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Equações do 1º grau

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?    

2) Resolva as equações a seguir:

a) 18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x(x + 6) - x2 = 5x2

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.     

4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x ¹ 0)

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

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Equações do 2º grau

1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:

a) 5x2 - 3x - 2 = 0       b) 3x2  + 55 = 0       c) x2 - 6x = 0       d) x2 - 10x + 25 = 0

2) Achar as raízes das equações:

a) x2 - x - 20 = 0       b) x2 - 3x - 4 = 0        c) x2 - 8x + 7 = 0

3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-  2x-8 = 0? 

4) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c:

5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 

 Exercícios complementares

01. (Unitau) Qual é o valor da soma dos inversos dos quadrados das duas raízes da equação x2 + x+ 1 = 0?

02. Sendo x' e x" as raízes da equação 2x2 - 7x - 9 = 0, calcule o valor das expressões sem resolver a equação.

a) x' + x"         b) x' . x"         c) (x')2 + (x")2         d) 1/x' + 1/x"

03. Subtraindo-se 3 de um certo número, obtém-se o dobro da sua raiz quadrada. Qual é o valor do dobro desse número?

04. (FUVEST-adaptado) Um copo cheio de água pesa 325 g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180 g.

O peso do copo vazio é:

05. (Escola Técnica Federal RJ) A diferença entre os quadrados de dois números inteiros e consecutivos é 29. Desses dois números o maior é:

a) 15      b) 14      c) 16      d) 25      e) 24

06. (Fei) O resultado da operação: (x6 – y6)/(x2 + xy + y2) para x = 6 e y = 4 é igual a:

a) 304      b) 268      c) 560      d) 149      e) 14

07. (FAAP) Uma pessoa investiu 1/2 de seu dinheiro em ações, 1/4 em caderneta de poupança, 1/5 em outro e os restantes R$ 10.000,00 em "commodities". O total investido foi (em R$):

a) R$ 100.000,00       b) R$ 150.000,00       c) R$ 200,000,00      

d) R$ 500,000,00       e) R$ 2.000.000,00

08. (FGV) Se você me der metade de seu dinheiro, terei três vezes mais do que você tinha antes da doação. Juntos, teremos R$ 140,00. Se no contrário eu te desse um quinto do que tenho hoje, eu ficaria com que proporção do que você tem agora, antes de qualquer doação?

a) o quádruplo       b) o triplo       c) a metade

d) o terço               e) o dobro

09. Resolva a equação [x - 4]/[x - 8]=[x - 2]/[x - 4], em R:

10. (Fatec) Sobre as raízes reais da equação 2x + 64/x - 24 = 0, é verdade que

a) uma delas é o dobro da outra.       b) têm sinais contrários.

c) são maiores que 10.                      d) não são inteiras.

e) são inexistentes.

11. (Fuvest) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?

a) 3       b) 4       c) 5       d) 6       e) 7

12. (Fatec) Se a equação x2 - 10x + k = 0 tem uma raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é

a) 100       b) 25       c) 5       d) 1       e) 0

13. (Fuvest) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 5x2 + 20x - 35 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5x1x2 + 2(x1 + x2) é:

14. (F.C.Chagas) O produto das raízes da equação 4/(x - 1)2 - 3/(x - 1)= 1 é

a) 6       b) 5       c) 1       d) -1       e) -6

15. (Puccamp) Considere as seguintes equações:

  I. x2 + 25 = 0        II. x2 - 7 = 0       III. 0,4x = 0,1

Sobre as soluções dessas equações é verdade que em

a) II são números irracionais.       b) III é número irracional.

c) I e II são números reais.          d) I e III são números não reais.

e) II e III são números racionais.

16. O quadrado de um número natural é igual ao seu dobro somado com 24. O triplo desse número menos 5 é igual a:

17. Considere o seguinte problema: "Achar um número que, somando com 1, seja igual ao seu inverso. Qual das equações representa este problema?

a) x2 - x + 1 = 0          b) x2 + x - 1 = 0          c) x2 - x - 1 = 0

d) x2 + x + 2 = 0         e) x2 - x - 2 = 0

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Geometria plana

1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):

2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?

3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?

4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?

5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:

a) a = 25 e b = 12

b) a = 14 e b = 10

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Frações

1) Observe a figura:

  

    a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?

    b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

    c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a)        b)    c)

3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) 3/6 da pizza

b) 5/6 da pizza

c) a pizza toda

4) Se 3/7do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde 4/5 do que eu tenho?

5) Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

a) (7/5) – (3/5) =

b) (4/8) + (2/8) =

c) (3/4) + (5/12) =

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Dízimas periódicas

1) Calcule a dízima periódica e diga se ela é simples ou composta:

a) 5/9     

b) 7/3  

c) 1029/180     

d) 1/36  

e) 5/11     

f) 1/3     

2) Dada a dízima periódica, diga de qual é a fração:

a) 0,44444...     

b) 0,12525...     

c) 0,54545...     

d) 0,04777... 

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Divisibilidade

1) Responda sim ou não:

    a) 24 é múltiplo de 2?    

    b) 52 é múltiplo de 4?    

    c) 50 é multiplo de 8?    

    d) 1995 é múltiplo de 133?    

2) Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por que?

3) Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9:    

4) Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12:    

5) Ache o MMC:

    a) MMC (9, 18)    

    b) MMC (20, 25)    

    c) MMC (4,10)    

6) Complete a tabela:

DIVIDENDO

DIVISOR

QUOCIENTE

RESTO

124

4

31

0

161

5

?

?

31

7

?

?

2020

2

?

?

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Ângulos

1) As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos:

a)   b)   c)  

2) As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?

 

3) Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:

a)              b)

c)  d)

4) Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo:

5) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?

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Trigonometria no triângulo retângulo 1

1) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x

a)         b)  

02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do  mundo.

Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo?

(dados: sen 74º = 0,96¸  cos 74º = 0,28   e    tg74º = 3,4) 

a) 55 m      b) 15 m     c) 45 m     d) 42 m     e) 51 m

03) (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir  uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4Ö3 m e o vão entre elas é de 12 m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.

04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.

05) (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x                       

     

      AD = x      DC = x - 38      BD = y           

06) Com base na figura abaixo é correto afirmar:


      01. h = Ö2 m

02. h = Ö3 m

04. a = (1 + Ö3) m

08. O triângulo ACD é isósceles

16. O lado AC mede 6 m

07) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento,  um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.

Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa?

(sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)

08) Determine o valor de x e y na figura abaixo: 

     

09) (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

       
a)  b cos a        b) a cos a          c) a sen a      d) b tg a       e) b sen a

10) (U.E. Ponta Grossa-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

  
       01. AC = 10 km

       02. AD = 2,5 km

       04. BC = 5Ö3 km

       08. O ângulo BÂD mede 60°

       16. A velocidade média do barco é de 15 km/h

11) (CEFET-PR) Se na figura abaixo AB = 9 cm, o segmento DF mede,  em cm:

   

      a) 5      b) 4      c) 8      d) 7      e) 6

12) (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos2α)x2 – (4cosαsen β)x + (3/2)sen β= 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

 

Pode-se afirmar que as medidas de α e β são respectivamente:

a) p/8 e 3p/8     b) p/6 e p/3      c) p/4 e p/4       d) p/3 e p/6      e) 3p/8 e p/8

13) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC indicado pela figura abaixo:

14) (FUVEST) Dois pontos, A e B, estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75o e o ângulo ACB mede 75o. Determine a largura do rio.

15) (UFSC) Sejam h e y, respectivamente, os comprimentos da altura e do lado AD do paralelogramo ABCD da figura. Conhecendo-se o  ângulo a, o comprimento L do lado AB, em centímetros, é:

h = 12Ö3 cm y = 21 cm  a = 30°

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Trigonometria no triângulo retângulo 2

1. Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos agudos são A e B, a hipotenusa mede 5cm e sen B = 2sen A, encontre as medidas dos catetos.

2. Dado um triângulo ABC onde C = Ö2, o ângulo A = 60º e C= 45º. Calcule os lado a e b.

3. Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo de 60º por um observador com 1,80m de altura que se encontra a 10m do poste. 

4. Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira se eleva verticalmente de quanto?

5. Dados AB = 4 cm, BH = Ö12 cm e AC = (2Ö12)/3 cm, calcule a tangente do ângulo B e C.

   

6. Sabendo que AB = 3cm, ângulo A = 30º e B = 60º, determine h.

   

7. Seja um quadrado ABCD, cujo lado mede L e a diagonal d. Calcule o valor da diagonal por trigonometria.

8. Uma escada está encostada na parte superior de um prédio de 50m de altura, e forma com o solo um ângulo de 60º.

Determine o comprimento da escada.

9. Um navio encontra-se a 100 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do navio sob um ângulo de 30º e desprezando a altura do navio, calcule a altura do farol.

10. Para alcançarmos o 1º andar de um edifício, subimos uma rampa de 6 m que forma com o solo um ângulo de 45º. Qual é a altura desse 1º andar?

