfico da função dada por g(f(x)), é correto afirmar que

a) tangencia o eixo das abscissas.

b) não intercepta o eixo das abscissas.

c) contém o ponto (-2; 0).

d) tem concavidade voltada para cima.

e) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0; -1).

 

26. (UEL) Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = 2x - 1 e f(g(x)) = x² - 1, então g(x) é igual a

a) 2x² + 1                     b) (x/2) - 1          c) x²/2              d) x + 1            e) x + (1/2)

 

27. (MACK) As funções reais f e g são tais que f(g(x)) = x² - 6x + 8 e f(x - 3) = x + 5. Se g (k) é o menor possível, então k vale:

a) 0                  b) 1                  c) 2                  d) 3                  e) 4

 

28. (CESGRANRIO) Com a função f(x), representada no gráfico anterior, e com função g(x), obtém-se a composta g(f(x)) = x. A expressão algébrica que define g(x) é:

a) -x/4 - 1/4       b) -x/4 + 1/4      c) x/4 + 1/4       d) x/4 - 1/4        e) x/4 + 1

 

29. (UFMG) Para função f(x) = 5x + 3 e um número b, tem-se f(f(b)) = - 2.

O valor de b é:

a) -1                 b) -4/5              c) -17/25                       d) -1/5

 

30. (UFMG) Para um número real fixo a , a função f(x) = ax - 2 é tal que f(f(1)) = -3. O valor de a é:

a) 1                  b) 2                  c) 3                  d) 4

 

31. (MACK) No esquema, f e g são funções, respectivamente, de A em B e de B em C.

Então:

a) g(x) = 6x + 5             b) f(x) = 6x + 5              c) g(x) = 3x + 2

d) f(x) = 8x + 6              e) g(x) = (x - 1)/2

 

32. (MACK)Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g.

A soma f(g(1)) + g(f (–1)) é igual a:

a) –1                b) 2                  c) 0                  d) 3                  e) 1

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lista de exercícios

1. (ANGLO) O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto

a) (2, 5)            b) (1, -3)           c) (-1, 11)          d) (3, 1)      e) (1, 3)

 

2. (ANGLO) A função f(x) = x2 - 4x + k  tem o  valor mínimo igual a 8. O valor de k é:

a) 8                  b) 10                c)12                 d) 14                e) 16

 

3. (ANGLO) Se o vértice da parábola dada por y = x2 - 4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é:

a) 0                  b) 5                  c) -5                 d) 9                  e) -9

 

4. (VUNESP) A parábola de equação  y = ax2 passa pelo vértice da parábola  y = 4x - x2.

    Ache o valor de a:

 a) 1                b) 2                   c) 3                             d) -1                             e) nda

 

5. (METODISTA) O valor mínimo da função f(x) = x2 - kx + 15 é -1. O valor de k, sabendo que k < 0 é:

a) -10               b) -8                 c) -6                 d) -1/2              e) -1/8

 

6. (ANGLO) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se:

a) m = 6 ou m = -6            b) -6 < m < 6             c) -6 £ m £ 6           d) m ³ 6            e) m £ 6

 

7. (ANGLO) Considere a parábola de equação y = x2 - 4x + m. Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a:

a) -14               b) -10               c) 2                d) 4                  e) 6

 

8. (VUNESP) O gráfico da função quadrática definida por y = x2 - mx + (m - 1), onde m Î R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa  ax = 2 é:

a) -2                 b) -1                 c) 0                  d) 1                  e) 2

 

9. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = - x2 + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2 £ x £ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas?

a) 20                b) 25                c) 30                d) 35                e) 40

 

10. (FATEC) A distância do vértice da parábola y= -x2 + 8x - 17 ao eixo das abscissas é:

a) 1                  b) 4                  c) 8                  d) 17                e) 34

 

11. (MACK) O  gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (15 - m) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0, k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale:

a) 25              b) 18              c) 12               d) 9              e) 6

 

