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séries uniformes - termos postecipados (tipo 1)

- Dado VP, achar PGTO

 

- Dado PGTO, achar VP

  

- Dado PGTO, achar VF

 

- Dado VF, achar PGTO

   

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séries Uniformes - termos antecipados (tipo 1)

- Dado VP, achar PGTO

 

- Dado PGTO, achar VP

 

- Dado PGTO, achar VF

 

- Dado VF, achar PGTO

   

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conectivos lógicos

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proposições lógicas

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tabelas-verdade

  

 

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regras de implicação lógica

Regras de Inferência

 

Adição disjuntiva (AD)

p Þ p Ú q

Simplificação conjuntiva(SIM)

p Ù q Þ p ou p Ù q Þ q

Modus Ponens(MP)

( p ® q ) Ù p Þ q

Modus Tollens(MT)

( p ® q ) Ù ~q Þ ~p

Silogismo Disjuntivo(SD)

( p Ú q ) Ù ~q Þ p

Silogismo Hipotético(SH)

( p ® q ) Ù ( q ® r ) Þ p ® r

Dilema Construtivo(DC)

( p ® q ) Ù ( r ® s ) Ù ( p Ú r ) Þ q Ú s

Dilema Destrutivo(DD)

( p ® q ) Ù ( r ® s ) Ù ( ~q Ú ~s ) Þ ~p Ú ~r

Absorção(ABS)

p ® q Þ p ® ( p  ® q )

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regras de equivalência lógica

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gráficos


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gráficos


Delta > 0

Delta > o

 Delta = 0

Delta < 0   Delta > 0

  Delta > 0          Delta > 0

 Delta > 0

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função modular

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PG


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regras da potenciação


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regras do logaritmo


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gráficos das funções exponencial e logarítmica


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pontos no plano cartesiano


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áreas e volumes


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valores lógicos de uma proposição

1) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:

a.   O número 17 é primo. (   )

b.   Fortaleza é a capital do Maranhão. (   )

c.   TIRADENTES morreu afogado. (   )

d.   (3 + 5)2 = 32 + 52. (   )

e.   O valor archimediano de p é 22/7. (   )

f.     -1 < -7. (   )

g.   0,131313… é uma dízima periódica simples. (   )

h.   As diagonais de um paralelogramo são iguais. (   )

i.     Todo polígono regular convexo é inscritível. (   )

j.     O hexaedro regular tem 8 arestas. (   )

k.   A expressão n2 – n + 41 (nÎN) só produz números primos. (   )

l.     Todo número divisível por 5 termina por 5. (   )

m. O produto de dois números ímpares é um número ímpar. (   )

n.   sen2 30º + sen2 60º = 2. (   )

o.   1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)2 = n2. (   )

p.   As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. (   )

q.   O número 125 é cubo perfeito. (   )

r.    0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. (   )

s.   O cubo é um poliedro regular. (   )

t.  tg(p/4) < tg(p/6). (   )

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conectivos lógicos

01. Sejam as proposições p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz. Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições:

         a) p ν ~q              b) ~p → q              c) q ↔ ~p;

02. Sejam as proposições p: O livro é interessante e q: O livro é de lógica. Traduzir para linguagem corrente as seguintes proposições:

        a) ~p            b) p ν q            c) p Ù ~q            d) ~(p ν q)          e) q ↔ ~p;

03. Traduzir para a linguagem simbólica, considerando p = Josefa é rica, q = Josefa é feliz, r = Josefa é estudante.

a) Josefa é rica ou infeliz.

b) Se Josefa é estudante e rica então é estudante e feliz.

c) Josefa é pobre, mas feliz.

d) Josefa é pobre e infeliz.

e) Josefa é pobre ou rica, mas é infeliz.

f) Se Josefa é pobre então é feliz.

g) Josefa é rica se e somente se não for pobre.

h) Se Josefa é estudante então é rica se e somente se é feliz.

i) Josefa é pobre, infeliz, estudante ou rica.

j) Josefa estuda, mas é feliz se e somente não for pobre.