11. Calcule o valor de x e y em cada item.

                                    

12. Se a base de um triângulo isósceles mede 14 cm e seu lado mede 25 cm, quanto mede sua altura?

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Trigonometria num triângulo qualquer

01) Em cada figura abaixo, determine o valor do lado desconhecido:

a)     b) 

02) (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75Ö2 cm. A medida, em cm, do lado AB será:

     

03) Na figura, a medida do lado AC é 5Ö2 m. A medida, em cm, do lado AB será:

    

04) (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3Ö2 cm e 5 cm e formam um ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede:

a) 4     b) Ö11    c) 3       d) Ö13     e) 4Ö2

05) (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:

a) 5/6         b) 4/5          c) 3/4           d) 2/3          e) 1/8

06) O triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O e raio R. Dado que AC = 2Ö3 cm,  determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:

       

01. O triângulo ABC é eqüilátero

02. o raio da circunferência vale 2cm

04. = 2Ö2 cm

08. O comprimento da circunferência é 4p cm

07) (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:

a)   1/2        b) 2/3       c) 3/4       d) 4/5       e) 5/6

08) (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BÂC mede:

a)   15°      b) 30°      c) 36°      d) 45°      e) 60°

09) (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e mede o ângulo LÂC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC = 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B?

a)   2Ö2      b) Ö3       c) 2Ö3      d) 3Ö2       e) 4Ö2

10) (UFPR) Num triângulo ABC, o ângulo A = 30° é oposto ao lado a = 15cm. Sabendo que sen B + sen C = 4/3, calcular, em cm, o perímetro do triângulo.

11) (FUVEST) ABC é um triângulo equilátero de lado 4; AM = MC = 2, AP = 3 e PB = 1.

O perímetro do triângulo APM é:


a) 5 + Ö7       b) 5 + Ö10      c)   5 + Ö19          d)  5 +       e)   5 +

 

12) (VUNESP-SP) Os lados de um triângulo medem 2Ö3, Ö6 e 3 + Ö3. Determine o ângulo oposto ao lado que mede Ö6.

a)    30°      b) 45°      c) 60°      d) 90°      e) 120°

13) (FUVEST-SP) Os lados de um triângulo medem Ö5, Ö10 e 5. Calcule:

a)  a medida da projeção do lado menor sobre o lado maior;

b)  o comprimento da altura relativa ao lado maior.

14) Num triângulo ABC, AB = 5 cm, AC = 7 cm e BC = 6 cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.

15) (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, A C = 60° e ABC = 90°.

     

O perímetro do quadrilátero, em cm, é:

a)  11        b) 12       c) 13       d) 14       e) 15

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lista de exercícios

1)   Dados o comprimento  l  do arco AB e o raio da circunferência; calcule a medida do arco em radianos.

a) l = 0,5m e r = 0,25m                               R: 2 rd

b) l = 2 cm e r = 0,04 m                              R:  0,5 rd

c) l = 6 cm e r = 2 cm                                 R:  3 rd

d) l = 0,105 cm e r = 042 cm                       R: 0,25 rd

e) l = p cm e r = 1 cm                                 R: p rd

 f) l = 30 cm e r = 120mm                            R: 2,5 rd 

2)   Determine em cada caso, o raio da circunferência  em que o arco tem medida  m (rd)  e medida  l (cm).     

a) m = 6 rd  e  l = 2 cm                                R: 1/ 3  cm

b) m = p rd  e  l = 3,14 cm                           R: 3,14 / p cm

c) m = 5,4 rd  e  l = 8,1 cm                          R: 1,5 cm

d) m = 5p / 6 rd  e  l = 1 cm                         R: 0,38 cm 

3) Converta em radianos: 

a) 45º                                                         R:  p / 4

b) 120º                                                       R: 2p / 3

c) 210º                                                       R: 7p / 6

d) 15°                                                         R: p / 12

e) 150º                                                       R: 5p / 6

f) 315º                                                        R: 7p / 4

g) 330º                                                       R: 11p / 6

h) 310º                                                       R: 31p / 18

4) Converta em graus:

a) 4p / 3                                                     R: 240

b) p / 8                                                       R: 22,5º

c) 5p / 3                                                     R: 300º

d) 7p / 6                                                     R: 210º

e) 4p / 6                                                     R: 120º

f) p / 12                                                      R: 15º

g) 7p / 8                                                     R: 157,5º

h) 3p / 4                                                     R: 135º

5) Qual a medida em graus de um arco de 1 rd, considerando p = 3,14?

R: 57,32 graus

6) Determine o valor do seno, cosseno e tangente de cada arco:

a) 135°                                                       R: s = Ö2 / 2, c = - Ö2 /2, t = -1

b) 5p / 4                                                     R: s = - Ö2 / 2, c = -Ö2 /2 , t = 1

c) 5p                                                          R: s = 0, c = -1 , t = 0

d) 300º                                                       R: s = - Ö3 / 2, c = 1/2, t = -Ö3

e) 315º                                                        R: s = - Ö2 / 2,  c = Ö2/2, t = -1

f) 4080º                                                       R: s = Ö3 / 2, c = -1/2, t = -Ö3

g) 13p / 6                                                    R: s = 1 / 2, c = Ö3/2, t = Ö3/3

7) Calcule o valor de  n  em cada caso:

a) n =  4. sen p/6 + 2. sen p/2 - 3. sen 5p/3                             R: (8 + 3Ö3)/2

b) n = (sen p/6 + sen p/3) / (sen p - sen p/4)                            R: - (Ö2 +Ö6)/2

c) n = [sen 1080º + sen (-315º)] / (sen 405º - sen 11p)               R: 1

d) n = 3.cos p/3  - 4.cos p/2  -  6.cos 7p/6                                R: (3 + 6Ö3)/2

e) n = (cos p/4  + cos p/3) / (1+ cos 2p)                                   R: (Ö2 + 1)/4

f)  n = 4.tg p/4  -  2.tg 5p/3  +  3.tg 11p/6                                  R: 4 - Ö3

g) n = (tg 3p/4  -  tg p/6) / (1 + tg 5p/3)                                     R:   (3 + 2Ö3)/3

h) n = (tg 4p  - tg 11p/6) / (2 - tg 7p/4)                                      R: Ö3 / 9 

8) Verdadeiro ou  Falso:

a) sen 45º = sen 225º                                                R: F

b) sen 45º = sen 135º                                                R: V

c) sen p/3 = - sen (-p/3)                                             R: V

d) sen (2p - x ) = sen x                                              R: F

e) sen(p + a) = - sen a                                               R: V

f) cos 30º = cos 150º                                                 R: F

g) cos p/6 = cos (2p - p/6)                                         R: V

h) cos 150º = sen 150º                                              R: F

i)  cos 11p/4 = sen 11p/4                                           R: F

j)  sen 70º = cos 20º                                                  R: V

k) tg 30º = tg 210º                                                     R: V

l)  tg (-60º) = - tg 60º                                                  R: V

m) tg 11p/6 = - tg p/6                                                 R: V

n) tg (2p - x) = tg x                                                     R: F

o) tg (p + x) = tg x                                                      R: V

p) tg (p - x) = - tg x                                                     R: V

q) tg (2p + x) = tg x                                                    R: V

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lista de exercícios

EQUAÇÕES  TRIGONOMÉTRICAS:

Dê o conjunto solução em  0 £ x < 2p:

SENO

9) sen x = - 1/2                                                                S = { 7p/6 , 11p/6 }

10) sen x = 2                                                                   S = {  }

11) 2 sen2x + sen x = 1                                                   S = {3p/2 , p/6 , 5p/6 }

12) 2 sen2x - sen x = 0                                                    S = { 0 , p , p/6 , 5p/6 }

13) 2 sen2x = Ö3 sen x                                                    S = { 0 , p , p/3 , 2p/3 }

14) Ö2 sen2x = sen x                                                       S = { 0 , p , p/4 , 3p/4 }

15) sen2x = 1/2 . sen x                                                    S = { 0 , p/6 , 5p/6 , p }

16)  sen x = 1/2                                                               S = { p/6 , 5p/6 }

17) sen x = Ö3/2                                                              S = { p/3 , 2p/3 }

18) 2sen2x - 3sen x + 1 = 0                                             S = { p/2 , p/6 , 5p/6 }

19) sen2x – 2 sen x + 1 = 0                                             S = { p / 2 }

20) 2 sen2x – 1 = 0                                                         S = [ p / 4 , 3p/ 4 , 5p/ 4 , 7p/ 4}

21) sen ( 3x  -   p / 6) = 0                                                S = { p/ 18 ,  7p/ 18 }

COSSENO

22) cos2x - 2 cos x = 0                                                     S = { p/2 , 3p/2 }

23) - 1/2 + cos2x = 0                                                         S = { p/4 , 3p/4 , 5p/4 , 7p/4 }

24) 2 cos2x - cos x = 0                                                     S = { p/2 , 3p/2 , p/3 , 5p/3 }

25) 4 cos2x - 2 = 0                                                           S = { p/4 , 7p/4 , 3p/4 , 5p/4 }

26) cos x = -1                                                                   S = { p }

27) cos2x = 1                                                                    S = { 0 , p }