12. (FUVEST) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 4. Logo, o valor de f(1) é:

a) 1/10              b) 2/10              c) 3/10              d) 4/10              e) 5/10

 

13. (FATEC) O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por    g(x) = (2/9) x2 - (4/3)x + 6. A função f pode ser definida por

a) y = -x² + 6x + 5                b) y = -x² - 6x + 5                 c) y = -x² - 6x - 5              d) y = -x² + 6x – 5                e) y = x² - 6x + 5

 

14. (UFPE) O gráfico da função quadrática y = ax2 + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 - x2 com relação à reta de equação cartesiana y = -2. Determine o valor de 8ª + b + c.

a) – 4               b) 1/2               c) 2                  d) 1                  e) 4

 

15. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor

a) mínimo, igual a -16, para x = 6                      b) mínimo, igual a 16, para x = -12

c) máximo, igual a 56, para x = 6                       d) máximo, igual a 72, para x = 12

 

16. (UFMG) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é

a) y = (x² /5) - 2x

b) y = x² - 10x

c) y = x² + 10x

d) y = (x²/5) - 10x

e) y = (x² /5) + 10x

 

17. A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.

A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é

a) f(x) = -2(x - 1)(x + 3)              b) f(x) = -(x - 1)(x + 3)              c) f(x) = -2(x + 1)(x - 3)            

d) f(x) = (x - 1)(x + 3)                  e) f(x) = 2(x + 1)(x - 3)

 

18. (UFMG) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).

a) Determine a equação da reta r.

b) Determine a equação dessa parábola.

c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola e o outro sobre a reta r.

Determine x para que f(x) seja a maior possível.

 

19. (UFPE) O gráfico da função y = ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:

a) 1, - 6 e 0       b) - 5, 30 e 0     c) -1, 3 e 0       d) -1, 6 e 0       e) -2, 9 e 0

 

20. (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.

A equação da reta r é:

a) y = -2x + 2    b) y = x + 2.      c) y = 2x + 1     d) y = 2x + 2.    e) y = -2x – 2

 

21. (MACK) Se a função real definida por f(x) = -x²+ (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é:

a) -2.           b) -1.            c) 0.             d) 1.            e) 2.

 

22. (GV) A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a

a) 4             b) 2             c) 0             d) -1/2             e) –2

 

23. (UFPE) Qual o maior valor assumido pela função  f:[-7.10] ® R definida por f(x) = x² - 5x + 9?

 

24. O gráfico de f(x) = x² + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então f(-2/3) vale

a) -2/9             b) 2/9               c) -1/4             d) 1/4               e) 4

 

25. (PUCMG) Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é:

a) 3              b) 4               c) 5               d) 6               e) 7

 

26. (UFMG) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é:

a) 1/2               b) 1                  c) 3/2               d) 2

 

27. (UEL) Uma função f, do 2°grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É correto afirmar que o valor

a) mínimo de f é -5/6                 b) máximo de f é -5/6                c) mínimo de f é -13/3

d) máximo de f é -49/9               e) mínimo de f é -49/6

 

28. (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x - 1)(3 - x), é o par ordenado (a, b). Então a -b é igual a:

a) -39/8             b) -11/8             c) 3/8               d) 11/8              e) 39/8

 

29. (UEL) Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas condições, é verdade que

a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2.       b) f(x) = g(x) para x = 4.             c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1.

d) f(x) > g(x) para x > 10.           e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x.

 

30. (PUCCAMP) A soma e o produto das raízes de uma função do 2° grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto

a) (3, -4)           b) (11/2, -4)       c) (0, -4)           d) (-4; 3)           e) (-4, 6)

 

31. (PUCRIO) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x²  e y = 2x² - 1 é:

a) 0.                 b) 1.                 c) 2.                 d) 3.                 e) 4.

