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Linguagem Matemática III

A idéia criada pelo homem para lidar com as variações quantitativas foi denominada correspondência biunívoca.



Da 1ª idéia de número ao numeral escrito semi-repetitivo

A idéia criada pelo homem para lidar com as variações quantitativas foi denominada correspondência biunívoca. A correspondência biunívoca é a primeira criação matemática, e uma das mais importantes. A essência dessa operação é a comparação e equiparação entre dois conjuntos: um conjunto que conta - tomado como padrão - e um conjunto que é contado - do qual se quer controlar a variação quantitativa.

No caso dos pastores da Antigüidade, sabemos que relacionavam um conjunto de pedras (conjunto que conta) com o conjunto de ovelhas (conjunto contado). Portanto a correspondência biunívoca exige a tomada de um conjunto como "padrão" - o conjunto que conta. É ele que guardará o registro da quantidade do conjunto que se quer contar.

Assim, na equiparação um a um entre os elementos dos dois conjuntos revela-se algo que rompe totalmente com as aparências imediatas dos elementos envolvidos e exprime algo que lhes é comum: a quantidade.

Outra característica essencial à contagem é o estabelecimento de uma ordem. Para contar temos que conhecer a seqüência numérica. Esta característica já era essencial antes mesmo de existir o número como o conhecemos atualmente. No nosso próprio corpo nasceu a ordem numérica. O conjunto dos objetos que contam, por muito tempo, foi o nosso corpo.

Contando nos dedos

Dentre as técnicas corporais de contagem o recurso aos dedos da mão desempenhou realmente um papel importantíssimo. Uma prova disso é que na língua de uma tribo da África Central, o número 5 é chamado moro que significa "mão". O 10 é chamado de mbouna que significa "duas mãos". Na língua de outra tribo, dessa vez da Nova Guiné, os nomes dos cinco primeiros números são literalmente os nomes de cada um dos dedos, trazendo o mesmo vestígio da mão.

Na medida que a vida exigiu lidar com conjuntos de seres e objetos cada vez maiores, esbarrou-se na dificuldade de contar com os dedos ou outras partes do corpo. Diversos povos do Egito e da Nigéria (os yébu e os ioruba) na África, entre outros, adotaram os instrumentos de contagem (pedras, conchas, pauzinhos, terços de contas, bastões entalhados, nós de cordas etc).

As quantidades das coisas que existiam na natureza, livres, em movimento, podiam agora ser "apanhadas", "presas", por meio das representações, com os numerais objetos (as pedras, conchas, pauzinhos...). Com eles o homem trabalhou pela primeira vez com as quantidades.

Observamos que o progresso na linguagem numérica e que cada desenvolvimento da idéia numérica estão associadas à necessidade de contar quantidades cada vez maiores, ou menores, com velocidades cada vez maiores para a realização de cálculos cada vez mais complexos. O desenvolvimento da sociedade exigia que a matemática e sua linguagem também se desenvolvessem.

O numeral escrito repetitivo

A passagem da pré-história para a história foi marcada pela fixação das tribos nômades em regiões férteis, pelo domínio das técnicas da agricultura e por um subseqüente aumento da população. As tecnologias e a organização social das comunidades humanas foram se sofisticando. Além das grandes construções de cidades, de canais de irrigação e monumentos, o homem passou a dominar técnicas de trabalho com metais - ferro, bronze, etc. - com cerâmicas, e com tecelagem.

Com tamanho impulso da produção, apareceu uma série de problemas que diziam respeito ao conhecimento e à técnica matemáticas. Entre as várias criações que encontraram aqui solo fértil de desenvolvimento, destacamos a idéia numérica, que se desenvolveu tanto no que se refere à escrita numeral, quanto ao cálculo. Uma das civilizações mais características nesse sentido foi a egípcia.

O historiador matemático Georges Ifrah nos revela isso com bastante ênfase:

"De fato, por volta de 3000 a.C., esta civilização já se encontrava muito avançada, fortemente urbanizada e em plena expansão. Por razões estritamente utilitárias, motivadas principalmente por necessidades de ordem administrativa e comercial, ela toma pouco a pouco a consciência das possibilidades limitadas do ‘homem–memória’ e do ‘esgotamento’de sua cultura exclusivamente oral.