28) 1 - 2cos x = 0                                                             S = { p/3 , 5p/3 }

29) 2 cos2x + cos x - 1 = 0                                               S = { p , p/3 , 5p/3 }

30) 2 cos2x - cos x - 1 = 0                                                S = { 0 , 2p/3 , 4p/3 }

31) cos2x - 4 cos x + 3 = 0                                               S = { 0 }

TANGENTE

32) tg2x = 1                                                                      S = { p/4 , 3p/4 , 5p/4 , 7p/4 }

33) 3tg x + 3Ö3 = 0                                                          S = { 2p/3 , 5p/3 }

34) tg2x + (1 - Ö3).tg x - Ö3 = 0 (1 - Ö3 = a, -Ö3 = a – 1, y = -1 ou Ö3)  S = {3p/4 , 7p/4 , p/3 , 4p/3}

35) tg x + 1 / tg x = 2                                                       S = { p/4 , 5p/4 }

36) tg x = Ö3/3                                                                 S = { p/6 , 7p/6 }

37) tg x = Ö3                                                                    S = { p/3 ,4p/3 }

38) tg x = -Ö3/3                                                                S = { 5p/6 , 11p/6 }

39) tg x = - Ö3                                                                  S = { 2p/3 , 5p/3 }

40) 4 tg2x -12 = 0                                                             S = { p/3 , 2p/3 , 4p/3 , 5p/3 }

41)  tg x = Ö3/3                                                                S = { p/6 , 7p/6 }

42) tg2x + tg x = 0                                                            S = { o , p , 3p/4 , 7p/4 }

43) 1 / tg x = - Ö3                                                             S = { 5p/6 , 11p/6 }

44) tg2x - Ö3.tg x = 0                                                        S = { 0 , p/3 , p , 4p/3 }

45) tg2x  = tg x                             &

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lista de exercícios

RELAÇÕES  DECORRENTES:

Simplifique cada uma das expressões:

67) (1 - sen2 x) / cós x                                    R: cos x

68) (cos2 x  - 1) / cotg x                                  R: (- sen3 x) / cos x

69) (sec2 x  - 1) . cotg x                                  R: tg x

70) (1 + tg2) / sec x                                         R: sec x

71) (sen x + tg x) / (cos x + 1)                        R: tg x

72) (sen x - 2 sen3 x)/(2.cos3 x - cos x (lembre-se: cos2x = 2cos2x –1 ou 1 – 2 sen2x)    R : tg x

73) (senx + cos x)/(sec x  + cossec x)            R: sen x . cos x

Verifique as Identidades:

74)  sen x . cos x . sec x . cossec x  =  1

75) tg x + cotg x  =  sec x . cossec x

76) cos x + tg x . sen x  = sec x

77) (tg x - cotg x)/( tg x + cotg x) =  2 sen2 x - 1

78) (1 - cos x) / sen x = sen x / (1 + cos x)

79)  cotg x + tg x  = cotg x . sec2 x

 

ADIÇÃO  E  SUBTRAÇÃO  DE  ARCOS

Calcule o valor:

80) cos 105º                                                                                           R: (Ö2 - Ö6)/4

81) sen 285º    (-sen75; 150+135; 225+60; 270+15; 360-75; 315-30)   R: (-Ö6 - Ö2)/4

82) tg 345º   (-tg15; tg165;  120+45)                                                      R: Ö3 - 2

83) cos 255º   ( -cos 75; 120 +135)                                                        R: (Ö2 - Ö6)/4

84) cos 75º                                                                                             R: (Ö6 - Ö2)/4              

85) cos 15º                                                                                             R: (Ö6 + Ö2)/4

80) sen 75º                                                                                             R: (Ö6 + Ö2)/4

86) sen 15º                                                                                             R: (Ö6 - Ö2)/4

87) tg 75º                                                                                                R: 2 + Ö3

88) tg 15º                                                                                                R: 2 - Ö3   

Sendo  sen x = 4/ 5   e cos y = 12/13 ,   em  0 £  x £  p/2 e  0 £ y £ p/2,  determine:    

89)  sen ( x + y )                                                              R: 63/ 65      cosx= 3/5

90) sen ( x - y )                                                                R: 33/65       seny = 5/13

91) cos ( x + y )                                                               R: 16/65       tgx = 4/3

92) cos ( x - y )                                                                R:  56/65      tgy = 5/12

93) tg ( x + y )                                                                  R:  63/16

94) tg ( x - y )                                                                   R:  33/56

Simplifique as expressões:

95) sen (x + y) + sen (x - y)                                             R: 2.sen x . cos y

96) sen (x - y) . cos y  + cos (x - y) . sen y                      R:  sen x

97) cos (x + y) . cos y  +  sen (x + y) . sen y                   R: cos x

98) cos (x + y) + cos (x - y)                                             R: 2. cos x . cos y

 

ARCOS DUPLOS

Em cada caso, determine os valores  de sen 2x, cos 2x, tg 2x  e o quadrante  ao   qual pertence  a extremidade do arco 2x:

99) sen x = 4/5 e  x Î 1º Quad.                        R: s = 24/25, c = -7/25, t = -24/7; 2x Î 2º Q

100) sen x = 5/13  e x Î 1º Q                           R: s = 120/169, c = 119/169,  t = 120/119; 2x Î 1º Q

101) cos x = - 4/5  e x e 3º Q                            R: s = 24/25, c = 7/25, t = 24/7;  2x Î 1º Q

102) cos x = - 3/5  e x Î 2º Q                           R: s = -24/25, c = -7/25, t = 24/7;  2x Î 3º Q

103) tg x = 4/3  e x Î 3º Q    senx=-4/5            R: s = 24/25, c = -7/25, t = -24/7; 2x Î 2º Q

                                             cosx= -3/5

104) tg x =  -3/4  e x Î 4º Q                             R: s = -24/25, c = 7/25, t = -24/7; 2x Î 4º Q

105) Sabendo  que sen x = 3/5, cos y = -5/13 e que  x  e  y  tem extremidades no 2º quadrante, determine o valor de  sen ( 2x + 2y ) .

         R : 2016 / 4225     cosx= -4/5 e seny = 12/13   sen2x= -24/25; sen2y = -120/169; cos2x = 7/25; cos2y = -119/169

                                       Sen2x = 2senx.cosx ; cos 2x= cos2x – sen2x    ( 25.169=4225 e 24.(-119)= -2856)

106) Sabendo que  cos x = -3/5 e que sen x  < 0, determine o valor de  tg ( 3p/4  + 2x ).

         R : 31 / 17       senx = -4/5  ; tgx = 4/3 ;   tg 2x= -24/7

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lista de exercícios

1) Considere o polinômio p(x) = 2x3 - x2 + kx + 5. Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de P(x). R: K = 2

2) Calcule o quociente e o resto da divisão de:

3) Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada:

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Produtos notáveis e fatoração

1) Simplifique as expressões:

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exercícios resolvidos

1) Quadrado da soma: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Ex: (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3.2x + 22 = 9x2 + 12x + 4

2) Quadrado da diferença: (x - y)2 = x2 - 2xy + y2

Ex: (3 – 4x)2 = 32 – 2.3.4x + (4x)2 = 9 – 24x + 16x2

3) Cubo da soma: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Ex: (x + 2)3 = x3 + 3x2.2 + 3x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8

4) Cubo da diferença: (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Ex: (2x - 1)3 = (2x)3 - 3(2x)2.1 + 3(2x).12 - 13 = 8x3 - 12x2 + 6x - 1

5) Produto da soma pela diferença: (x + y)(x - y) = x2 – y2

Ex: (x + 2)(x - 2) = x2 – 22 = x2 – 4

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Fatoração

1) Fator comum: colocar o termo comum em evidencia.

Ex: 6x3 - 12x2 + 18x = 6x (x2 - 2x + 3)

2) Trinômio quadrado perfeito:

Reconhecemos um trinômio quadrado perfeito se:

a) dois termos são quadrados perfeitos

b) o 3º termo é igual ao dobro do produto das raízes desses quadrados perfeitos.