 

32. (UFV) O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com  a < 0, passa pelos pontos (-1, 10) e (0, 5). Logo o conjunto de todos os valores possíveis de b é:

a) {b ÎIR / b £ -4}                      b) {b Î IR / b < -5}         c) {b Î IR / b £ -3}

d) {b ÎIR / b £ -2}                       e) {b Î IR / b £ -1}

 

33. (UFMG) Nessa figura, estão representados os gráficos das funções

 

f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5.

Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é

a) 1/2               b) 3/4               c) 1                  d) 5/4

 

34. (UNIFESP) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0, -3) e  (1, -1).

O valor de b é:

a) -2.                b) -1.                c) 0.                 d) 1                  e) 2.

 

35. (PUCCAMP) Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos.

O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a

a) -2                 b) -1                 c) 0                  d) 1                  e) 2

 

36. (PUCCAMP) (Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos.

O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que

a) a velocidade do móvel é nula.

b) a velocidade assume valor máximo.

c) a aceleração é nula.

d) a aceleração assume valor máximo.

e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem.

 

37. (PUCPR) O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8π/7, x Î R:

a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos.

b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos.

c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes.

d) intercepta o eixo das abscissas na origem.

e) não intercepta o eixo das abscissas.

 

38. (UFAL) O gráfico da função quadrática definida por f(x)= 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é

a) 27/8              b) 27/16                        c) 27/32                        d) 27/64                        e) 27/128

 

39. (UFES) O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função

a) y = -(x + 3)²   b) y = -(x - 3)²    c) y = -(x + 3)² - 2           d) y = (x - 3)² - 2          e) y = (x + 3)²

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Exercícios teóricos

1)       Obtenha a lei das funções de 1º grau que passam pelos pares de pontos abaixo:

a)       (-1, 2) e (2, -1)             b)  (-1, 0) e (3, 2)

 

2)       Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico intercepta os eixos coordenados nos pontos (2, 0) e (0, 3).

 

3)       Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico passa pelo ponto (2, 3) e cujo coeficiente linear vale 5.

 

4)       Dada a função y = 3x – 2, calcule os valores de x que tornam a função negativa.

 

5)       Dada a função y = –2x + 1, calcule os valores de x que tornam a função positiva.

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Aplicação prática

1)       O preço a pagar por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa P é composta por duas partes: uma parte fixa, denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número d de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.

      a) Expresse o preço P em função da distância d percorrida.

      b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km?

      c)  Sabendo que a corrida custou R$ 20,00, calcule a distância percorrida pelo táxi.

 

2)       Uma piscina de 30 mil litros, totalmente cheia, precisa ser esvaziada para limpeza e para isso uma bomba que retira água à razão de 100 litros por minuto foi acionada. Baseado nessas informações, pede-se:

      a) a expressão que fornece o volume (V) de água na piscina em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.

      b) a expressão que fornece o volume de água que sai da piscina (VS) em função do tempo (t) que a bomba fica ligada.

      c) o tempo necessário para que a piscina seja esvaziada.

      d) quanto de água ainda terá na piscina após 3 horas de funcionamento da bomba?

      e) o esboço do gráfico que representa o volume de água na piscina em função do tempo em que a bomba fica ligada.

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Exercícios de fixação

1)       Determinar a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é -4.

 

2)       Dadas as funções f(x) = -x + 1/2 e g(x) = 2x - 4, calcule os valores de x para os quais g(x) < f(x).

 

3)       Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos abaixo:

a)       (0, 1) e (1, 4)

b)       (-1, 2) e (1, -1)

 

4)       Faça os gráficos das seguintes funções:

       a)  y = 2x + 3                        b) y = (-3x + 1)/2                    c) y = –x

 

5)       Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.

a)       Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas.

b)       Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00?

c)       Determine o domínio e a imagem desta função.

 

6)       Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás:

a)       Expresse a massa (m) de gás no botijão, em função do número (t) de dias de consumo.

b)       Esboce o gráfico desta função.

c)       Depois de quantos dias o botijão estará vazio?