04. Indicar as proposições simples abaixo por letras minúsculas e traduzir as sentenças para notação simbólica:

a) Se Janet vencer ou perder, ela estará cansada;

          Exemplo: p: Janet vence, q: Janet perde, t: Janet está cansada;

          Notação simbólica: (p ν q) → t;

b) Ou vai chover ou vai nevar, mas não ambos;

c) Se os preços subirem, as construções ficarão mais caras, mas se as construções não forem caras, elas serão muitas;

d) Ou Janet irá vencer ou, se perder, ficará cansada;

e) Se a quantidade de água é suficiente então o crescimento das plantas é sadio;

05. Escreva fórmulas para as sentenças abaixo utilizando as seguintes proposições:

       p: Paula vai à festa.             q: Quincas vai à festa.

       r: Ricardo vai à festa.           s: Sara vai à festa.

a) Paula não vai.

b) Paula vai, mas Quincas não vai.

c) Se Paula for, então Quincas também irá.

d) Paula irá, se Quincas for.

e) Paula irá se e somente se Quincas for.

f) Nem Paula nem Quincas irão.

g) Paula e Quincas não irão.

h) Paula não irá, se Quincas for.

i) Se Ricardo for, então se Paula não for, Quincas irá.

j) Se nem Ricardo nem Quincas forem, então Paula irá.

k) Se Ricardo ou Quincas forem, então Paula irá e Sara não irá.

l) Se Sara for, então Ricardo ou Paula irão, e se Sara não for, então Paula e Quincas irão.

 

Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

1. p: Está frio e q: Está Chovendo.

a) ~p              b) p ^ q          c) p v q        d) q « p       e) p ® ~q      f) p v ~q       g) ~p ^ ~q   

h) p « ~q      i) p ^ ~q ® p      

2. p: Jorge é rico e q: Carlos é feliz.

a) q ® p        b) p v ~q         c) q « ~p        d) ~p ® q         e) ~~p          f) ~p ^ q ® p

3. p: Claudio fala inglês e q: Claudio fala alemão.

a) q v p         b) p ^ q            c) p ^ ~q         d) ~p ^ ~q          e) ~~p          f) ~(~p ^ ~q)        

4. p: João é gaúcho e q: Jaime é paulista.

a) ~(~p ^ ~q)   b) ~~p    c) ~(~p v ~q)  d) p ® ~q    e) ~p ® ~q   f) ~(~q ® p) 

 

Sejam as proposições p e q, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

5. p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante.

a) Marcos é alto e elegante

c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante      

d) Marcos não é nem alto e nem elegante

e) Marcos é alto ou é baixo e elegante      

f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante             

6. p: Suely é rica e q: Suely é feliz.

a) Suely é pobre, mas feliz      

b) Suely é rica ou infeliz

c) Suely é pobre e infeliz      

d) Suely é pobre ou rica, mas infeliz      

7. p: Carlos fala francês e q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão.

a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão      

b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão

c) É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão

d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês

8. a) x = 0 ou x > 0              b) x ¹ 0 e y ¹ 0

c) x > 1 ou x + y > 0        d) x2 = x . x ou x0 = 1

9. a) (x + y = 0 e z > 0) ou z = 0

b) x = 0 e (y + z > x ou z = 0)

c) x ¹ 0 ou (x = 0 e y < 0 e z = 0)

d) x + y = 0 e z > 0) ou z = 0

10.  a) Se x > 0 então y = 2

b) Se x + y = 2 então z > 0

c) x = 1 ou z = 2 então y > 1

d) Se z > 5 então x ¹ 1 e x ¹ 2

e) Se x ¹ y então x + z > 5 e y + z < 5

f) Se x + y > z e z = 1 então x + y > 1

g) Se x < 2 então x = 1 ou x = 0

h) Se y = 4 e se x < y então x < 5

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tabela-verdade

1)    Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:

a.   ~(p v ~q)

b.   ~(p ® ~q)

c.   p ^ q ® p v q

d.   ~p ® (q ® p)

e.   (p ® q) ® p ^ q

2)    Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições:

a.   ~p ^ r ® q v ~r

b.   p ® r « q v ~r

c.   p ® (p ® ~r) « q v r

d.   (p ^ q ® r) v (~p « q v ~r)

3)    Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:

a.   P(p, q) = ~(~p « q)

b.   P(p, q) = ~p v q ® p

c.   P(p, q) = (p v q) ^ ~(p ^ q)

d.   P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q)

e.   P(p, q) = ~((p v q) ^ (~p V ~q)

4)    Determinar P (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) em cada um dos seguintes casos:

a.   P(p, q, r) = p v (q ^ r)

b.   P(p, q, r) = (p ^ ~q) v r

c.   P(p, q, r) = ~p v (q ^ ~r)

d.   P(p, q, r) = (p v q) ^ (p v r)

e.   P(p, q, r) = (p v ~r) ^ (q v ~r)

5)    Determinar P(VFV) em cada um dos seguintes casos:

a.   P(p, q, r) = p ^ ~r ® ~q

b.   P(p, q, r) = ~p ^ (q v ~r)

c.   P(p, q, r) = ~(p ^ q) « ~(p v ~r)

d.   P(p, q, r) = (r ^ (p v ~q)) ^ ~(~r v (p ^ q))

e.   P(p, q, r) = (p ^ q ® r) ® q v ~r

6) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V, determinar o valor lógico da proposição:

(p ^ (~q  ® p)) ^ ~((p « ~q) ® q v ~p)

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tautologia, contradição e contigência

1.   Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:

a.   (p ® p) v (p ® ~p)

b.   (p « p ^ ~p) « ~p

c.   p v (q v ~p)

d.   (p ® q) ^ ~q ® ~p

e.   (p v q) ^ ~p ® q

f.     p « p ^ (p v q)

g.   ~(p v ~p) v (q v ~q)

h.   ~(p ^ ~p) v (q ® ~q)

2.   Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:

a.   (p ® q) ® (p ^ r ® q)

b.   (p ® q) ® (p ® q v r)

c.   (p ® q) ® (p ^ r ® q ^ r)

d.   (p ® q) ® (p v r ® q v r)

3.   Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:

a.   p v q ® p ^ q

b.   (q ® p) ® (p ® q)

c.   (p ® (p ® q)) ® q

d.   p ® (p ® q ^ ~q)

4.   Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes:

a.   p ® (~p ® q)

b.   ~p v q ® (p ® q)

c.   p ® (q ® (q ® p))

d.   ((p ® q) « q) ® p

e.   p v ~q ® (p ® ~q)

f.     ~p v ~q ® (p ® q)

g.   p ® (p v q) v r

h.   p ^ q ® (p « q v r)

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implicação lógica

1) Mostrar que a proposição p implica a proposição q (p Þ q) em cada um dos seguintes casos:

a.    p: p > 3;      q: tg 45º = 1

b.    p: sen 30º = 1;      q: Ö2 > Ö3

c.    p: ABCD é um losango;      q: ABCD é um paralelogramo

d.    p: O polígono ABCDE... é regular;      q: O polígono ABCDE... é inscritível

e.    p: O número inteiro x termina por 0;      q: O número inteiro x é divisível por 5

f.      p: ABC é um triângulo;     q: A soma dos ângulos internos A, B e C é igual a 180º

g.    p: tg p/6 = Ö3;      q: sen p/6= cos p/3

2.         Mostrar:  a) q Þ p ® q;            b) q Þ p ^ q « p.

3.         Mostrar que p « ~q não implica p ® q

4.         Mostrar que p não implica p ^ q e que p v q não implica p.

5.         Mostrar: (x = y v x < 4) ^ x ³ 4 Þ x = y.

6.         Mostrar: (x ¹ 0 ® x = y) ^ x ¹ y Þ x = 0.

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equivalência lógica

1. Mostrar que as proposições p e q são equivalentes (p Û q) em cada um dos seguintes casos:

a.    p: 1 + 3 = 4;      q: (1 + 3)2 = 16

b.    p: sen 0º = 1;      q: cós 0º = 0

c.    p: 20 = 1;      q: p < 4

d.    p: x = y;      q = x + z = y + z (x, y, z Î R)

e.    p: x é par;      q: x + 1 é ímpar (x Î Z)

f.      p: O triângulo ABC é isósceles (AB = AC);     q: Os ângulos  são iguais

g.    p: a ^ b;      q: b ^ a

h.    p: a // b;      q: b // a

i.      p: O triângulo ABC é retângulo em A;      q: a2 = b2 + c2

j.      p: x Î { a };       q: x = a

2. Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências:

a. p ^ q ® (p v q) Û p

b. p v (p ^ q) Û p

c. p « p ^ q Û p ® q

d. q « p v q Û p ® q

e. (p ® q) ^ (p ® r) Û p ® q ^ r

f. (p ® q) v (p ® r) Û p ® q v r

g. (p ® q) Ú (p ® r) Û p ® p Ú r

h. (p ® q) ® r Û p ^ ~r ® ~q

3. Mostrar que as proposições “x = 1 v x ³ 3” e “~(x < 3 ^ x = 1)” não são equivalentes.

4. Demonstre as relações abaixo utilizando as tabelas-verdade:

a)    p ® q Ù r  Û  ( p ® q ) Ù ( p ® r )

b)    p ® q Ú r Û ( p ® q ) Ú ( p ® r )

c)    p Ù q ® r Û p ® ( q ® r )

d)    ~( ~p ® ~q ) Û ~p Ù q

e)    ~( p Ù q Ù r ) Û ~p Ú ~q Ú ~r

f)      ~( p Ú q Ú  r ) Û ~p Ù ~q Ù ~r

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produtos notáveis


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exercícios sobre operações com matrizes

1) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que aij = 2i – 3j.

2) Dada a matriz , calcule a11 + a21 – a13 + 2a22.