Provando uma necessidade crescente de memorizar o pensamento e a fala, assim como a exigência de guardar duradouramente a lembrança dos números, ela percebe então que uma organização de trabalho inteiramente diferente se impõe. E, ‘como a necessidade cria órgão’, ela descobre a idéia tanto da escrita, quanto da notação gráfica dos números para vencer a dificuldade."

A escrita numeral egípcia consistia em representar as quantidades de 1 a 9 por meio de símbolos semelhantes às marcas que os povos primitivos faziam na madeira. A pesquisa feita por Georges Ifrah nos aponta que os egípcios, para representar um determinado número, repetiam o algarismo de cada classe decimal tantas vezes quantas fosse necessário.

Egípcios, babilônios e astecas

Observamos que a representação egípcia conserva ainda muito dos registros com objetos: a contagem pela "imitação" das quantidades. Temos, assim, o que chamamos de numeral escrito-repetitivo: para nós são todos os registros em que o símbolo - no caso dos egípcios um traço "|" - se repete tantas vezes quantas são as unidades contadas.

Vivendo em situações muito semelhantes às dos egípcios destacamos também os numerais escritos repetitivos como a dos babilônios, dos astecas e a "proto-hindu". Vale observar que, com a escrita numérica, as quantidades ficam fáceis de ser guardadas e "carregadas". As quantidades podiam ser trabalhadas na ausência de objetos, utilizando-se somente sua representação escrita.

O numeral semi-repetitivo

A partir do século 7 a.C. começou a se formar aquele que seria o maior império da antigüidade, o Império romano, que abrangia grande parte da Europa, partes da Ásia e da África. Um império com essas dimensões controlava uma larga produção como até então nenhuma nação havia conseguido.

Os cálculos de impostos, as transações comerciais, e os avanços na ciência e na técnica, apontavam para a necessidade de uma simplificação na escrita numeral. Esta viria a acontecer na diminuição da repetição imitativa dos algarismos. O resultado desse processo se deu com a criação do numeral semi-repetitivo. Veja de que maneira:

1) Com o numeral escrito-repetitivo, a leitura de um número como nove, implicaria a contagem de cada traço, um a um, tornando demasiadamente lento o trabalho com os numerais. A necessidade de contagens mais rápidas indicou a primeira mudança no sentido da simplificação. Em particular, esta se deu quando se distinguiu um agrupamento com cinco traços. Essa distinção foi feita escrevendo-se o traço que completava a quinta quantidade na diagonal:

A esse princípio podemos dar o nome de princípio quinário. Com esse corte ficava mais fácil a leitura de quantidades como seis ou nove:

2) A diagonal riscada evitava que o leitor contasse os cinco primeiros traços, sendo necessária apenas a contagem dos que estivessem além da diagonal riscada. Se considerarmos que o senso numérico permite uma percepção direta das quantidades até quatro, podemos avaliar a simplificação que esta marca representou.

3) Assim, a necessidade de se fazer leituras mentais mais rápidas viria indicar o sentido da simplificação da escrita. Se a diagonal passava a representar os cinco traços, então para que fazê-los? Desse modo, bastaria que fizessem o primeiro traço e a diagonal para que a quantidade fosse indicada.

Aos poucos o "traço" com a diagonal foi sendo identificado pela letra V, o que facilitou a sua memorização.

Percebemos, assim, que nada surge pronto e acabado, todo conceito é resultado de um trabalho coletivo de criação e produção. E o sentido dessa produção é avançar o conceito de modo a torná-lo cada vez mais um elemento do pensamento humano. A escrita numeral semi-repetitiva avançou uma vez que os símbolos numéricos deixaram de ser cópias dos numerais objetos.

O numeral V passou a representar cinco, não porque guarda laços de "imitação" com as quantidades, mas porque os homens passaram a convencioná-lo assim. Aqui, temos a quebra da correspondência biunívoca na representação das quantidades.

Com o numeral semi-repetitivo a imaginação numérica libertou-se das mãos e ganhou asas. Libertou-se das limitações que os objetos e a pura repetição impunham, e permitiu que o pensamento matemático adquirisse um ritmo próprio. A libertação não foi total, ainda existia a repetição, mas, sem dúvida, isso representou, um grande avanço na idéia numérica. O ser humano, porém, não ia parar por aí...


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