 

7)       A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linearmente com a temperatura em graus Celsius (C).

a)       Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função.

b)       A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta temperatura em graus Fahrenheit?

c)       A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F.

 

8)       Dois táxis têm preços dados por:

Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado;

Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado.

a)       Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (P e PB) em função da distância percorrida.

b)       Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi?

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1. Princípio fundamental da contagem

1)  Thiago possui 3 blusas diferentes e 2 calças diferentes. De quantas maneiras ele poderá escolher uma blusa e uma calça para se vestir? Resposta:  6

2)  Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto  {1, 2, 3}? Resposta:  9

3) Quantos números de dois algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? Resposta:  6

4) Quantos números de três algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? Resposta:  27

5) Quantos números de três algarismos diferentes (distintos) podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1, 2, 3}? Resposta:  6

6)  Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio? Resposta:  16

7)  Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio utilizando, para sair, um portão diferente do que entrou? Resposta:  12

8)  Mariana desenhou uma bandeira retangular de 3 listras e deseja pintá-la, de modo que duas listras consecutivas não sejam pintadas da mesma cor. Se ela possui 4 lápis de cores diferentes, de quantas maneiras poderá pintar sua bandeira? Resposta:  36

9)  Numa prova havia 4 itens para que os alunos respondessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quantas maneiras diferentes um aluno que vai “chutar” todas as repostas poderá responder esses itens? Resposta:  16

10)  Um painel luminoso retangular é composto por 5 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes esse painel pode estar iluminado? (considera-se o painel iluminado se, pelo menos, uma de suas lâmpadas estiver acesa) Resposta:  31

11)  Quantos numeros de 3 algarismo distintos podem ser formados usando-se os algariasmo 1,2,3,4 e 5?

12)   Um restaurante ofereçe no cardapio 2 saladas distintas,e 4 tipodes de pratos de carne,5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada,um prato de carne,uma bebida e uma sobremesa.De quantas maneiras a pessoa podera fazer seu pedido?

13)  Quatro times de futebol(Vasco,Atletico,Corinthians e Internacional ) disputam um torneio.Quantos e quais são as possibilidades de classificação para os três primeiros lugares?

14)   Numa eleição de uma escolahá 3 candidatos a presidente,cinco a vice-presidente,¨a secretario e 7 a tesoreiro.Quantos podem ser os resultados da eleição?

 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

15) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
a) 30      b) 60      c) 90      d) 120      e) 150
16) Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida?
a) 128      b) 256      c) 512      d) 1024      e) 2048
17) Quantos números de três algarismos podemos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
a) 348      b) 448      c) 548      d) 648      e) 748
18) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
a) 72      b) 144      c) 200      d) 240      e) 288
19) Um jantar constará de três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesa?
a) 160      b) 150      c) 120      d) 80      e) 17 
20) Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras distintas de se entrar nele e sair dele por um porta diferente é:
a) 5      b) 10      c) 15      d) 20      e) 25 
21) Quantos números de 4 algarismos diferentes têm o algarismo da unidade de milhar igual a 3?
a) 1512      b) 1008      c) 504      d) 3024      e) 2520
22) Cinco sinaleiros estão alinhados. Cada um tem três bandeiras: uma amarela, uma verde e uma vermelha. Os cinco sinaleiros levantam uma bandeira cada, ao mesmo tempo, transmitindo-se assim um sinal. A quantidade  de sinais diferentes que se pode transmitir é:
a) 15      b) 125     c) 243      d) 1215      e) 729 
23) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de quatro algarismos distintos. Dentre eles são divisíveis por 5:
a) 20 números      b) 30 números      c) 60 números      d) 120 números      e) 180 números 
24) Uma estrada de ferro tem 10 estações. Quantos tipos distintos de bilhetes existem em circulação, sabendo-se que cada bilhete contém impressos apenas a estação de partida e a estação de chegada? (Supondo que o trem tem vagões de apenas uma classe)
a) 28      b) 45      c) 20      d) 56      e) 90
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2. Fatorial e Permutação

1) Calcule:    a) 5!         b) 6! + 4!        c) (3!)2 – (32)!         d) 10! / 7!          e) 100! / 98!