Ex: 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2.3x.1 + 12 = (3x + 1)2

      4 – 4x + x2 = 22 – 2.2.x + x2 = (2 – x)2

3) Diferença de quadrados: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Ex: 16x2 – 9 = (4x)2 – 32 = (4x + 3)(4x – 3)

       X2 – 5 = x2 – (Ö5)2 = (x + Ö5)(x - Ö5)

4) Diferença de cubos: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2),

Ex: 8x3 – 27 = (2x)3 – 33 = (2x – 3)(4x2 + 6x + 9)

5) Soma de cubos: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2),

    Ex: 27x3 + 1 = (3x)3 + 13 = (3x + 1)(9x2 - 3x + 1)

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lista de exercícios

1. Quais os valores de A e B de forma que?

2. Dos polinômios abaixo, qual o único que pode ser identicamente nulo?

a.   a2 . x3 + (a – 1)x2 – (7-b)x

b.   (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1)

c.   (a2 + 1)x3 – (a – 1)x2

d.   (a – 1)x3 – (b + 3)x2 + (a – 1)

e.   a2 x3 - (3 + b) x2 - 5x

3. Dados os polinômios p, q e r de graus 2, 4 e 5,respectivamente,é verdade que o grau de p + q + r :

a.   não pode ser determinados;

b.   pode ser igual a 2;

c.   pode ser igual a 4;

d.   pode ser menor que 5;

e.   é igual a 5;

4. Se os polinômios x2 – x + 4 e (x – a)2 + (x + b) são idênticos, então calcule a + b.

5. Se com x ≠ 0 e x ≠ -1, calcule o produto (A.B).

6. Que valores de a e b tornam idênticos os polinômios P1(x) = x2 – x – 6 e P2(x) = (x + a)2 – b?

7. Sendo f, g e h polinômios de graus 4 ,6 e 3, respectivamente, o grau de (f + g).h será:

8. Se P(x) é um polinômio de grau 5, qual o grau de [P(x)]3 + [P(x)]2 + 2P(x) é:

9. Se A(x – 3)(x – 2) + Bx( x - 3 ) + Cx(x – 2) = 12, calcule os valores de A, B e C.

10. Se os polinômios P(x) = 4x4 – (r + 2)x3 – 5 e Q(x) = sx4 + 5x3 – 5 são idênticos, qual o valor de r3 – s3?

11. Dado o polinômio P(x) = x3 – 2x2 + mx – 1, onde m Î R e seja P(a) o valor de P para x = a.

Se P(2) = 3.P(0), calcule P(m).

12. Sejam os polinômios f = 2x3 – 3x2 + 3; g = x2 + 3 e h = x3 – 2x2. Calcule os números reais a e b, tais que f = ag + bh.

13. Dado o polinômio P(x) = xn + xn-1 +...+ x2 + x + 3, se n for ímpar, calcule P(-1).

14. Qual o grau do polinômio P(x) = (x – 1).(x – 2)2.(x – 3)3 .(…).(x – 10)10?

15. Qual o valor de m.n.p para que o polinômio - 2 seja identicamente nulo?

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lista de exercícios

1) UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x:

P = -2x3 - 2x2 + 2x -1 ; Q = ( 2x2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3.

Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente iguais a:

Resp: x2 + (3/4)x + 13/16 e -7/16

2) UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2 , Q = ( 4 + 25x2 )2 e R = 5x + 2; então (PR)2 - Q é:
Resp: - 400x2

3) UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x3 + ax + b por Q(x) = x2 + x + 2 é 4, então a + b vale:

Resp: 3

4) UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x3 + 9x2 - 2x -1 = 0 está contido em:

a) [-2,-1)
*b) [-1,1)
c) [1,2)
d) [2,3)
e) [3,4)

5) UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é:

Resp: 3/2

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1) Sendo z = (m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 1) i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m = 2 ou m = 3.

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2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)^12.

Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.

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3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)^200.

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.

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lista de exercícios

1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180

2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15, calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 - UCMG - O número complexo 2.O, tal que 5z + Ō = 12 + 6i é:

4 - UCSal - Para que o produto (a + i). (3 - 2i) seja real, a deve ser:

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:

7 - Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.   Resp: 3

8 - Calcule [(1 + i)80 + (1 + i)82] : i96.240.   Resp: 1 + 2i

9 - Se os números complexos z e w são tais que z = 2 - 5i e w = a + bi , sabendo-se que z + w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.   Resp: 50

10 - Se o número complexo z = 1 - i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.  Resp: 32i

11 - Determine o número complexo z tal que i.O + 2.Ō + 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:
a) -3i       b) 1 - i       c) 5/2 + (5/2)i       d) 5/2 - (3/2)i       e) 1/2 - (3/2)i

13 - UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1 + 2i       b) 1 + 2i       c) 1 - 2i       d) 3 - 4i       e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10       b) 5 e 10       c) 7 e 9       d) 5 e 9       e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a)
Ö13      b) 7       c) 13       d) 7       e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1 + i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16       b) 161       c) 32       d) 32i       e) 32 + 16i

17 - UCSal - Sabendo que (1 + i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1 + i)48 - (1 + i)49 é:
a) 1 + i       b) -1 + i       c) 224 . i       d) 248 . i       e) -224 . i

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Descontos comerciais

1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?     Resposta: R$ 225,00

2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$ 1.000,00 e o valor líquido de R$ 880,00?    Resposta: 3% am

3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir:

    A) 6.000    15 dias

    B) 3.500    25 dias

C) 2.500    45 dias         Resposta: R$ 11.768,00

4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um banco à taxa 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.    Resposta: R$ 29.408,00

5) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu um desconto de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. Resposta: R$ 92 dias

6)  Se você depositar hoje R$ 2.000,00 numa aplicação que rende 1,5% ao mês no regime de juros simples, qual será o saldo da sua aplicação ao final de 2 anos.

7) Um investidor aplicou uma determinada quantia numa instituição financeira pelo prazo de 180 dias e recebeu o montante de R$ 5.896,00. Sabendo-se que a instituição remunera suas aplicações numa taxa mensal simples de 1,2% a.m., determine o valor da quantia inicial aplicada.

8) Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um montante de R$ 1.700,00 no prazo de 36 meses. Determine qual a taxa mensal de juros simples relativa à operação.

9) Um investidor deseja aplicar uma quantia de R$ 12.000,00 a uma taxa mensal simples de 1,8% a.m. Depois de quanto tempo o investidor terá acumulado um montante de R$ 13.944,00?

10) Qual é o valor de face de um título comprado por R$ 15.000,00, com prazo de 5 meses à taxa de 4% ao mês?

11) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 180.000,00 com valor de face de R$ 360.000,00 e prazo de 4 anos, determinar a taxa de juros mensal simples desse título.

12) Determine o valor de compra de um título que possui um valor de face de R$ 292.800,00 com 2 anos de prazo à uma taxa de 6% a.m.

13) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 700.000,00 com valor de face de R$ 896.000,00 e taxa simples de 8% ao ano, determinar o prazo desse título.

 

Exercícios de fixação

1) Ao se apresentar um título para desconto por fora, 3 meses antes do seu vencimento, à taxa simples de 3,10% a.m., obteve-se $ 4.650,00 de desconto. Determinar os valores atual e nominal do título.

2) Determinar o prazo de um título de $ 65.000,00 que, descontado à taxa de 3,30% a.m., resultou em $ 58.279,00 de valor líquido.

3) Determinar o valor de uma NP com prazo de 35 dias que, descontada à taxa de 20% a.m. permita creditar $ 1.000,00 ao emissor.

4) Uma pessoa apresenta 3 duplicatas para desconto à taxa de 21% a.m.:

a 1ª de $ 150 M e 18 dias de prazo

a 2ª de $ 200 M e 30 dias de prazo e

a 3ª de 60 M e 50 dias de prazo.

Determinar o valor líquido e a taxa efetiva anual.

5) Um banco oferece a seus clientes uma taxa de 4,80% a.m. para desconto de títulos e cobra uma tarifa de $ 6,00 por título para realizar a operação. Qual será o valor líquido recebido pelo cliente no desconto dos seguintes títulos: $ 1.500,00 p/ 30 dias, $ 2.300,00 p/ 39 dias e $5.900,00 p/ 45 dias. Pede-se também para calcular qual foi o custo efetivo do período desta operação para o cliente.

6) Calcular o valor líquido e a taxa mensal de juros efetivos da operação de desconto dos seguintes títulos: $ 1.200,00 p/ 21 dias, $ 1.900,00 p/ 30 dias, $ 8.300,00 p/ 45 dias e $ 9.000,00 p/ 45 dias. O banco cobra uma taxa de 3,20% a.m. e uma tarifa de $9,00 por título.

7) Uma empresa tem duas opções para descontar seus títulos:

1ª Um banco oferece uma taxa de 3,90% a.m. + uma tarifa de $ 6,00 por título.

2ª Uma factoring oferece uma taxa de 4,90% a.m. + uma tarifa de $ 6,50 por título.

O título a ser descontado é de $ 10.680,00 p/ 45 dias. Neste caso a empresa sabe que seu cliente não cumprirá com o prazo e espera que o título seja pago com um prazo de 50 dias.

Quando isto acontece, o banco debita imediatamente o valor do título na conta da empresa e caso esta não tenha saldo suficiente, o banco cobra 11% a.m. pelo saldo devedor. Já a empresa de factoring costuma esperar uns dias até que seja efetuado o pagamento e por um atraso de até 5 dias não cobra juros de seus clientes.

Qual das opções será mais barata para a empresa, considerando que o cliente vai atrasar em 5 dias o pagamento e que a empresa não terá saldo suficiente em banco para o débito deste título?