3) Dada a matriz C = , calcule 3a31 – 5a42.

4) Considere o sistema

a) Escreva sob forma de matriz os valores numéricos que aparecem no sistema.

b) Escreva sob forma de matriz apenas os coeficientes das incógnitas.

c) Dê os tipos das matrizes do item a e do item b.

5) Uma loja vende sapatos femininos de três marcas X; Y; Z e tamanhos de 35 a 40. A loja possui no estoque 140 pares da marca X assim distribuídos:

Tamanho 35

30 pares

Tamanho 36

50 pares

Tamanho 37

25 pares

Tamanho 38

18 pares

Tamanho 39

10 pares

Tamanho 40

7 pares

    Analogamente, a loja possui, das marcas Y e Z, sapatos femininos assim distribuídos:

Tamanho

35

36

37

38

39

40

Quantidade da marca Y

8

7

9

28

10

8

Quantidade da marca Z

0

10

15

12

9

3

    a) Escreva sob forma de matriz todas as informações dadas.

    b) Quantos pares de sapato ela tem do tamanho que você usa?

    c) Qual é o tamanho que possui mais pares em estoque?

    d) Escreva em linguagem coloquial o significado dos elementos a35 e a22 da matriz do item a.

6) Escreva a matriz A = (aij) do tipo 3x4 sabendo que:

    aij = 2i – 3j se i = j e aij = 3i – 2j se i ¹ j.

7) Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição aij = i - 3j.

8) Qual é a soma de todos os termos da matriz identidade de 7ª ordem?

9) Se a soma de todos os termos de uma matriz identidade é 75, determine a ordem dessa matriz.

10) Uma matriz 3x4 pode ser uma matriz identidade? Justifique a sua resposta.

11) Dado o vetor podemos representá-lo por uma matriz coluna. Será que você consegue? Como?

12) Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que aij = 2i + 3j.

13) a) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij = 2i + 3j.

      b) Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij = 3i + 2j.

14) O elemento a31 do exercício 12 e o elemento a13 do exercício 13a são iguais? Justifique sua resposta.

15) a) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13a são uma transposta da outra?

      b) As matrizes encontradas nos exercícios 12 e 13b são uma transposta da outra?

      c) Justifique as suas respostas.

16) a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que aij = (2i -3j)/2.

      b) De que tipo é a matriz At da matriz do item a?

      c) Determine a matriz At da matriz A do item a?

17) Verifique o que acontece quando determinamos a matriz transposta da transposta de uma matriz dada. Justifique sua resposta.

18) a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que aij = (i/3) + 3j.

      b) Determine a matriz transposta da obtida no item a.

      c) A que condição satisfazem os elementos da matriz obtida no item b?

19) a) Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que aij = i – j.

      b) De que tipo é a matriz encontrada no item a?

20) a) Determine a matriz quadrada de 4ª ordem tal que:

           aij = 0 quando i ¹ j e aij = i/j quando i = j.

       b) Determine o tipo de matriz encontrada no item a.

21) Dadas as matrizes   

      Determine x e y de modo que a matriz A seja igual à matriz B.

22) Calcule o valor de x para que sejam iguais as duas matrizes  e .

23) Calcule o valor de x, y e z de modo que as matrizes  sejam iguais.

24) Determine a matriz oposta da matriz identidade de 4ª ordem.

25) Verifique se a matriz  é oposta à matriz .

26) Seja   calcule o valor de k.

27) Seja   existe k tal que P = kN? Justifique a sua resposta.

28) Sendo  e  

      Resolva as equações matriciais abaixo, determinando o valor da matriz X.

a)    X + A = 2B – C.

b)    X – C = 2A + 3B.

c)    X + 2B = 3A – C.

29) Sendo  e

      a) Calcule AB              b) Calcule BA             c) Calcule A2              d) Calcule B2

30) Calcule x; y e z em cada um dos produtos de matrizes dados:

     a)         b)

31) Seja dada a equação matricial: .

a)  Identifique o tipo da matriz X.

b)  Determine a matriz X.

32) Determine o produto da matriz pela matriz transposta em cada um dos itens abaixo.

     a)         b)

33) Determine as inversas das matrizes:

     a)       b)       c)       d)

34) Dadas as matrizes: ;   e

a)       Se for possível, atribua valores numéricos para a e para b da matriz B para que A-1 = B. Justifique sua resposta.

b)       Se for possível, atribua valores numéricos para b e para d da matriz C para que A-1 = C. Justifique sua resposta.

35) Dadas as matrizes:   determine a matriz X tal que X = A-1.B.

36) Verifique se existe o valor numérico para m da matriz , para que ela seja a matriz inversa de . Justifique sua resposta.

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