2) Calcule a soma das raízes da equação  (5x – 7)! = 1

3) Resolva a equação (2x – 3)! = 120

4) Simplifique as expressões:

a) n! / (n - 1)!          b) [n! – (n + 1)!] / n!         c) [(n + 2)! + (n + 1)!. (n - 1)!] / (n + 1)!. (n - 1)

6) Calcule n nas expressões abaixo:

a) [n! + (n + 1)!] / (n +1)! = 6/5          b) [n! + (n - 1)!] / (n +1)! = 1/6           c) [(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) / (n + 1)!] = 1/240

7) (DESAFIO) Por quantos zeros termina o resultado de 1.000!?

8) Com as letras A,B,C,D,E,F e G quantos anagramas de quatro letras distintas podem ser formados? Destes, quantos terminam por vogal?

9) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 e sem repeti-los, quantos são os números maiores que 2000?

10)  Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números, com algarismos distintos, existem entre 700 e 1000?

11)  A quantidade de números pares de 4 algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8 é igual a:

a) 480           b) 240          c) 960          d) 120         e) 2800

12)  Usando-se os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6, existem x números de 4 algarismos, de modo  que  pelo  menos 2 algarismos sejam iguais. O valor de x é:

a) 125        b) 380        c) 620        d) 400        e) 505

13)  A quantidade de números de três algarismos que têm pelo menos dois algarismos repetidos é x. O valor de x é:

a) 762         b) 252          c) 648          d) 810         e) 452

14) De quantas maneiras 5 pessoas podem viajar em um automóvel com 5 lugares, se apenas uma delas sabe dirigir?

15) De quantas maneiras podemos arrumar 5 livros de Matemática e 3 de Física em uma estante? Se desejarmos que os livros de mesma disciplina fiquem juntos, de quantas maneiras eles poderão ser arrumados?

16) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ESTACIO? Desses anagramas:

a) Quantos começam por uma vogal?                            b) Quantos apresentam as vogais juntas?

c) Quantos apresentam as vogais juntas em ordem alfabética?

d) Quantos começam e terminam por uma consoante?    e)  Quantos apresentam a sílaba TA?

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lista de exercícios

Análise Combinatória

1)    Quantas são as diagonais de um decágono? E de um polígono de n lados?

2)    Com 5 alunos da turma M35 e 6 alunos da turma M32, quantos são os grupos de 7 alunos que podemos formar com no mínimo 2 alunos da M35?

3)    De quantas maneiras podem ser escolhidos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par?

4)    Numa cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos , determine o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias.

5)    Um homem possui em sua casa 4 coleções (matemática, física, química e história) com dez volumes numerados cada. Este homem deseja colocar 3 livros de cada coleção na estante de forma agrupada. De quantas maneiras distintas ele pode colocá-los na estante?

6)    Quantos são os grupos que podem ser formados com os 33 alunos da turma M-37?

7)    Considere os números obtidos do número 12345 efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521?

8)    Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser misturadas porque produzem mistura explosiva?

9)    Em um determinado jogo de baralho, todas as 52 cartas são distribuídas igualmente entre os 4 jogadores. Quantas são as possíveis distribuições das cartas?

10)   Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro não pertencentes à mesma face?

11)   Dados 10 pontos do espaço, sendo que qualquer 4 deles nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares?

12)   Numa congregação de 20 professores, 6 lecionam Matemática. De quantos modos podemos formar uma comissão de 5 pessoas, com pelo menos um professor de Matemática?

13)   Qual é o número de maneiras distintas possíveis que dois alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras de uma sala de aula?

14)   Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?

15)   Em uma reunião social haviam n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se que houveram ao todo 66 apertos de mão, determine o número de pessoas que estavam na reunião?