 

Exercícios complementares

1- Achar 0,5% de R$ 1.346,50.            Resposta: R$ 6,73

2- Achar 108% de R$ 1.250,25.           Resposta: R$ 1.350,27

3- Achar 100% de R$ 6.889,85.           Resposta: R$ 6.889,85

4- Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 60,00. De quanto por cento foi o prejuízo? Resposta: 25%

5- Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?  Resposta: 20%

6- Um produto comprado por R$ 4,00 é vendido por R$ 6,00. De quanto foi o lucro percentual? Resposta: 50%

7- Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido por 20% abaixo do custo. De quanto é o prejuízo? Resposta: R$ 8,00

8- Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo. Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro?            Resposta: R$ 30.000,00; 33,33%

9- Um negociante ganhou sobre o custo de 32 metros de mercadorias 16% ou R$ 6,40. Qual o custo de cada metro?   Resposta: R$ 1,25

10- Um negociante ganhou neste ano R$ 1.980,00 de lucro, isto é, 20% mais do que no ano anterior. Qual foi o seu lucro no ano anterior?   Resposta: R$ 1.650,00

11- Um objeto custou R$ 4,50 e foi vendido por R$ 9,0. Qual o percentual de lucro?  Resposta: 100%

12- Um produto é vendido por R$ 1.850,00 com 15% de lucro. Se o preço de venda fosse R$ 2.210,00, qual seria o percentual de lucro?   Resposta: 37,38%

13- Certas mercadorias custaram R$ 7.200,00 e foram vendidas com lucro de 3,5%. Qual o preço de venda?    Resposta: R$ 7.452,00

14- Certas mercadorias custaram R$ 4.800,00 e foram vendidas com prejuízo de 5,25%. Qual o preço de venda?    Resposta: R$ 7.452,00

15- Um objeto foi vendido por R$ 574,00 e deu 2,5% de lucro. Qual o custo?   Resposta: R$ 560,00

16- Um objeto foi vendido por R$ 346,50 com prejuízo de 3,75% de lucro. Qual o custo?         Resposta: R$ 360,00

17- Quanto deve ser receber um vendedor, tendo ele vendido uma mercadoria por R$ 180,00, sendo 4% a sua comissão, e uma outra por R$ 119,00, sendo 3% a sua comissão?   Resposta: R$ 10,77

18- Um objeto vale R$ 190,00. O seguro desse objeto é pago na razão de 5% sobre o seu valor. Que valor se deve atribuir a esse objeto de modo que a pessoa que paga o seguro, em caso de sinistro, receba não só o valor do objeto segurado, mas também a porcentagem ou prêmio do seguro pago à companhia?     Resposta: R$ 200,00

19- Foram compradas 325 caixas de certa mercadoria a R$ 42,50 por caixa com despesas de compra de 5% a ser paga pelo comprador. Este revendeu a mercadoria a R$ 48,15 a caixa com despesas de 3% a deduzir do preço de venda. Qual o lucro total da venda? Qual o lucro por caixa? Qual o percentual de lucro?     Resposta: R$ 676,17; R$ 2,08 e 4,66%

 

“Dicas Quentes”

Lucro = Custo x taxa    Þ   Custo = Lucro / taxa

Taxa = Lucro ou Abatimento / Preço de Venda

Lucro = Preço de venda x Taxa / (1 + Taxa)

Taxa = [Preço de Venda / (Preço de Venda  – Lucro)] - 1

Prejuízo = [Preço de Venda / (1 – Taxa)] / Preço de Venda

Preço Líquido = Preço Bruto x (1 – Taxa)

Preço Bruto = Preço Líquido / (1 – Taxa)

Taxa = [Abatimento / (Abatimento + Preço Líquido)]

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Juros simples

1) Calcular as taxas bimestral e trimestral proporcionais e equivalentes as seguintes taxas:

a) 2.500% a.a.

b) 150% a cada 7 meses

c) 11% a cada 9 dias

d) 6.000% ao triênio

e) 1,32% ao dia

2) Calcular o montante de:

a) $ 5.000 a 32,32% a.m. por um dia

b) $ 3.000 a 27% a.m. por 12 dias

c) $ 6.000 a 725,87% a.a. por 4 meses

d) $ 1.000 a 1.200% a.a. por 6 meses e 23 dias

e) $ 4.000 a 34% a.m. por 44 dias

f) $ 2.000 a 2.500% a.a. por 2 anos 3 meses e 11 dias

3) Determine a taxa de juros mensal e anual que eleva um capital de $ 3.000 a:

a) $ 3.500 depois de 1ano

b) $ 3.600 depois de 30 dias

c) $ 3.700 depois de 49 dias

d) $ 3.800 depois de 2 meses e 19 dias

e) $ 4.300 depois de 2 anos 7 meses e 11 dias

4) Determine o valor de uma aplicação que rende:

a) $ 2.500 a 29,65% a.m. em 1 dia

b) $ 2.600 a 3.000% a.a. em 28 dias

c) $ 2.700 a 31% a.m. em 10 dias

d) $ 2.100 a 2.500% a.a. em 1 ano 3 meses e 3 dias

 

Exercícios complementares

1)   Pedro pagou ao Banco do Brasil S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco?

       Resposta: 11,95% am

2)   Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês?     Resposta: 15,6 meses ou 15 meses e 18 dias

3)   Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após 6 meses Salim resolveu cobrar sua dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Salim. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros?  Resposta: 58,33% as  e  9,72% am

4)   Qual será o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45%  ao mês?     Resposta: R$ 88.672,03

5)   Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa de aplicação foi de 1,77% ao mês.     Resposta: R$ 80.000,00

6)   Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/09 sendo quitada em 15/03/09, com taxa de 48% ao ano. Determine os juros exato (365 dias) e comercial (360 dias) pagos nesta operação.

       Resposta: R$ 800,88  e  R$ 812,00

7)   Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês?    Resposta: R$ 875,00

8)   Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a taxa correspondente.   Resposta: 0,025  ou  2,5% am

9)  Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunta-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

       Resposta: 0,049028ad ou 17,65% aa

10)  Sabe-se que os juros de R$ 7.800.00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9750,00, à taxa de 5% ao trimestre, pede-se que seja calculado o prazo.    Resposta: 16 trimestres

11)  Qual o capital que, aplicado à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?

       Resposta: R$ 2.827,38

12)  Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros.   Resposta: 5,74% am

13) Calcular o valor dos juros e do valor futuro de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita à taxa de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. Resposta: R$ 821,18 e $ 821,18 e R$ 21.971,18

14) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês.   Resposta: R$ 9.834,51

15) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 56.737,59, sabendo-se que a taxa de juros é de 2,8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu vencimento.

       Resposta: R$ 52.340,95

16)  Em quanto tempo um capital aplicado a 3,05% ao mês dobra o seu valor?

       Resposta: 32,79 meses ou 32 meses e 24 dias

17)  Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2.500,00 a 7% ao ano durante 3 anos?

       Resposta: R$ 525,00

18)  Em que tempo um capital qualquer, aplicado a 15% ao ano, poderá triplicar o valor?  

       Resposta: 13 anos e 4 meses

19) A que taxa um capital de R$ 175,00 durante 3 anos, 7 meses e 6 dias produz um montante de       R$ 508,25?     Resposta: 0,146936% ad; 4,408069% am e 52,896825 aa

20) O valor futuro de uma aplicação financeira é R$ 571,20. Sabendo-se que o período desta aplicação é de 4 meses e que a taxa é de 5% ao mês, determine o valor dos juros nesta aplicação.

       Resposta: R$ 95,20

21) Um investidor possui uma certa quantia depositada no Bando do Brasil. Este investidor efetuou um saque equivalente a um terço dessa importância e aplicou em um investimento empresarial a juros de 6% ao mês durante 8 meses, recebendo ao final deste período o valor acumulado de R$ 1.850,00. Qual foi o valor aplicado no investimento empresarial? Qual era o valor aplicado no Banco do Brasil antes do saque de um terço?   Resposta: R$ 1.250,00 e R$ 3.750,00

22) Determinar o montante acumulado no final de 4 meses e os juros recebidos a partir de um capital de R$ 15.000,00, com uma taxa de 1% ao mês, pelo regime de capitalização simples.

       Resposta: R$ 15.600,00 e R$ 600,00

23) Um consumidor financiou um eletrodoméstico em 24 pagamentos de R$ 28,42 (parcelas fixas), vencendo a primeira parcela de hoje a 30 dias. Logo na primeira prestação houve um atraso de 11 dias para pagamento. Sabe-se que o valor pago de juros foi de R$ 1,56. Qual foi a taxa de juros praticada pelo estabelecimento comercial?   Resposta: 14,97% am

24) O título foi financiado para pagamento em 60 dias da data de sua emissão com uma taxa de 4,5% ao mês. Sabe-se que este título foi pago com 4 dias de atraso pelo valor de R$ 1252,89. Sabe-se ainda que a taxa praticada para cálculo dos juros do atraso era de 60% ao ano. Qual o valor do título? Resposta: R$ 1.141,83

25) A Cliente da loja “Tudo Pode Ltda.” Efetuou um pagamento de uma prestação de R$ 250,00 por R$ 277,08. Sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja foi de 5% ao mês, por quantos dias esta prestação ficou em atraso?   Resposta: R$ 65 dias

26)  Quanto tempo é necessário para se triplicar um capital de R$ 15,00, aplicado a uma taxa de 0,5% ao mês?     Resposta: 400 meses

27)  Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias?    Resposta: R$ 1.073,33

28) Qual a taxa equivalente a uma taxa de 3,05% ao mês, juros simples, em 22 dias de aplicação?   Resposta: 2,24% ao período

29) Qual o montante de uma aplicação de R$ 550,00 a uma taxa de 12% ao trimestre, juros simples, se já se passou 1 ano e 4 meses?     Resposta: R$ 902,00

30)  Uma aplicação de R$ 18.000,00 foi aplicada durante 1 ano com 15% ao trimestre. Determine os juros e a taxa mensal.    Resposta: R$ 10.800,00; 5% am

31) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para:

a) 7 dias      b) 29 dias      c) 1 mês      d) 32 dias      e) 1 trimestre      f) 45 dias      g) 1 semestre     h) 73 dias      i) 1 ano           j) 365 dias

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juros compostos

1) Determine o valor de uma aplicação que rende:

a) $ 2.500 a 29,65% a.m. em 1 dia

b) $ 2.600 a 3.000% a.a. em 28 dias

c) $ 2.700 a 31% a.m. em 10 dias

d) $ 2.100 a 2.500% a.a. em 1 ano 3 meses e 3 dias

e) $ 2.200 a 1,34% a.d. em 27 dias

2) Determinar o valor de resgate de um empréstimo de $ 1.050,00 levantado em 15/5 à taxa de 60% a.a. e com vencimento para 15/9 do mesmo ano.

3) Uma pessoa precisa levantar $ 2.000,00 por 6 meses. Há dinheiro disponível nas seguintes condições;

a) taxa nominal de 40% a.b. composta mensalmente

b) 397,20% a.a. juros simples

c) 291,20% a.a composta com capitalização trimestral - taxa nominal

Qual das propostas deve ser aceita?

4) Uma loja tem como política de crédito fazer o valor de vitrine à vista ou em duas vezes: cobra 30% do preço de vitrine de entrada e o restante no fim de 45 dias. Mas neste caso, o valor da mercadoria (valor da vitrine) sofre um acréscimo de 25%. Determine a taxa de juros anual efetiva cobrada.

5) Uma mercadoria pode ser vendida pelo preço de vitrine em dois pagamentos: 50% de entrada e outros 50% no fim de 30 dias. Imagine que o comprador faria o primeiro pagamento à vista e abriria uma poupança na quantia equivalente ao segundo pagamento. Qual deve ser o desconto oferecido pelo vendedor para pagamento total a vista que seja equivalente ao rendimento da poupança, estimado em 14,85% no mesmo período?

6) Determinar uma taxa composta mensal equivalente à taxa simples de 28,5% a.m. quando aplicada nos prazos de 21 e 33 dias.

7) Uma loja oferece as seguintes opções de compra:


1) 40% de desconto para pagamento a vista, dinheiro ou cheque;

2) 10% de desconto para pagamento com cartão;

3) 20% de desconto com dois pagamentos iguais, o primeiro na data da compra, e o segundo após 30 dias;

4) Dois pagamentos mensais e iguais, o primeiro no fim de 30 dias, neste caso a mercadoria sofre um acréscimo de 20%

    Pergunta-se:
a) Qual a taxa mensal de juros composta cobrada pelo lojista nas opções 3 e 4?

b) Qual a taxa mensal de juros composta recebida pelo lojista na opção 2 supondo que ele receba o dinheiro 31 dias após a venda e com desconto de 3%?

c) Qual a taxa mensal de juros composta paga pelo comprador, supondo que o vencimento da fatura seja:


1) 34 dias após a data da compra;

2) 13 dias após a data da compra.

d) Considerando a compra parcelada via cartão de crédito - opção 2 - para pagamento em 3 parcelas e supondo que o fator de cada $ 1,00 financiado é de 0,485, determine a taxa composta mensal paga pelo comprador, na hipótese do primeiro pagamento ser feito 17 dias após a data da compra, e os seguintes, a cada 30 dias.

 

Exercícios complementares

1) Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450,300,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos..

2) No final de 2 anos a senhora Núbia deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00, referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Qual o valor emprestado?

3) Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo que a taxa contratada é de 3% ao mês?

4) A loja “Arrisca Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

5) Calcular os juros de capital de R$ 1.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% ao mês.

6) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.

7) Calcular o valor futuro ou o montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses.

8) Calcular o valor presente ou capital de uma aplicação de R$ 98.562,25, efetuada pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês.

9) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês?

10) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital de R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano?

11) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao mês durante 7 meses.

12) Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que o investidor resgatou 38,55% no banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas de 8% e 6%, respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicados nos bancos Alfa e Beta?

13) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.

14) Quanto tempo será necessário para triplicar um capital de R$ 56,28 com a taxa de 3% ao mês?

15) Um investidor possui a importância de R$ 95.532,00 para comprar um imóvel à vista. Este imóvel também está sendo oferecido com 35% de entrada, R$ 32.300,00 para 90 dias e R$ 38.850,55 para 180 dias. Sabe-se que este investidor possui uma possibilidade de investir seu capital à taxa de 3% ao mês. Determine a melhor opção para o investidor.

16) Qual o valor do investimento, que aplicado à taxa de 12% ao trimestre, durante 218 dias, produziu um resgate de R$ 125.563,25?

17) Qual a taxa de juros mensal necessária para se dobrar um capital, no final de 15 meses?

18) Qual o valor futuro de um investimento de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de 18,5% ao ano pelo período de 95 dias?

19) Paulo deseja antecipar uma dívida no valor de R$ 890,28 com vencimento de hoje a 75 dias com taxa de 9% ao trimestre. Determinar o valor a ser liquidado na data de hoje.

20) Qual a taxa trimestral, mensal e anual de juros de uma aplicação de R$ 5.000,00 que deverá ser resgatada ao final de 2 anos e 62 dias pelo valor de R$ R$ 8.000,00?

21) Qual o montante de uma aplicação de R$ 56.750,25 aplicada em 05/03/08 e resgatada em 28/02/09, com uma taxa de 14,75% ao trimestre?

22) Um título está sendo quitado 23 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que o valor de resgate era de R$ 58,26, qual será o valor pago pelo devedor adotando-se o regime de juros compostos, se a taxa de juros negociada foi de 5% ao mês?

23) Suponha que uma pessoa acumulou 35,8% de rendimento de uma determinada aplicação financeira, durante 315 dias. Determinar a taxa mensal e anual desta operação.

24) Quantos dias serão necessários para triplicar uma aplicação financeira aplicada a juros compostos de 6% ao ano?

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Taxas equivalentes e Juros compostos

1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.     Resposta: 26,82% ao ano

2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.     Resposta: 4% ao mês

3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia.    Resposta: 78,58% ao ano

4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois anos. Resposta: 4,25% ao trimestre

5) Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte seqüência de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% e 6,5%.

     Resposta: 11,18% ao período

6) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou as seguintes taxas de CDIs:

     Fev = 2,11%; Mar = 2,18%; Abr = 1,69; Mai = 1,63%; Jun = 1,60% e Jul = 1,69% para o ano de 2009. Pergunta-se:

a) Qual a taxa média do período? Resposta: 1,82% ao mês

      b) Qual a taxa acumulada no período? Resposta: 11,41% ao período

7) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 125.519,92, por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 148.020,26. Qual a taxa média desta aplicação?     Resposta: 5,65% ao mês

8) O senhor “Dúvida” pretende investir R$ 16.500.000,00 em uma aplicação no “Banco dos Atleticanos S/A” que paga 45,5% ao ano por 30 dias. Suponha que o “Banco dos Cruzeirenses S/A” pague 45% ao ano por 33 dias corridos. Você foi contratado como Gerente Financeiro(a) e encontra-se em período de experiência. Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador?

      Resposta: o dos Cruzeirenses, com a taxa de 3,46% ad, contra 3,17% ad dos Atleticanos

9) Se o preço de um produto de dezembro de 2008 foi de R$ 1.580,00 e em janeiro de 2009 foi de R$ 1780,00, o índice de preço correspondente foi de:    Resposta: 12,66% ao período

10) Suponha que no mês-base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 33,50 e nos 3 meses subseqüentes seja de R$ 42,85, R$ 65,00 e R$ 72,25, respectivamente. Obter a inflação acumulada.     Resposta: 115,67% ao período

11) Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 11% ao ano, e no mesmo período a inflação foi de 9% ao ano. Qual a taxa real de juros?   Resposta: 1,83% aa

12) Calcular a taxa mensal de juros pelo regime de capitalização simples para uma taxa de 60% ao ano e para o regime de juros composto por uma taxa de 79,59% ao ano. Resposta: 5% am

13) Uma indústria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fábrica. Foi calculado que a taxa de retorno deste investimento é de 15% ao ano. Sabe-se que esta fábrica possui uma rentabilidade real de seus projetos de 5% ao ano. Qual será a rentabilidade real desse projeto se a taxa de inflação do período for de 12,5% ao ano? Considerando a política de rentabilidade da empresa, este projeto deve ser aceito?

      Resposta: 2,22% aa. O projeto não deve ser aceito

14) Calcule a taxa acumulada e a média das taxas de 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%.