16)   Um conjunto tem k elementos. O número de seus subconjuntos de p elementos é 136, e o número de seus subconjuntos ordenados de p elementos distintos é 272. Determinar k e p.

17)   Uma embarcação deve ser tripulada por 8 homens, 2 dos quais só remam do lado direito e 1 apenas do lado esquerdo. De quantos modos podemos formar uma tripulação, se de cada lado devemos ter 4 tripulantes? ( a ordem dos tripulantes em cada lado distingue as tripulações.)

18)   Na festa de formatura, como uma enorme honraria, 4 alunos dos 23 da turma M-36, serão escolhidos para ter o enorme prazer de sentarem a mesa circular do professor Airton. De quantas maneiras distintas estas 5 pessoas poderão se sentar à mesa?

19)   O “grande” professor Tonhão pede que se monte um grupo de trabalho de 6 alunos, dos 27 da M36. Sabendo-se que o Israel não trabalha em grupos que tenham mulheres (as acha pouco inteligentes) e elas são em número de 17, de quantas maneiras distintas tal grupo pode ser montado?

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lista de exercícios

Análise Combinatória

1)   São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quaisquer dos 12 pontos?

2)   Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PARANAPIACABA? Quantos começam com P e terminam com A? Em quantos aparece a palavra PIABA?

3)   De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá:

a)   os homens e as mulheres agrupados.

b)   homens e mulheres misturados

c)   homens e mulheres alternados

1)   Qual é o total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000?

2)   Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras comparecem sem repetição. Sabendo que o número de anagramas que se obtém permutando as letras desta palavra é 210, calcule n.

3)   Com 7 pontos distintos, 5 sobre uma reta r e 2 sobre uma paralela s, quantos triângulos com a base sobre r podemos formar?

4)   Uma prova consta de 3 partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale 1 ponto, sendo o critério de correção “certo ou errado”. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 10 pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos 3 questões de cada parte e 10 questões no total?

5)   Designando-se por A, B, C, D, E e F seis cidades, qual será o número de maneiras possíveis para se ir de A até F, passando por todas as demais cidades?

6)   Dados 10 pontos do espaço, sendo que apenas 4 deles são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos?

7)   Num tribunal, dez réus devem se julgados isoladamente num mesmo dia; três são paulistas, dois mineiros, três gaúchos e dois baianos. Qual é o número de formas de se julgar consecutivamente os três paulistas?

8)   Um vendedor de livros tem oito livros de assuntos distintos para distribuir a três professores A, B, e C. De quantos modos poderá fazer a distribuição, dando três livros ao professor A, quatro ao B e um livro ao professor C?

9)   Um sistema de códigos é formado por sequências compostas pelos símbolos + e -. Cada sequência contém n símbolos iguais a + e dois símbolos iguais a -. Qual é o mínimo valor de n de modo que cada uma das 26 letras do alfabeto e cada um dos dez algarismos do nosso sistema decimal sejam representados por uma dessas sequências?

10)   Na TV Minas há um programa de entrevistas, chamado “Roda Viva”. Os entrevistadores sentam-se em volta de uma grande roda e o entrevistado senta-se no centro da roda em uma cadeira giratória. Dos oito entrevistadores do próximo programa: dois serão da Folha de São Paulo, dois da Veja e dois de O Canal. Sabendo-se que os jornalistas serão dispostos em torno da roda de modo que colegas de trabalho permaneçam juntos, quantas disposições serão possíveis?

11)   De quantos modos diferentes podem ser dispostos em fila (p+q) pessoas, sendo p homens de alturas diferentes e q mulheres também de alturas diferentes, de modo que, tanto no grupo dos homens como no das mulheres, as pessoas estejam dispostas em ordem crescente de altura?

12)   Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 desejamos formar números com cinco algarismos não repetidos, de modo que o 1 sempre preceda o 5. Qual é a quantidade de números assim constituídos?

13)   Como prêmio pelo “excelente comportamento” nas aulas, será oferecida, a 5 dos 29 alunos da turma M31, uma sensacional viagem para conhecer o Presidio de Neves. Sabendo-se que os inseparáveis, Francisco e Vinícius só viajam juntos, de quantas formas distintas podemos selecionar o grupo felizardo?

14)   Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A, B, C, D e E) em mesa circular. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa?

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lista de exercícios

Análise Combinatória

1.       Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).

2.       Uma urna contém 12 bolas: 5 pretas, 4 brancas e 3 vermelhas. Determine o número de maneiras possíveis de se tirar simultaneamente dessa urna grupos de 6 bolas que contêm pelo menos uma de cada cor.

3.       Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?

4.        Um condomínio tem 5 torres ou pilotis (todas tem comunicação) onde cada torre tem dois elevadores de serviço e um elevador social. O síndico do condomínio resolveu por questão de economia de energia deixar apenas dois elevadores sociais e três elevadores de serviço ligados tendo um elevador de serviço de cada torre. De quantas maneiras distintas podem fazer isto?

5.       Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antônio, L.Felipe, Camila e Milena só irão se forem juntos; de tal forma que Camila e Milena vão sentar lado a lado e o Antônio e o L.Felipe nunca irão sentar lado a lado à mesa. De quantas maneiras distintas podem se sentar?

6.       Os alunos da turma M37 resolveram formar uma banda para tocarem na formatura. A banda será formada por um guitarrista, um vocalista, um baterista e um back vocal. Como o Jonas, o Juliano e a Ana Carolina são super pontuais eles não podem, os três, estarem juntos. De quantas maneiras distintas será possível formar a banda?

7.       Calcule quantos múltiplos de seis, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 6, quando o mesmo é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 quando a soma dos  seus algarismos será um número divisível por 3). football news

8.       Usando-se os algarismos 1,3,5,7 e 9, existem x números de 4 algarismos de modo que pelo menos 2 algarismos sejam iguais. Determine o valor de x.

9.       Seis pessoas A, B, C, D, E e F, ficam em pé uma ao lado da outra, para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em aparecer uma ao lado da outra, determine o número de possibilidades distintas para as seis pessoas se disporem.

10.   Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?

11.   Uma sala tem seis lâmpadas com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?

12.   Dos 35 alunos da M32, 4 serão escolhidos para tirar uma foto a ser publicada. Os inseparáveis Luiz Eduardo, Rafael e Max ( os três mosqueteiros), só vão tirar a foto se forem juntos; de tal forma que Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De quantas maneiras podem posicionar-se para tirar a foto?

13.   Numa excursão irão cinco adolescentes, dois guias e os gêmeos do programa O+(idênticos e lindos),todos com a mesma camisa, de quantas maneiras todos podem posicionar, sendo que pelo menos um dos gêmeos deve aparecer na extremidade.

14.   Determine a quantidade de número de três algarismos que tem pelo menos dois algarismos repetidos.

15.   Dos alunos da M32 serão escolhidos seis para irem a uma viagem. Dentre eles o Marco e a Lívia só irão se forem juntos. De quantas maneiras distintas podemos montar o grupo que irá viajar?

16.   Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser formadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pinta-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?

17.   Para fazer uma prova os alunos Michael, Tiago, Gustavo, Hudson, Aléxis e  Ana Paula resolveram sentar na mesma fila de tal forma que o Aléxis nunca esteja à frente do Hudson e o Michael deve ficar entre o Gustavo e o Tiago. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar?

18.    No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de 20W e 3 de 40W. Devido ao racionamento pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras distintas pode-se iluminar o hall?

19.   Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiro, determine o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros.

20.   Para se fazer uma foto oficial dos formandos de 2001 decidiu-se colocar, lado a lado, todos os representates de turma e seu vice, além do diretor, a vice e o professor paraninfo. Como os alunos de mesma turma devem estar juntos, a vice-diretora terá três duplas de um lado e quatro de outro, e que ela terá o diretor de um lado e o paranifo do outro. Quantas serão as maneiras que poderemos dispolos.