      Resposta: iac = 8,56% ap; imédia = 1,66% ao mês

15) Qual a melhor taxa para aplicação: 0,1% ao dia ou 40% ao ano?Resposta: 0,1% ad

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Séries uniformes

1. Um banco de investimentos financia a venda de equipamentos num prazo de dois anos, com uma taxa de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. Determinar o valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor à vista é de R$ 20.000,00.

2. Uma pessoa comprou um determinado equipamento através de um financiamento junto ao banco do exercício anterior no prazo de 3 anos e prestações no valor de R$ 1.506,93. Determine o valor à vista do equipamento adquirido.

3. A compra de um automóvel está sendo financiada em 18 prestações mensais de R$ 1.228,76 sendo a primeira de entrada a uma taxa mensal composta de 2,2%. Determine o valor à vista do automóvel.

4. Uma loja de eletrodomésticos financia seus produtos em 6 prestações mensais iguais e sucessivas sendo a primeira de entrada, e obtém nessas operações uma remuneração de 1,5% ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o valor dessas prestações para um financiamento de um produto no valor de R$ 3.000,00:

5. O preço a vista de um equipamento é de R$ 11.400,00. Uma loja oferece a seguinte condição de pagamento: entrada de 30% e o restante em 6 vezes iguais a uma taxa de juros compostos de 0,8%. Determine o valor das prestações.

6. Um produto está anunciado em duas lojas da seguinte maneira:

Loja A: 12 vezes iguais de R$ 80,98 sem entrada com taxa de 1,2% a.m.

Loja B: 15 vezes iguais de R$ 59,07 com entrada e taxa de 1,5% a.m.

Qual das duas lojas oferece o produto pelo menor valor à vista?

7. Uma pessoa pretende comprar uma moto de R$ 6.000,00 daqui a 12 meses e começa a fazer depósitos mensais de R$ 480,00 em um fundo de aplicação com uma taxa de 1,3% ao mês, sendo o 1o depósito feito no início do 1o mês. Verifique se ela conseguirá a quantia desejada no prazo desejado.

8. Uma caderneta de poupança oferece uma taxa de rentabilidade de 1% ao mês. Determinar o valor do depósito mensal necessário para acumular um montante de R$ 10.000,00 no final de 2 anos se o 1o depósito for feito no final do 1o mês.

9. Um pai planeja comprar um carro no valor de R$ 35.000,00 para o seu filho quando ele terminar a faculdade, o que irá demorar 5 anos. Determine o valor dos depósitos que ele deve fazer em um fundo que remunera suas aplicações com uma taxa de 1,5% para que possua a quantia desejada quando o filho terminar a faculdade.

DESAFIO: Um banco remunera seus depósitos na taxa de 1,6% a.m. Um investidor efetua nessa instituição 6 depósitos mensais consecutivos e iguais de R$ 800, 00, ocorrendo o 1o depósito no final do mês de janeiro. Determine o valor do saldo acumulado no final do mês de Setembro.

 

Exercícios - Correção Monetária

1) Admitindo ser de 90% a CM de um período, determinar a taxa real de uma aplicação a 110% neste mesmo período.

2) Se um investidor auferiu a taxa real de 8% em determinado período, determinar a taxa nominal, se neste mesmo período, a CM foi de 85%.

3) Determinar a CM em um período sabendo-se que a taxa nominal neste mesmo período foi de 120% e a taxa real foi de 12%.

4) Calcular o montante de um empréstimo de $ 10.000,00 no fim de 3 meses sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m. e as CMs para cada mês foram de 19,5%, 17% e 21%.

Exercícios - Anuidades

1) Uma loja financia suas mercadorias em 6 pagamentos mensais, à taxa de 15% a.m. Determinar o valor dos multiplicadores com 6 decimais para cada $ 1,00 financiado, nas seguintes hipóteses:

a) o 1º pagamento é feito na data da compra

b) o 1º pagamento é feito no fim de 30 dias

c) o 1º pagamento é feito no fim de 90 dias

2) Determinar o pagamento mensal que amortiza um empréstimo de $ 5.000 em 12 parcelas mensais à taxa de 16% a.m.

3) Determinar o pagamento mensal que amortiza um empréstimo de $ 10.000 a 10% a.m. em 12 parcelas mensais admitindo 2 pagamentos adicionais de $ 1.000,00 cada um junto com as parcelas 6ª e 12ª .

4) Calcule o saldo devedor de um empréstimo de $ 20.000 a 15% a.m. a ser amortizado em 10 parcelas mensais em que as prestações vem sendo pagas pontualmente, nas seguintes datas:

a) Na data do vencimento da 7ª prestação;

b) imediatamente após o pagamento da 7ª prestação (mesmo dia).

5) Calcule o valor das prestações mensais de um empréstimo de $ 16.000 a 8% a.m. que será pago em 10 vezes, com uma carência de cinco meses. A primeira prestação só será paga no sexto mês.

6) Um fogão cujo preço à vista é de $ 480,00 pode ser adquirido com 15% de sinal mais cinco prestações mensais e iguais de $ 110,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada?

7) Uma TV de 20" e com controle remoto de 300 funções custa $ 428,00 à vista ou 5 vezes (1+4) de $ 94,29 ou ainda em 10 vezes (1+9) de $ 55,79. A loja diz que cobra 5,08% a.m. para a modalidade de 1+4, e 6,45% a.m. para a modalidade de 1+9. Confira se é verdade o que a loja anuncia.

8) Um computador K6-2 de 533MHz custa hoje à vista $ 1.797,00 ou em 12 vezes de $ 219,66, e neste caso a loja está praticando uma taxa de juros de 6,45% a.m.. Supondo que a poupança esteja pagando 0,65% a.m. faça os cálculos de quanto você teria no final de 12 meses caso optasse por não comprar o computador a prazo e guardar numa poupança mensalmente $ 200,00 .

9) Para os mesmo dados do exemplo anterior, se o preço do computador permanecesse inalterado, no final de quantos meses seria possível compra-lo à vista?

10) Uma loja financia suas mercadorias em 12 prestações mensais e iguais dizendo que cobra 5% a.m. ou 60% a.a. Para o cálculo da prestação mensal, a loja acresce o valor das compras em 60% e divide o resultado por 12. Se o primeiro pagamento é feito no ato da compra, determine a taxa efetiva anual cobrada pela loja.

11)Quanto devo depositar mensalmente durante 20 meses a partir de hoje para poder sacar a partir do 25º mês $ 2.000 mensais durante 12 meses se a poupança estiver pagando 1% a.m..

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lista de exercícios

1. (UEMG-03) Na figura, o trapézio está limitado pelo eixo OX e pelas retas de equações y = 2x + 1, x = 1 e x = 4. A área do trapézio, em unidades de área, é de:

 

A) 21

B) 18  x

C) 15

D) 24

2. (UFMG-03) Considere as retas cujas equações são y = -x + 4 e y = mx, em que m é uma constante positiva. Nesse caso, a área do triângulo determinado pelas duas retas e o eixo das abscissas é:

A) 4m2/(2m -1)

B) 8m/(m+1)  x

C) 4m2

D) (2m + 10)/(2m + 1)

3. (PUCMG-03) A reta definida pelos pontos (0,1) e (1,4) intercepta o eixo das abscissas no ponto:

A) (-1/3,0)  x

B) (1/3,0)

C) (2/3,0)

D) (4/3,0)

4. (UFJF-02) A uma tela de computador está associado um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no canto inferior esquerdo. Um certo programa gráfico pode ser usado para desenhar na tela somente retas de inclinações iguais a 0°, 30°, 45°, 60° e 90° em relação ao eixo horizontal. Então, considerando-se os pontos a seguir, o único que não pode estar sobre uma reta, a partir da origem, desenhada por este programa é:

A) (0, 10Ö3)

B) (10Ö3)

C) (10Ö3, 10Ö3)

D) (10Ö3, 5Ö3)  x

E) (10Ö3, 5)

5. (UFMG-02) Os pontos A = (2, 6) e B = (3, 7) são vértices do triângulo ABC, retângulo em A.

O vértice C está sobre o eixo OX.

A abscissa do ponto C é:

A) 8,5

B) 9

C) 9,5

D) 8  x

6. (PUCMG-03) O ponto (2,b) pertence ao círculo de equação x2 + y2 = 13. Então, a soma dos possíveis valores de (2 + b)2 é:

A) 16

B) 26  x

C) 36

D) 46

7. (UFES-03) Considere as retas dadas por

x = 2

3y = - 7

2x + 3y = - 3

4x + 6y = - 24

O número de pontos de interseção dessas retas, duas a duas, é:

A) 5

B) 4

C) 3  x

D) 2

E) 1

8. (EMESCAM-03) Centro de Ciências da Saúde de Vitória

Qual é a equação da circunferência que passa pela origem e tem o ponto A (- 1, - 5) como centro?