21.   Dos nove alunos da M34 que estão em recuperação em Matemática exatamente três vão ser reprovados. A Cyntia e a Ludmila estudaram juntas, assim a Cyntia passará se a Ludmila passar. Dequantas maneiras distintas podemos ter a lista dos três reprovados.

22.   Com os doze atletas de um time de Volley, de quantas maneiras distintas podemos colocar na quadra seis jogadores, desconsiderando as posições geradas por rodízio?

23.   Para organizar a entrega do diploma, na formatura, a comissão resolveu montar uma fila aleatória para a entrada dos alunos, porém alguns alunos colocaram condições:

·     Rômulo e Cotinho não entram juntos

·     Mac Fly e Erika só entram juntos

Dessa forma de quantas maneiras distintas podera ser orgnizada a fila com os 23 alunos da M36?

24.   Após a colação de grau 6 alunos serão escolhidos para um jantar. A Talita só ira se a Aline for, e vice e versa. Sabendo-se que amba não se sentarão juntas, de quantas maneiras seria possível compor a mesa.

25.   De quantas maneiras distintas posso colocar 10 homens e 10 mulheres em fila sendo que tanto os homens quanto as mulheres se sucedem por ordem de altura? E se só os homens obedessesem esta ordem?

26.   Uma criança possui sete blocos cilíndricos, todos de cores diferentes, cujas bases circulares têm o mesmo raio. Desses blocos, quatro têm altura igual a 20 cm e os outros três têm altura igual a 10 cm. Ao brincar, a criança costuma empilhar alguns desses blocos, formando um cilindro, cuja altura depende dos blocos utilizados. Determine quantos cilindros distintos de 70 cm de altura a criança pode formar.

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lista de Exercícios

Análise Combinatória

1.       Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. Qual o número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas?

2.       Dados os conjuntos {1, 3, 5, 7, 9} e { 2, 4, 6, 8}, calcule o número de conjuntos com elementos distintos que se pode formar, apresentando 3 números ímpares e 2 pares.

3.       Determinar quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das centenas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.

4.       A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João (A), de Maria (B), a escola ( C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

Leste

Norte

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

A

5. Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas?

6. Uma urna tem 5 bolas numeradas.

      a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, sem reposição?

      b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, com reposição?

      c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas simultaneamente?

7. Quantos números de 4 algarismos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7?

8. Com 8 professores, de quantos modos diferentes podemos formar uma banca com 3 membros em que figure sempre um determinado professor?

9. Dentre 6 números positivos e 6 números negativos, de quantos modos podemos escolher quatro números cujo produto seja positivo?

10. Dados 10 pontos do espaço, 4 dos quais nunca são coplanares, qual é o número de planos que podem ser obtidos passando por 3 quaisquer desses pontos? E se exatamente 6 pontos forem coplanares?

11. Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma comissão com 6 membros, se cada comissão deve ter, no mínimo, 3 engenheiros?

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Estamos acompanhando a vacinação de 200 crianças em uma creche.

Analisando as carteiras de vacinação, verificamos que 132 receberam a vacina Sabin, 100 receberam a vacina contra sarampo e 46 receberam as duas vacinas. Vamos orientar os pais das crianças, enviando uma carta para cada um, relatando a vacina faltante.
a) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina Sabin?
b) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam a vacina contra sarampo?
c) Quantos pais serão chamados para que seus filhos recebam as duas vacinas?
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A e B são dois conjuntos tais que A - B tem 30 elementos, A ∩ B tem 10 elementos e AU B tem 48 elementos. Então o número de elementos de B – A é:

a) 8
b) 10
c) 12
d) 18
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O Matematiquês informa: Fumar faz mal à saúde.

Dos 30 candidatos a vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. Quantos candidatos masculinos não fumam?

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Polinômios


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