A) x² + y² + 2x + 10y = 0  x

B) x² + y² - 2x - 10y + 5 = 0

C) x² + y² + 26x - 13y = 0

D) x² + y² + 2xy - y + 10 = 0

E) x² + y² . 10x - 10y + 2 = 0

9. (UFES-02) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada pela equação x² + y² – 4x – 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é:

A) x – 2y + 3 = 0

B) x + 2y – 5 = 0  x

C) x + 2y – 5 = 0

D) 2x + y – 5 = 0

E) 2x – y – 4 = 0

10. (PUCRJ-03) Os pontos (–1, 6), (0, 0) e (3, 1) são vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto vértice:

A) (2, 7)  x

B) (4, –5)

C) (1, –6)

D) (–4, 5)

E) (6, 3)

11. (PUCSP-03) Seja x² + y² + 4x = 0 a equação da circunferência de centro Q representada no plano cartesiano ao lado. Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixo das abcissas e o vértice N pertence à circunferência, o ponto N é dado por:

 

A) (Ö2 – 2, Ö2)  x

B) (-Ö2 + 2, Ö2)

C) (Ö2 – 2, 2)

D) (Ö2 – 2, 2 - Ö2)

E) (-Ö2, 2 - Ö2)

12. (FCC) Fundação Carlos Chagas

O triângulo cujos vértices são os pontos (1,3); (-2, -1) e (1,-2) é:

A) Eqüilátero

B) Escaleno

C) Isósceles  x

D) Isósceles

E) Retângulo

13. (UFRGS) As retas P, Q, R, S e T têm, respectivamente, equações y = x, y = 2x, y = 2x + 1, y = 3x e y = 3x + 2.

Dentre as opções abaixo, aquela na qual as retas determinam um triângulo é:

A) P, Q e R.

B) P, Q e S.

C) P, Q e T.  x

D) P, Q e T.

E) Q, R e T.

14. (UFRN) Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, –2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y + 2x = 8.

A equação da reta que representa a trajetória da primeira formiga é:

A) 2y – x + 5 = 0  x

B) y – x + 3 = 0

C) y + x + 1 = 0

D) 2y + x + 2 = 0

15. (UFPR) Considere as seguintes informações: C é uma circunferência de raio igual a 1 e centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares; um ponto estará no interior da circunferência C se a distância do ponto à origem do sistema for menor do que 1. Assim, é correto afirmar:

1- A equação da circunferência C é x² + y² + 1 = 0.

2- O ponto P(cos  , sen  ) pertence à circunferência C, qualquer que seja o número real   x

4- A reta y = x + 1 intercepta a circunferência C em dois pontos.  x

8- A reta y + 1 = 0 é tangente à circunferência C.  x

16- O ponto (1, 1) está no interior da circunferência C.

32- O gráfico da função y = sen 2x intercepta o eixo x apenas uma vez no interior da circunferência C.  x

16. Se a equação da corda do círculo x² + y² = 49, que tem por ponto médio o ponto (1,2), é da forma ax + by + c = 0, então a + b – c vale:

A) -2

B) 5

C) 2

D) 10

E) 8  x

17. (CEFET-PR) Considere as retas ( r ) 4x – 3y + 17 = 0 e ( s ) 4x – 3y – 8 = 0. A distância entre ( r ) e ( s ) é:

A) 17/9.

B) 25/3.

C) 50.

D) 25.

E) 5.  x

18. (UFPE) Sobre as parábolas que, dadas num sistema cartesiano com equações y = ax2 + bx + c com a, b e c reais, interceptam o eixo das ordenadas no ponto de coordenada 4 e têm vértice com abscissa 1, pode-se afirmar que (assinale as alternativas verdadeiras):

A) têm concavidade voltada para cima

B) têm forma canônica y = a(x – 1)² + 4 – a para algum real a  x

C) não podem ter vértice com ordenada 4  x

D) uma delas tem gráfico contendo a parábola esboçada a seguir:

 

E) seus coeficientes satisfazem a relação 2a + b + c = 5

19. A campanha Urbanizadora da Nova Capital (NOVACAP) é o órgão responsável pela administração e execução de obras e serviços de urbanização e construção civil de interesse do governo do Distrito Federal. Por seu intermédio, foi escolhido o projeto urbanístico de Lúcio Costa para a construção do Plano Piloto, entre 26 projetos apresentados em um concurso público. A figura abaixo representa o esboço de um projeto alternativo para o Plano Piloto de Brasília, aqui denominado projeto NOVACAP.

II. Nesse projeto:

• N5N6 e S5S6, são arcos da mesma circunferência com centro em C4, o mesmo ocorrendo com os arcos N2N3 e S2S3.

• o ponto S1 é equidistante dos pontos S2 e S4, sendo S2 o ponto médio do segmento S1 C4 e S5, o ponto médio de C4 S2;

• os pontos N3, C4 e S3 estão alinhados, ocorrendo o mesmo com os pontos C1, C2, C3 e C4;

• excluindo-se o lago Paranoá, a figura é simétrica em relação à reta que passa por C1 e C4;

• o ângulo N5C4N6 mede 3p/4 rad, e o ângulo N4N1N2 é reto;

• os trechos correspondentes aos segmentos S1N6 e C1C2 medem 10,5 km e 1,2 km, respectivamente;

• os segmentos S1S2 ,PP’, QQ’, e S3 S4 são paralelos.

No projeto NOVACAP II, apresentado no texto, considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em que o eixo das abscissas coincide com a direção norte–sul, o eixo das ordenadas coincide com a direção oeste–leste e a origem é o ponto C4, de modo que o ponto S6 situa-se no primeiro quadrante. Supondo que a medida do segmento C4S5 seja igual a r, julgue os itens a seguir e marque as alternativas corretas:

A) O produto das coordenadas do ponto N2 é igual a 2(3)1/2 r2.  

B) Sabendo que a reta que passa pelos pontos C4 e S2 tem equação y= (1 – 21/2)x é correto concluir que a reta determinada pelos pontos S3 e S4 é dada por y = (1 – 21/2)(2r – x).

C) A equação da circunferência de centro em S3 e tangente ao arco de circunferência S5S6 é x² + y (y + 4r) + 3y² = 0

D) Se a reta que passa por S3 e N4 tem equação y = ax + b, então a reta determinada pelos pontos N3 e S4 tem equação y = – ax + b.  x

20. (PUC-RJ) As parábolas dadas pelas equações y = x² e x = y²:

A) nunca se encontram;

B) se encontram apenas na origem;

C) se encontram em exatamente dois pontos;  x

D) se encontram em três pontos;

E) se encontram em quatro pontos.

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Funções modular, exponencial e logarítmica

1)  Resolva as equações ou inequações abaixo utilizando a noção de módulo como distância:

    a) |x - 4| > |x - 2|

    b) |x - 2| - |x + 4| > 3

    c) |x - 1| + |x + 3| = 12

2) Resolva as equações ou inequações do número (2) graficamente.

3) Construa o gráfico de:

    a) f(x) = |x2 - 4|

    b) f(x) = |x - 1|+ |x - 3|

    c) f(x) = |x2 - 1| / + |x - 1|

4)  Faça um esboço dos gráficos das funções y = (1/2)x  e y = log1/2 x num mesmo sistema de eixos cartesianos.  Compare estes gráficos e procure descobrir uma relação entre eles.

5) Num mesmo sistema de eixos cartesianos esboce os gráficos de y = log2 x  e y = log3 x . Compare estas funções quanto ao crescimento e justifique as suas conclusões.

6)  Resolva a equação exponencial 7x + 7x-1 = 8x

7) Qual é o maior: log 7 ou log 83? Justifique.

8)  Uma pessoa aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 12% ao ano. Se esta pessoa retirou seu dinheiro passados  dois anos e 197 dias, quanto deverá receber?

9)  Numa determinada cidade, a população cresce com a taxa de 3% ao ano. Em quantos anos a população desta cidade duplicará? São dados log 2 = 0,30103 e log 103 = 2,01284.

10)  Se num instante t = 0, um recipiente contém um número No de bactérias se reproduzindo normalmente, então num instante t >0, o número de bactérias existentes no recipiente será :

N(t) = Noeµ, onde a constante a depende do tipo de bactéria. Suponha que uma cultura de 100 bactérias se reproduz em condições favoráveis. Doze horas mais tarde contamos 500 bactérias na cultura. Quantas bactérias haverá depois do início da experiência?

11)  A meia vida de uma substância radioativa é de 1 ano. Quanto tempo levará para que, num corpo puro de 100 gramas desse material, reste apenas 1 grama de substância?

12)  A população de uma cidade era de 750.000 habitantes no fim de 1990 e de 900.000 no fim de 2000. Que população pode-se prever para no final de 2010? Quando se espera que a população atinja 1.500.000?

13) A que taxa de juros compostos devo investir um capital para que ele dobre ao final de 5 anos?

14) Dado um número positivo x ≠ 1, x1/lnx

15) Dado a > 0, determinar x tal que a faixa da hipérbole (tal como definimos em sala) tenha área igual a um número real b dado. Em particular verifique depois no caso de b = p.

16)  A faixa de hipérbole H1xtem área igual a 5. Qual é o valor de x?

17)  Mostre que se os números positivos a1, a2, ……am  são termos de uma progressão geométrica, então lna1, lna2, ….. lnanformam uma progressão aritmética.

Qual o maior número 99100 ou 10099. Justifique provando.

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